Численное исследование колебаний мембраны телефона»

Алгазин, С.Д.; Соловьёв, Г.Х.

Авторы: Алгазин С.Д., Соловьёв Г.Х.
Журнал: Инновационная наука
Номер: 2
Год издания: 2021
Издательство: Общество с ограниченной ответственностью "Аэтерна"
Местоположение издательства: Уфа
Первая страница: 8
Последняя страница: 15
Аннотация: Аннотация.Наиболее распространенным в настоящее время методом решения задач механики деформируемого твердого тела является метод конечных элементов. Его недостатки общеизвестны: аппроксимируя перемещение кусочно-линейной функцией, мы получаем, что напряжения разрывные. Вместе с тем следует заметить, что большинство задач механики деформируемого твердого тела описывается уравнениями эллиптического типа, которые имеют гладкие решения. Представляется актуальным разработать алгоритмы, которые учитывали бы эту гладкость. Идея таких алгоритмов принадлежит К. И. Бабенко. Эта идея высказана им в начале 70-х годов прошлого века. Многолетнее применение этой методики в эллиптических задачах на собственные значения автором настоящей работы доказало их высокую эффективность. Например, рассматривалась задача на собственные значения для нулевого уравнения Бесселя, на сетке из 20 узлов первое собственное значение этой задачи определено с 22 знаками после запятой [1]. В отличие от классических разностных методов и метода конечных элементов, где зависимость скорости сходимости от числа узлов сетки степенная, здесь имеем экспоненциальное убывание погрешности.Краткое изложение основ теории ненасыщаемых численных методов содержится в пер-вом издании книги К. И. Бабенко [2]. Отметим, что исследования в вычислительную математику в этом направлении недостаточно пропагандировались в России и мире и до сих пор за рубежом практически неизвестны.Подтверждением тому служит тот факт, что уже в наши дни началось фактическое "переоткрытие" (по-видимому, независимое) этих же вычислительных методов на западе – под названием "спектральных" методов (S. Orszag, D. Gotlieb [2], Е. Tadmor*, США), а также в виде современных (h – p) – специализаций метода конечных элементов (О. Widlund [4], США и S. Schwab[5,6],Швейцария), в которых при измельчении сетки (т. е. при h → 0) од-новременно увеличивается степень p полиномов, используемых при аппроксимации функ-ций внутри одного конечного элемента. Остается лишь сожалеть, что к этому моменту работы К. И. Бабенко и его учеников оказались практически забыты.Ключевые слова: Численные методы без насыщения, вынужденные колебания, мем-брана телефона. Summary.The method of solution of problems in mechanic of the deformable solid body which is the most extended now is the finite-element method. Its shortcomings are well-known: by approximating movement with piecewise linear function, we receive discontinuous tension. At the same time, it is necessary to notice that most problems of mechanics of the deformable solid body are described by equations of elliptic type which have smooth solutions. It is represented relevant to develop algorithms which would consider this smoothness. The idea of such algorithms belongs to K.I. Babenko. This idea is stated by him in the early seventies the last century. Long-term application of this technique by us in elliptic tasks on eigenvalues proved its high performance. For example, the task on eigenvalues for the zero equation of Bessel was considered, on the grid from 20 nodes the first eigenvalue of this task is defined with 22 signs after comma [1]. Unlike classical differential methods and the finite-element method where we have a power dependence of the speed of convergence of the number of nodes of the grid, we obtain here an exponential decrease of the error.The first edition of the book of K.I. Babenko [2] contains the summary of the bases of the theory of unsaturable numerical methods. Let's note that researches in calculus mathematics in this direction were not sufficiently popularized in Russia and the world and are still abroad almost unknown.To confirm that fact we can observe nowadays in the West a "reopening" (apparently, independent) of the same computing methods– under the name of "spectral" methods (S. Orszag, D. Gotlieb [3], E. Tadmor*, the USA) and also as (h – p) – specializations of the finite-element method (O. of Widlund [4], the USA and S. Schwab[5,6], Switzerland), in which with the mesh refinement (i.e. at h → 0) increases the degree p of the polynomials used for approximation of functions in one finite element. It remains to be regretted that by this time the works of K.I. Babenko and his pupils were practically forgotten.Keywords: Numerical methods without saturation, forced oscillations, phone membrane. Литература.1.Алгазин С.Д. О вычислении собственных значений обыкновенных диф¬ференциальных уравнений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1995. Т. 35, № 4. С. 603-610.2.Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 744 с.; 2-е изд., испр. и доп. / Под ред. А. Д. Брюно. М.; Ижевск: РХД, 2002. 847 с.3.Orszag S. A., Gotlib D. Numerical Analysis of Spectral Methods. Theory and Applications. Soci-ety for industrial and applied mathematics, 1977, 169 pp. Philadelphia, pennsylvania 19103.4.Andrea Toselli, Olof Widlund. Domain Decomposition Methods – Algorithms and Theory. Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2005, 450 pp.5.Cristoph Schwab. p – and Hp – Finite Element Methods theory and application to solid and fluid mechanics. OxfordUniversity, 1998.6.C. Schwab, M. Suri, M. Suri, C. Xenophontos, C. Xenophontos,... The hp finite element method for problems in mechanics with boundary layers (1996).7.«Справочник по технической акустике» под.ред. М.Хекля и Х.А.Мюллера, Судостроение, Ленинград, 1980. с.58-59.8.Физическая энциклопедия / гл.ред. Прохоров А. М. - М.: Большая российская энциклопе-дия. 1994.9.Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 735 с. 10.Алгазин С. Д. Численные алгоритмы классической математической физики. – М.: Диа-лог-МИФИ, 2010. – 240 с.11.Алгазин С. Д. О локализации собственных значений замкнутых линейных операторов // Сиб. мат. журн. 1983. Т.24. № 2. С. 3-8.12.Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций. М.: Гостехтеориз-дат, 1954.13.Алгазин С. Д. Численные алгоритмы без насыщения в классических задачах математи-ческой физики. М.: Научный мир, 2002, 155 с.14.Таблицы нулей функции Бесселя // Библиотека математических таблиц, выпуск 44. ВЦ АН СССР, 1967, 95 с.
Добавил в систему: Алгазин Сергей Дмитриевич

	ИСТИНА	Войти в систему Регистрация
	Интеллектуальная Система Тематического Исследования НАукометрических данных
	Главная Поиск Статистика О проекте Помощь

ИСТИНА

Интеллектуальная Система Тематического Исследования НАукометрических данных

Численное исследование колебаний мембраны телефона»статья Исследовательская статья

Прикрепленные файлы