ИСТИНА

В проекте рассмотрены различные модели, связанные в первую очередь с процессами распространения ультразвука в неоднородных поглощающих средах. Рассмотрены модели, в которых поглощение не зависит и квадратично зависит от частоты зондирующих импульсов, а также модели учитывающие вариацию плотности вещества. Для разных волновых моделей, учитывающих поглощение, получены точные выражения для градиента функционала невязки как по функции скорости распространения волн, так и по функции поглощения. Используя это представление, разработаны численные методы и итерационные алгоритмы. Рассмотрены и проведено сравнение различных вариантов граничных условий с целью повышения точности решения обратной задачи. Разработан, теоретически обоснован и реализован точный метод задания граничных условий при решении обратной задачи, который показал свое преимущество по сравнению с другими методами. Важной проблемой построения итерационных методов является выбор начального приближения. Все модельные задачи решались с начального приближения, в котором все искомые функции полагались равными константе. Модельные расчеты показали, что можно восстанавливать не только скоростной разрез, но поглощение. Во всех моделях с поглощением скоростной разрез восстанавливается лучше, чем поглощение. Разработанные алгоритмы хорошо распараллеливаются при реализации на суперкомпьютерах, что позволяет в сотни раз сократить время вычислений по сравнению с персональным компьютером. Проведенные оптимизации объема пересылаемых данных и коллективных операций MPI позволили сократить время выполнения исходной программы в 2-4 раза. При этом также удалось снизить скорость уменьшения эффективности при увеличении числа процессов. Достигнута масштабируемость программ до нескольких тысяч вычислительных ядер. Использование аналитических решений в задаче рассеяния, позволило провести полноценное моделирование для простых объектов. Решение прямой задачи в аналитической и в конечно-разностной постановках показали хорошее согласие. Решение обратной задачи для входных данных, полученных независимым аналитическим методом и численно - практически не отличаются. Показано, что в области параметров близких к ультразвуковой диагностике в медицине, допустимо применение послойного метода в задаче реконструкции 3D объектов. Наличие волновых эффектов приводит к появлению артефактов в восстановленных сечениях и ухудшению разрешения в направлении перпендикулярном сечениям. Показано, что восстановление поля скоростей на основе волновой модели (не учитывающей плотность) не сильно чувствительно к наличию разницы в 10%-20% в плотности вещества. Проведено сравнение времени вычислений при одинаковых параметрах задач на графических процессорах и процессорах общего назначения суперкомпьютера «Ломоносов», которое показало перспективность использования GPU в рассматриваемых обратных задачах.

В проекте рассмотрены различные модели распространения ультразвука в неоднородных поглощающих средах. Рассмотрена простейшая модель, в которой поглощение не зависит от частоты зондирующих импульсов, а также стоксовское поглощение в вязких средах, которое, как показано, подчиняется квадратичной зависимости от частоты. Поставлена обратная задача как коэффициентная обратная задача относительно двух неизвестных функций, характеризующих как скоростной разрез, так и поглощение. Получены точные выражения градиента функционала невязки как по скорости, так и по поглощению. Разработаны эффективные алгоритмы минимизации функционала невязки на базе вычисления градиента через решение сопряженной задачи. Рассмотрены и проведено сравнение различных вариантов граничных условий с целью повышения точности решения обратной задачи. Разработан, теоретически обоснован и реализован точный метод задания граничных условий при решении обратной задачи, который показал свое преимущество по сравнению с другими методами. Модельные расчеты показали, что при небольших погрешностях входных данных можно восстанавливать одновременно две функции: скоростной разрез и поглощение. Во всех моделях с поглощением скоростной разрез восстанавливается лучше, чем поглощение, кроме того, восстановление скоростного разреза не так уж сильно зависит от модели поглощения. Это позволяет оптимистично оценивать потенциальные возможности ультразвуковых томографов для медицинских целей. Важной проблемой построения итерационных методов является выбор начального приближения. Все модельные задачи решались с начального приближения, в котором все искомые коэффициенты полагались равными константе. В настоящей работе проведено решение большого числа модельных обратных задач, что было бы невозможно без использования суперкомпьютеров и разработанного высокомасштабируемого программного кода. Разработанные алгоритмы хорошо распараллеливаются при реализации на суперкомпьютерах, что позволяет в сотни раз сократить время вычислений по сравнению с персональным компьютером. Проведенные оптимизации программного кода позволили сократить время выполнения исходной программы в 2-4 раза. При этом также удалось снизить скорость уменьшения эффективности при увеличении числа процессов. Достигнута практически линейная масштабируемость программ, учитывающих поглощение в среде, в диапазоне от 60 до 2300 вычислительных ядер. Продемонстрирована возможность решения обратных задач для нескольких десятков источников на мелких сетках вплоть до 1000-2000 точек по каждой оси на сечениях трехмерных объектов. На модельный расчетах с параметрами задачи характерными для диагностики в медицине показана возможность реконструкции объектов размером 2-3 мм. Проведено сравнение вычислительных возможности кластеров на GPU и на процессорах общего назначения в задаче распространения ультразвуковых волн. Показана перспективность использования графических процессоров в рассматриваемой задаче. Широко применяемый подход, в рамках которого решение трехмерной задачи ультразвуковой томографии заменяется набором двумерных обратных задач по сечениям, не является, строго говоря, обоснованным с математической точки зрения. Однако полученные результаты моделирования для однородного шара с помощью аналитических решений для рассеянной волны показывают, что в области параметров близких к ультразвуковой диагностике заболеваний молочной железы, применимы послойные методы в волновой томографии для реконструкции 3D объектов. С некоторой погрешностью удается восстанавливать как форму неоднородного объекта, так и абсолютные значения скорости распространения волны. Однако наличие волновых эффектов приводит к появлению артефактов в восстановленных сечениях и ухудшению разрешения в направлении перпендикулярном сечениям. В случае простых неоднородностей в виде бесконечного цилиндра или шара помещенных в однородную среду выписано аналитическое решение прямой задачи рассеяния в виде рядов по специальным функциям. Сравнение решений прямой задачи в двумерном случае в аналитической и в конечно-разностной постановках показали хорошее согласие в расчетах волнового поля в неоднородной среде. Проведенные модельные расчеты показали, что восстановление поля скоростей на основе волновой модели (не учитывающей плотность) не сильно чувствительно к наличию разницы в 10%-20% в плотности вещества. Это оправдывает применение волновой модели в задаче ультразвуковой томографии. Разработанные методы можно использовать в обратных задачах сейсмики, инженерной сейсмики, в задачах электромагнитной диагностики приповерхностных слоев Земли.