Алгебраическая топология и геометрия многообразий с действием тораНИР

Algebraic topology and geometry of manifolds with torus action

Источник финансирования НИР

грант РФФИ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 15 апреля 2017 г.-31 декабря 2017 г. Алгебраическая топология и геометрия многообразий с действием тора
Результаты этапа: Доказана когомологическая жёсткость 6-мерных квазиторических и 3-мерных гиперболических многообразий над 3-мерными прямоугольными многогранниками в пространстве Лобачевского. Доказана теорема, налагающая ограничения на связь мультипликативных структур когомологий тотального пространства и базы разветвленных накрытий многообразий. Эта теорема существенно усиливает известную нижнюю оценку Берстейна-Эдмондса на число листов разветвленных накрытий многообразий. Д.В. Миллионщиковым была найдена связь между характеристическими алгебрами двух важнейших нелинейных уравнений математической физики, уравнений синус-Гордона и Цицейки, с положительными частями двух аффинных алгебр Каца-Муди A_1^(1) и A_2^(2). Эти два примера бесконечномерных алгебр Ли играют важную роль в теории полиномиальных алгебр Ли, построенной и развитой В.М. Бухштабером. Эти важные открытия поставили общую задачу более глубокого алгебраического описания характеристических алгебр Ли нелинейных гиперболических уравнений в частных производных. В 2017 г. Д.В. Миллионщиковым была доказана теорема о том, что конечнопорожденная характеристическая алгебра Ли гиперболического нелинейного уравнения является про-разрешимой алгеброй Ли, и более того, она является неотрицательно градуированной в важнейших примерах. Другим важным результатом 2017 г. является построение биградуированной структуры в алгебрах дифференциальных операторов, связанных с интегрируемыми гиперболическими нелинейными уравнениями. Именно эта биградуировка помогает установить медленный рост характеристической алгебры Ли, если этот рост имеет место быть.
2 13 марта 2018 г.-31 декабря 2018 г. Алгебраическая топология и геометрия многообразий с действием тора 2018.
Результаты этапа: В. В. Батыревым было построено семейство гиперповерхностей Калаби–Яу, двойственных к первому классу Чженя в торических многообразиях Фано. Используя эту конструкцию, мы вводим семейство многообразий Калаби–Яу, классы SU-бордизма которых порождают кольцо специальных унитарных бордизмов. Мы также явно описываем многообразия Калаби–Яу, представляющие мультипликативные образующие кольца SU-бордизмов в малых размерностях. Ф.Батталья и Д.Заффран вычислили базисные числа Бетти канонического голоморфного слоения на момент-угол-многообразии, соответствующем расщепляемому (shellable) вееру. Ими была высказана гипотеза, что кольцо базисных когомологий в случае произвольного полного симплициального веера имеет описание, аналогичное кольцу когомологий полного симплициального торического многообразия (теорема Данилова-Юркевича). В нашей работе мы доказываем эту гипотезу. Доказательство использует спектральную последовательность Эйленберга-Мура; ключевым шагом является установление формальности модели Картана для действия тора на момент-угол-многообразии. Были продолжены исследования различных градуировок бесконечномерных алгебр Ли. В частности, особое внимание было уделено различным градуировкам характеристических алгебр Ли уравнений Клейна-Гордона. Построены таблицы соответствия таких градуировок для двух важных случаев: уравнения синус-Гордона и уравнения Цицейки. Также исследовался вопрос взаимодействия различных положительных градуировок для полиномиальных алгебр Ли, в частности для полиномиальных алгебр Ли бесконечного ранга. Доказана так называемая gt_n-формула (gt от слов "групповой трансфер") для действий конечных групп G на градуировано коммутативных алгебрах D^* над полем рациональных чисел. Здесь n --- это индекс произвольной подгруппы H в конечной группе G. Если дано действие конечной группы G на алгебре D^* и дана подгруппа H в G индекса n, то мы имеем алгебру A^*=D^H (инварианты относительно H) и ее подалгебру B^*=D^G (инварианты относительно G). Тогда gt_n-формула утверждает, что для любых однородных элементов a_1,a_2,...,a_n из A^* положительных степеней их произведение a_1a_2...a_n может быть выражено как сумма по всем подсловам этого произведения, умноженным на некоторые элементы уже из подалгебры B^* (однородные и соответствующих положительных степеней). Основное применение полученной gt_n-формулы связано с рациональными когомологиями разветвленных накрытий многообразий размерности большей двух. Найдены все препятствия к реализуемости квазипериодических многообразий, как поверхностей уровня замкнутых 1-форм типа Морса, в компактных многообразиях на единицу большей размерности. Они лежат в группе бордизмов (точки) многообразий с краем. Техническое вычисления пока не представляется возможным.

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".