|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
Интеллектуальная Система Тематического Исследования НАукометрических данных |
||
Задача М.М. Постникова о трёхмерных сферических многообразияхтезисы доклада
- Авторы: Кучериненко Я.В., Макаров В.С.
- Сборник: Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории Материалы XVIII Международной конференции, посвященной столетию со дня рождения профессоров Б. М. Бредихина, В. И. Нечаева и С. Б. Стечкина. Тула, 23–26 сент
- Тезисы
- Год издания: 2020
- Место издания: Тульский гос. пед. ун-т им. Л. Н. Толстого Тула
- Первая страница: 276
- Последняя страница: 279
- Аннотация: \title {Задача М.М. Постникова о трёхмерных сферических многообразиях } { М.М. Postnikov problem on spherical 3-manifolds } \author {%авторы статьи с указанием страны и города на русском языке {%информация о первом авторе \noindent {\bf Я.~В.~Кучериненко (Россия, г.~Москва)} \noindent {МГУ им. М. В. Ломоносова} \noindent {e-mail: yar\_kuch@mail.ru} } {%при необходимости информация о втором авторе и так далее \noindent {\bf В.~С.~Макаров (Россия, г.~Москва )} \noindent {МГУ им. М.В.Ломоносова} \noindent {e-mail: vsmak@mail.ru} } } {%авторы статьи с указанием страны и города на английском языке {%информация о первом авторе \noindent {\bf Ya.~V.~Kucherinenko (Russia, Moscow)} \noindent {Lomonosov Moscow State University} \noindent {e-mail: yar\_kuch@mail.ru} } {%при необходимости информация о втором авторе и так далее \noindent {\bf V.~S.~Makarov (Russia, Moscow %Нужно взять имя В.С.Макарова в чёрную прямоугольную рамку. Как это можно сделать? )} \noindent {Lomonosov Moscow State University} \noindent {e-mail: vsmak@mail.ru} } } \maketitle \enmaketitle % Обязательным элементом тезисов является название, фамилии авторов и аффилиация на русском и английском языках. \bigskip % {\bf\Large Основной текст тезисов.} Классификация сферических многообразий хорошо изучена с точки зрения алгебры (особенно прост трёхмерный случай) \cite{per_bib_1}. М.М. Постников предложил вернуться к истокам и дать их геометрическое описание с помощью ячеек Дирихле-Вороного правильных систем точек на 3-сфере. Таких систем, которые являются орбитами дискретных групп, действующих без неподвижных точек \cite{per_bib_2}. Движения группы, переводящие ячейку в соседнюю по общей двумерной грани, одновременно отождествляют пары её граней, завершая таким образом геометрическое описание трёхмерных сферических многообразий. Среди всех пяти серий рассматриваемых многообразий Постников предъявил ячейку Дирихле-Вороного (для каждой из групп без неподвижных точек $C_{n} \times C_{m}$, $D_{n}^{*} \times C_{m}^{*}$, $T^{*} \times C_{m}^{*}$, $O^{*} \times C_{m}^{*}$, и $I^{*} \times C_{m}^{*}$)\footnote{$m$ выбирается так, чтобы перемножаемые группы не имели одинаковых операций. Звёздочкой обозначено удвоение группы. Её применение к циклическим группам в последних четырёх сериях удобно при применении аппарата описания двойников и сростков кристаллов (фигур) и не приводит к исключению из рассмотрения каких-то групп \cite{per_bib_4}. В работе \cite{per_bib_2} циклические группы не помечены звёздочками. } только в двух первых сериях: в т.н. "линзах" и "призмах". Для остальных трёх серий было приведено геометрическое описание для первых членов, а именно, для пространств октаэдра, усечённого куба и додекаэдра, а остальные случаи натолкнулись на вычислительные трудности \cite{per_bib_2}. М.М. Постников предложил второму из авторов найти способ их преодоления. Подход, применённый первым автором для описания ориентаций компонентов двойников и сростков кристаллов, позволил разобраться в идее и технике работы \cite{per_bib_2}, а также предъявить форму ячеек Дирихле-Вороного для каждой группы остальных трёх серий \cite{per_bib_3, per_bib_4} (см. Рис. 1). Геометрия ячеек такова, что они имеют симметрию поворотов правильных трёх-, четырёх- и пятиугольных призм. Кроме того, ячейки отчасти напоминают призмы: каждая имеет по два основания (развёрнутые друг относительно друга вокруг вертикальной оси на угол, величиной равной толщине ячейки) и боковые грани. В данной работе мы приводим доказательство комбинаторного устройства ячеек, описанного в \cite{per_bib_3, per_bib_4}. Доказательство использует алгебру движений дискретных групп 3-сферы. При этом (графически показано на Рис.1) серия $O^{*} \times C_{m}^{*}$, распадается на две подсерии: 2a ($m=6i-1$) и 2b ($m=6i+1$) для любых натуральных $i$; серия $I^{*} \times C_{m}^{*}$ --- на 3a ($m=6i+1$) и 3b ($m=6i-1$) с такими натуральными $i$, чтобы $m$ не было кратным пяти. Комбинаторные характеристики многогранников указанных подсерий приведены в \cite{per_bib_3}. Отдельно укажем, что число боковых граней для серии 1 равно $3m+3$, для серии 2a равно $(8m+20)/3$, для серии 2b равно $(8m+28)/3$, для серии 3a равно $(5m+25)/3$ и для серии 3b равно $(5m+35)/3$. Для каждого многогранника получены также карты отождествлений пар граней. При этом каждая из серий 1, 2a и 2b распадается на две подсерии, в которых одинаковым образом отождествляются грани оснований и по одинаковому принципу --- боковые грани. Каждая из серий 3a и 3b распадается на четыре подсерии. Карты отождествлений призм (серия $D_{n}^{*} \times C_{m}^{*}$) естественным образом делятся на две подсерии. \begin{figure}[ht!] \centering \includegraphics[width=420pt]{ris1.jpg} \caption{Примеры сферических стереоэдров бесконечных серий: 1 --- фундаментальные многогранники групп $T^{*} \times C_{5}^{*}$ (а) и $T^{*} \times C_{7}^{*}$ (b); 2a --- $O^{*} \times C_{5}^{*}$; 2b --- $O^{*} \times C_{7}^{*}$; 3a --- $I^{*} \times C_{13}^{*}$ 3b --- $I^{*} \times C_{11}^{*}$ \cite{per_bib_4}} % \label{%метка на рисунок в формате первые три буквы английской фамилии первого автора подчеркивание tez подчеркивание номер ссылки per_fig_2} \label{kuc_fig_1} \end{figure} Таким образом, решение задачи М.М. Постникова завершено. Кроме того, получена более подробная классификация трёхмерных сферических многообразий (в сравнении с известными пятью счётными сериями), учитывающая геометрические особенности операций дискретных групп, действующих на трёхмерной сфере без неподвижных точек. Настоящую работу можно рассматривать также, как небольшое продвижение в решении задач о перечислении правильных разбиений 3-сферы \cite{per_bib_5} и четырёхмерных изоэдров (простых форм) \cite{per_bib_6}. \smallskip \begin{thebibliography}{10} \bibitem{per_bib_1} Вольф~Дж. Пространства постоянной кривизны. --- М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. 480 с. \bibitem{per_bib_2} Постников~М.~М. Трехмерные сферические формы // Труды МИАН СССР. 1991. Том~196. C. 114--146. English version: M. M. Postnikov~M.~M. Three-dimensional spherical forms// Proc. Steklov Inst. Math., 196 (1992), 129–-161. \bibitem{per_bib_3} Кучериненко~Я.~В., Макаров~В.~С. Геометрия бикристаллов и трёхмерные сферические многообразия //Материалы XII Международного семинара «Дискретная математика и её приложения» имени академика О.Б. Лупанова (Москва, 20-25 июня 2016 г.) --- М.: МГУ, 2016. С. 360-362. \bibitem{per_bib_4} Кучериненко~Я.~В., Макаров~В.~С. Теория двойников и сростков кристаллов как раздел четырехмерной кристаллографии // Труды XIII Всероссийской научной школы "Математические исследования в естественных науках" (Апатиты, 17 октября 2016 г.) --- Апатиты: Изд-во К\&M, 2016. С. 52-63. \bibitem{per_bib_5} Долбилин~Н.~П. О правильных разбиениях Дирихле сферы. --- Москва: МИАН, 1972. 89с. \bibitem{per_bib_6} Долбилин~Н.~П. О трёхмерных и четырёхмерных простых формах // Сб. «Проблемы кристаллологии», посвящённый 80-летию академика Н.В. Белова. --- М.: МГУ, 1971. C. 315-324. \end{thebibliography} \end{document}
- Добавил в систему: Кучериненко Ярослав Викторович