|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
Интеллектуальная Система Тематического Исследования НАукометрических данных |
||
Равномерные по параметру a\in(0,1) двусторонние оценки сумм синус- и косинус-рядов с коэффициентами вида 1/k^a через первые слагаемые их асимптотикстатья Исследовательская статья
Статья опубликована в журнале из списка RSCI Web of Science
Статья опубликована в журнале из перечня ВАКСтатья опубликована в журнале из списка Web of Science и/или Scopus
- Авторы: Попов А.Ю., Родионов Т.В.
- Журнал: Труды Института математики и механики УрО РАН
- Том: 28
- Номер: 4
- Год издания: 2022
- Издательство: Ин-т математики и механики
- Местоположение издательства: Екатеринбург
- Первая страница: 177
- Последняя страница: 190
- DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-4-177-190
- Аннотация: Для функций $f_a(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}k^{-a}\cos kx$ и $g_a(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}k^{-a}\sin kx$ получены равномерные по параметру $a\in(0,1)$ оценки приближений этих функций первыми членами их асимптотик $F_a(x)=\sin(\pi a/2)\Gamma(1-a)x^{a-1}$ и $G_a(x)=\cos(\pi a/2)\Gamma(1-a)x^{a-1}$. А именно, доказано, что для всех $a\in(0,1)$ и $x\in(0,\pi]$ верны неравенства $G_a(x)-\dfrac{x}{2}<g_a(x)<G_a(x)-\dfrac{x}{12}$ и $F_a(x)+\zeta(a)+\dfrac{\zeta(3)}{4\pi^3}\,x^2\sin(\pi a/2)<f_a(x)<F_a(x)+\zeta(a)+\dfrac{1}{18}\,x^2\sin(\pi a/2)$.Показано, что эти оценки неулучшаемы в следующем смысле. В оценке снизу синус-ряда вычитаемое~$x/2$ нельзя заменить на~$kx$, взяв какое-либо число $k<1/2$: после этого оценка перестанет быть верной при малых~$x$ и значениях~$a$, близких к~$1$. В оценке сверху вычитаемое~$x/12$ нельзя заменить на~$kx$, взяв какое-либо число $k>1/12$: после этого оценка перестанет быть верной при значениях~$a$ и~$x$, близких к~$0$. В оценке снизу косинус-ряда множитель $\zeta(3)/(4\pi^3)$ при $x^2\sin(\pi a/2)$ нельзя заменить б'ольшим числом: после этого оценка перестанет быть верной при близких к~$0$ значениях~$a$ и~$x$. В оценке сверху косинус-ряда множитель~$1/18$ при $x^2\sin(\pi a/2)$, вероятно, можно уменьшить, но заменить его числом~$1/24$ нельзя: при любом $a\in[0.98,1)$ такая оценка не будет выполняться не только в точке $x=\pi$, но и на некотором отрезке $x_0(a)\le x\le\pi$, где $x_0(a)\to0$ при $a\to1-$. Полученные результаты позволяют уточнить оценки функций~$f_a$ и~$g_a$, найденные недавно другими авторами.
- Добавил в систему: Родионов Тимофей Викторович