О числе однородных невырожденных p-ичных функций заданной степенистатья
Статья опубликована в журнале из списка RSCI Web of Science
Информация о цитировании статьи получена из
Web of Science,
Scopus
Статья опубликована в журнале из перечня ВАК
Статья опубликована в журнале из списка Web of Science и/или Scopus
Дата последнего поиска статьи во внешних источниках: 16 января 2019 г.
Аннотация:Пусть $p$ – простое число, $F=GF(p)$, $V_n$ – $n$-мерное векторное пространство над $F$, а $e$ – базис пространства $V_n$. Пусть также $\varphi:V_n\to F$. Функция $\varphi$ называется $e$-однородной, если $\varphi(x)=\pi_{\varphi,e}(\vec x)$ для всех $x\in V_n$, где $\pi_{\varphi,e}$ – однородный многочлен от $n$ переменных над $F$, имеющий степень не более $p-1$ по каждой переменной, а $\vec x$ – набор координат вектора $x$ в базисе $e$. Функция $\varphi$ называется невырожденной, если $deg \varphi\ge1$ и $deg \partial_v\varphi=(deg \varphi)-1$ для любого ненулевого $v\in V_n$, где $(\partial_v\varphi)(x)=\varphi(x+v)-\varphi(x)$ для всех $v,x\in V_n$. Это понятие было введено О. А. Логачевым, А. А. Сальниковым и В. В. Ященко в случае, когда $p=2$. В работе получена формула для числа $e$-однородных невырожденных функций $\varphi:V_n\to F$, имеющих степень $d$ (это число не зависит от $e$). Кроме того, найдены нижняя оценка и асимптотическая формула для этого числа, имеющие достаточно простой вид. Доказательства основных результатов используют базис Дженнингса групповой алгебры $FG_n$, где $G_n$ – элементарная абелева $p$-группа ранга $n$.