Алгебраическая топология и геометрия многообразий с действием тораНИР

Algebraic topology and geometry of manifolds with torus action

Источник финансирования НИР

грант РФФИ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 15 апреля 2017 г.-31 декабря 2017 г. Алгебраическая топология и геометрия многообразий с действием тора
Результаты этапа: Доказана когомологическая жёсткость 6-мерных квазиторических и 3-мерных гиперболических многообразий над 3-мерными прямоугольными многогранниками в пространстве Лобачевского. Доказана теорема, налагающая ограничения на связь мультипликативных структур когомологий тотального пространства и базы разветвленных накрытий многообразий. Эта теорема существенно усиливает известную нижнюю оценку Берстейна-Эдмондса на число листов разветвленных накрытий многообразий. Д.В. Миллионщиковым была найдена связь между характеристическими алгебрами двух важнейших нелинейных уравнений математической физики, уравнений синус-Гордона и Цицейки, с положительными частями двух аффинных алгебр Каца-Муди A_1^(1) и A_2^(2). Эти два примера бесконечномерных алгебр Ли играют важную роль в теории полиномиальных алгебр Ли, построенной и развитой В.М. Бухштабером. Эти важные открытия поставили общую задачу более глубокого алгебраического описания характеристических алгебр Ли нелинейных гиперболических уравнений в частных производных. В 2017 г. Д.В. Миллионщиковым была доказана теорема о том, что конечнопорожденная характеристическая алгебра Ли гиперболического нелинейного уравнения является про-разрешимой алгеброй Ли, и более того, она является неотрицательно градуированной в важнейших примерах. Другим важным результатом 2017 г. является построение биградуированной структуры в алгебрах дифференциальных операторов, связанных с интегрируемыми гиперболическими нелинейными уравнениями. Именно эта биградуировка помогает установить медленный рост характеристической алгебры Ли, если этот рост имеет место быть.
2 13 марта 2018 г.-31 декабря 2018 г. Алгебраическая топология и геометрия многообразий с действием тора 2018.
Результаты этапа: В. В. Батыревым было построено семейство гиперповерхностей Калаби–Яу, двойственных к первому классу Чженя в торических многообразиях Фано. Используя эту конструкцию, мы вводим семейство многообразий Калаби–Яу, классы SU-бордизма которых порождают кольцо специальных унитарных бордизмов. Мы также явно описываем многообразия Калаби–Яу, представляющие мультипликативные образующие кольца SU-бордизмов в малых размерностях. Ф.Батталья и Д.Заффран вычислили базисные числа Бетти канонического голоморфного слоения на момент-угол-многообразии, соответствующем расщепляемому (shellable) вееру. Ими была высказана гипотеза, что кольцо базисных когомологий в случае произвольного полного симплициального веера имеет описание, аналогичное кольцу когомологий полного симплициального торического многообразия (теорема Данилова-Юркевича). В нашей работе мы доказываем эту гипотезу. Доказательство использует спектральную последовательность Эйленберга-Мура; ключевым шагом является установление формальности модели Картана для действия тора на момент-угол-многообразии. Были продолжены исследования различных градуировок бесконечномерных алгебр Ли. В частности, особое внимание было уделено различным градуировкам характеристических алгебр Ли уравнений Клейна-Гордона. Построены таблицы соответствия таких градуировок для двух важных случаев: уравнения синус-Гордона и уравнения Цицейки. Также исследовался вопрос взаимодействия различных положительных градуировок для полиномиальных алгебр Ли, в частности для полиномиальных алгебр Ли бесконечного ранга. Доказана так называемая gt_n-формула (gt от слов "групповой трансфер") для действий конечных групп G на градуировано коммутативных алгебрах D^* над полем рациональных чисел. Здесь n --- это индекс произвольной подгруппы H в конечной группе G. Если дано действие конечной группы G на алгебре D^* и дана подгруппа H в G индекса n, то мы имеем алгебру A^*=D^H (инварианты относительно H) и ее подалгебру B^*=D^G (инварианты относительно G). Тогда gt_n-формула утверждает, что для любых однородных элементов a_1,a_2,...,a_n из A^* положительных степеней их произведение a_1a_2...a_n может быть выражено как сумма по всем подсловам этого произведения, умноженным на некоторые элементы уже из подалгебры B^* (однородные и соответствующих положительных степеней). Основное применение полученной gt_n-формулы связано с рациональными когомологиями разветвленных накрытий многообразий размерности большей двух. Найдены все препятствия к реализуемости квазипериодических многообразий, как поверхностей уровня замкнутых 1-форм типа Морса, в компактных многообразиях на единицу большей размерности. Они лежат в группе бордизмов (точки) многообразий с краем. Техническое вычисления пока не представляется возможным.
3 1 апреля 2019 г.-31 декабря 2019 г. Алгебраическая топология и геометрия многообразий с действием тора 2019.
Результаты этапа: В статье С.А.Абрамяна и Т.Е.Панова "Высшие произведения Уайтхеда для момент угол-комплексов и подстановки симплициальных комплексов" (Труды МИАН им. В.А.Стеклова, т. 305, 2019, стр. 7-28) изучен вопрос реализуемости итерированных высших произведений Уайтхеда с данной формой вложенных скобок симплициальными комплексами на основе конструкции момент–угол-комплекса Z_K. По определению симплициальный комплекс K реализует итерированное высшее произведение Уайтхеда w, если w является нетривиальным элементом в гомотопической группе \pi_∗(Z_K). Комбинаторный подход к вопросу реализуемости использует операцию подстановки симплициальных комплексов: для любого итерированного высшего произведения w описан симплициальный комплекс ∂Δw, реализующий w. Более того, для специального вида вложенных скобок внутри w доказано, что ∂Δw является наименьшим симплициальным комплексом, реализующим w. Также получен комбинаторный критерий нетривиальности произведения w. При доказательстве нетривиальности использованы представитель образа w при гомоморфизме Гуревича в клеточных цепях момент–угол-комплекса ZK и описание умножения в когомологиях момент–угол-комплекса Z_K. Также использован алгебраический подход на основе коалгебраической версии комплексов Кошуля и Тейлор коалгебры граней симплициального комплекса K для описания канонических циклов, соответствующих итерированным высшим произведениям w. Тем самым получен другой критерий реализуемости произведения w. Опубликована обзорная статья И.Ю.Лимонченко, Т.Е.Панов, Г.С.Черных "SU-бордизмы: структурные результаты и геометрические представители" (УМН т. 74, вып. 3, 2019, стр. 95-166). В первой части обзора дано современное изложение структуры кольца специальных унитарных бордизмов, включающее как классические геометрические методы Коннера–Флойда, Уолла и Стонга, так и технику спектральной последовательности Адамса–Новикова и формальных групп, в том числе результаты, полученные после фундаментальной работы С. П. Новикова 1967 г. Во второй части мы используем методы торической топологии для построения и описания геометрических представителей в классах SU-бордизма, включая торические и квазиторические многообразия, а также многообразия Калаби–Яу. Пусть дано гладкое односвязное замкнутое 4-мерное многообразие M^4. Хорошо известно, что M^4 не допускает структуры H-пространства в широком смысле (т.е. с аксиомой единицы, но без гомотопической ассоциативности). В работе Т.Е.Панова (1996) было доказано, что только на многообразиях из следующего списка нет когомологических препятствий для наличия на них структуры 2H-пространства (двузначного умножения с единицей): это сфера S^4, kCP^2+(6-k)(-CP^2), 3(S^2xS^2). А именно, это в точности те многообразия, в рациональных когомологиях которых есть структура 2-алгебры Хопфа. Нами исследовался следующий по сложности вопрос: у каких многообразий M^4 нет когомологических препятствий для существования на них структуры коммутативного 3H-пространства? Была доказана следующая теорема: многообразие M^4 допускает в рациональном кольце когомологий структуру кокоммутативной 3-алгебры Хопфа, если и только если оно принадлежит следующему списку: S^4, kCP^2+(4-k)(-CP^2), 2(S^2xS^2). Доказано, что в случае, если симплициальный комплекс является флаговым или размерности не больше 1, кольцо S^1-эквивариантных когомологий момент-угол многообразия есть свободный модуль над кольцом эквивариантных когомологий точки тогда и только тогда, когда симплициальный комплекс является джойном границ симплексов и симплекса. Также доказано, что если симплициальный комплекс является джойном границ симплексов и симплекса (при этом он не обязан быть флаговым или размерности не больше 1), то кольцо эквивариантных когомологий момент-угол комплекса является свободным модулем. Дано явное комбинаторное описание минимальной системы образующих коммутанта прямоугольной группы Артина и описание класса симплициальных комплексов, для которых этот коммутант является свободной группой. Построен рекуррентный и монотонный способ построения и классификации нильпотентных алгебр Ли путем последовательных центральных расширений, обобщающий метод классификации естественно градуированных алгебр Ли. Он заключается в вычислении вторых когомологий H^2(g, K) расширяемой нильпотентной алгебры Ли g с последующем изучением геометрии пространства орбит действия группы автоморфизмов Aut}(g) алгебры Ли g на грассманианах вида Gr(m,H^2(g,K)). При этом необходимо учитывать фильтрованную структуру когомологий относительно идеалов нижнего центрального ряда: коцикл, определяющий центральное расширение должен иметь максимальную фильтрацию. Такой геометрический метод позволяет классифицировать не только узкие естественно градуированные алгебры Ли нильпотентные алгебры Ли малых размерностей. Было введено понятие жесткого центрального расширения. Построены примеры жестких и нежестких центральных расширений (совместная работа с Р. Хименесом в Трудах МИАН 2019 г.)  При помощи классификации узких естественно градуированных алгебр Ли g дано необходимое условие существовании z интегрируемой комплексной структуры на g. В 2018 году в рамках проекта было доказано, что срезка идеальных вершин задает биекцию между множествами комбинаторных типов 3-мерных многогранников конечного объема с прямыми двугранными углами в пространстве Лобачевского и 3-мерных простых многогранников с сильно циклически реберно 4-связными графами, кроме куба и 5-угольной призмы. Доказательство основано на теореме Е.М.Андреева 1970 года. Этот результат открывает новые связи между результатами по геометрии гиперболических многообразий и прямоугольных многогранников и результатами по теории графов о построении семейств многогранников, в частности результатом Д.Барнетта о построении вышеуказанного класса многогранников. В 2019 году улучшена конструкция Барнетта: показано, что достаточно использовать только добавления рёбер, пересекающих не более одного четырёхугольника.

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".