О длине периода функциональной непрерывной дроби над числовым полемстатья
Статья опубликована в журнале из списка RSCI Web of Science
Статья опубликована в журнале из перечня ВАК
Статья опубликована в журнале из списка Web of Science и/или Scopus
Дата последнего поиска статьи во внешних источниках: 28 июля 2021 г.
Аннотация:В классическом случае давно известна связь между условиемпериодичности непрерывной дроби элемента $\sqrt{f}$и условием существования фундаментальной единицы соответствующегогиперэллиптического поля $\mathcal{L} = K(x)(\sqrt{f})$,где $K$ --- поле характеристики, отличной от 2.Для элемента $\sqrt{f}$ длина периода непрерывной дроби,построенной в поле формальных степенных рядов $K((1/x))$,может быть тривиальным образом оценена сверху удвоенной степенью фундаментальной единицы.Значительно более сложной и интересной является задача о верхней оценке длинпериодов других элементов гиперэллиптического поля $\mathcal{L}$, обладающихпериодической непрерывной дробью.Среди таких элементов ключевую роль играют элементы вида $\sqrt{f}/x^s$, $s \in \mathbb{Z}$.Для таких элементов длина периода может многократно превосходить удвоенную степеньфундаментальной единицы.Найдены верхние оценки на длины периодов некоторыхключевых элементов гиперэллиптических полей $\mathcal{L}$ над числовыми полями $K$.Найден пример демонстрирующий точность доказанных верхних оценок.