Аннотация:В работе изучаются множества, для которых существуют локальные (глобальные) непрерывные ε-выборки на некоторых выпуклых подмножествах. В частности, устанавливается, что если на некоторой окрестности O(x) точки x банахова пространства X для любого числа ε>0 существует всюду плотное в O(x) выпуклое множество K, на котором существует полунепрерывная сверху ацикличная (в частности, непрерывная однозначная) ε-выборка на аппроксимативно компактное множество M⊂X, то x является точкой δ-солнечности, и, если дополнительно, X∈(R), то множество всех ближайших для x в M одноточечно.