Аппроксимация дифференциальных уравнений дробного порядка и проинтегрированных полугруппНИР

Источник финансирования НИР

грант РФФИ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2015 г.-31 декабря 2015 г. Аппроксимация дифференциальных уравнений дробного порядка и проинтегрированных полугрупп
Результаты этапа: Доказаны теоремы устойчивости разностных схем при аппроксимации дробных линейных уравнений в банаховом пространстве \cite{Ru3}. В случае полулинейных уравнений установлено \cite{Ru2}, что компактная сходимость резольвент влечет сходимость полудискретных аппроксимаций. В статье \cite{Allaber} рассматривается возможность доказательства неравенств коэрцитивности для абстрактных дифференциальных гиперболических уравнений второго порядка. Кроме того, показано, что нельзя доказать неравенств коэрцитивности для дискретизированных дифференциальных гиперболических уравнений. Вводится понятие слабой коэрцитивности, которая и установлена для различных задач, обсуждаемых в работе. В работах \cite{Bak1}, \cite{Bak2}, \cite{Bak3} описывается поведение итеративно регуляризированных процессов Гаусса-Ньютона в присутствии случайного шума. Используется модель случайного шума предложенная ранее одними из авторов. Получены теоремы о сходимости возмущенных процессов типа Гаусса-Ньютона в среднем квадратическом к точному решению. В работах \cite{Mor1,Mor2} исследовано сингулярное интегральное уравнение Гильберта нейтрального типа и его дискретного аналога. Определено понятие эквивалентности сингулярного интегрального уравнения и бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. Найдены спектры классического оператора Гильберта и интегрального оператора нейтрального типа и их дискретных аналогов. Проведен анализ разрешимости и однозначной разрешимости интегрального уравнения. Однозначная разрешимость дискретных задач установлена с применением беспараметрного метода регуляризации сдвигом. Доказаны теоремы сходимости этих решений к решениям соответствующих задач. Разработаны быстрые алгоритмы решения дискретных уравнений, основанные на методе быстрого преобразования Фурье. В работах \cite{Mor3,Mor4} редложен приближенный метод вычисления сингулярных интегралов для случая, когда ядра интегральных операторов в регулярной части уравнения Гильберта нейтрального типа являются тригонометрическими функциями. Предложенный подход обобщен на случай сингулярных интегральных уравнений Гильберта первого и второго рода с разностными регулярными частями, являющимися произвольными тригонометрическими полиномами. Разработан общий подход к решению и регуляризации их дискретных аналогов. В гильбертовом пространстве рассмотрена задача типа Коши для дифференциального уравнения с дробной производной и самосопряженным оператором. Поставлена задача определения параметра в неоднородном члене уравнения по значению решения в фиксированной точке \cite{Orl1}. Доказаны теоремы существования и единственности решения. Стандартные явные схемы для параболических уравнений не очень удобны для вычислительной практики поскольку они имеют сильные ограничения на шаг по времени. Такие ограничения не возникают для некоторых явных схем, основанных на явно-неявном расщеплении оператора ( асимметричные схемы Саульева, явное переменное направление ). Эти схемы абсолютно устойчивы, однако, их свойства аппроксимации хуже, чем обычные неявные схемы. Эти явные схемы рассмотрены в \cite{Vab1}. Здесь предлагается многоуровневую модификацию метода переменных направлений, который демонстрирует лучшие свойства с точки зрения точности. Также рассматриваются явные схемы переменных напрвлений для численного решения краевых задач системы уравнений. Исследование основано на общей теории устойчивости разностных схем операторов. Работа \cite{Vab2} имеет дело с проблемой выбора шага по времени для численного решение краевых задач для параболических уравнений. Решение задачи получено, используя полностью неявную схему, тогда как временной шаг получен через явные вычисления. Используя явную схему, вычисляется решение на новом уровне времени. Далеее происходит корректировка до получения решения задачи на этом уровне времени с предписанной точностью. Такой алгоритм приводит к явным формулам для вычисления шага по времени. В \cite{Vab3} рассматривается уравнение для дробной степени эллиптического оператора второго порядка. Оно решается численно, используя задачу для псевдопараболического уравнения с зависимостью от времени. Для этой вспомогательной задача Коши применяется двуслойная схема. Поучены условия устойчивости полностью дискретной схемы. Изучается зависимость точности на сетках по времени и пространству. Работа \cite{Vab4} тоже имеет дело с проблемой выбора шага по времени для численного решение краевых задач для параболических уравнений. Решение задачи получено, используя полностью неявную схему, тогда как шаг по времени выбран через явные вычисления. Стратегия выбора состоит из следующих двух стадий. В первой стадии мы используем явные вычисления для выбора подходящего шага по времени. На второй стадии, используя неявную схему, мы вычисляем решение на новом уровене по времени. Это решение должно быть близко к решению нашей задачи с предписанной точностью. Такой алгоритм приводит к явным формулам для вычисления шага по времени и принимает во внимание как динамику решения задачи, так и изменения в коэффициентах уравнения и в его правой части. Те же самые формулы для оценки шага по времени получены при помощи сравнения из двух аппроксимирующих решений, которые получены, используя явную схему с основным временным шагом и шагом, который уменьшен наполовину. Как уже отмечалось, стандартные явные схемы для параболических уравнений не очень удобны для вычислительной практики вследствие того, что у них есть сильные ограничения на шаг по времени. В работе \cite{Vab5} рассматриваются более многообещающий явные схемы связаны с явно-неявным расщеплением. Исследование базуруется на общей теории устойчивости разностных схем. Шесть работ нашего коллектива уже приняты (но не опубликованных еще) в печать в 2015 году. \section{Участие в конференциях в 2015 году} В 2015 году опубликованы следующие тезисы конференций: 1.Bakushinsky A., Kokurin M. Iteratively Regularized Gauss-Newton Methods under Random Noise. Springer Proceedings in Math {\&} Stat "Inverse Problems and Applications" ISBN 978-3-319-12498-8, DOI 10.1007/978-3-319-12499-5, p.1-12. 2. Bakushinsky A., Smirnova A., de Camp.L. On stable parametr estimation in epidemiology using abstract discrepancy principle . Proceedings of the Inverse Problems from Theory to Applicattions , Conference IPTA, IOP Publishing 2015 pp.53-57. 3.Ильютко В.П., Мокин А.Ю., Высикайло Ф.И., Савенкова Н.П. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОЛСТРАТЫ В НАНОСЕКУНДНЫХ РАЗРЯДАХ. В сборнике 22 международная конференция Математика Компьютер Образование, место издания НИЦ Регулярная и хаотическая динамика Пущино,тезисы, с. 173-173. 4. Ильютко В.П., Мокин А.Ю., Высикайло Ф.И., Савенкова Н.П. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОЛСТРАТЫ В НАНОСЕКУНДНЫХ РАЗРЯДАХ. Математика Компьютер Образование, Пущино, 19-26 января, 2015. 5. Морозов В.А., Назимов А.Б. Метод регуляризации сдвигом решения сингулярного интегрального уравнения Гильберта нейтрального типа // Труды Международной конференции по оптимизации вычислений. Киев: Институт кибернетики АН Украины, 2015. 72-73. 6. Назимов А.Б., Морозов В.А. О решении интегрального уравнения Гильберта методом регуляризации сдвигом // Тезисы Международной конференции "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики - 2015". Новосибирск: Институт вычислительной математики и математический геофизики СО РАН, 2015. 12. 7. Назимов А.Б., Морозов В.А. Метод регуляризации сдвигом решения сингулярного интегрального уравнения Гильберта нейтрального типа // Труды Международной конференции "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики - 2015". Новосибирск: Институт вычислительной математики и математический геофизики СО РАН, 2015. 914-918. 8. Морозов В.А., Назимов А.Б. О решении сингулярного уравнения Гильберта методом регуляризации // Тезисы докладов Международного научного семинара по обратным и некорректно поставленным задачам. М.: Изд-во РУДН, 2015. 128-129. 9. Petr N. Vabishchevich. Time Step for Numerically Solving Parabolic Problems. Finite Difference Methods,Theory and Applications. 6th International Conference, FDM 2014, Lozenetz, Bulgaria, June 18-23, 2014, Springer, 2015, Pp. 96-103. 10. Piskarev S. Stability of difference schemes for fractional Cauchy problem. International conference "Pontryaginskie chtenija" dedicated to the memory of V.A. Il'in. Abstracts. Voronezh, 2015, pp. 128--129. 11. S. Piskarev. Stability of difference schemes for fractional equations in Banach space. International conference on mathematical control theory and mechanics, July 3-7, Abstracts, Suzdal, Russia, 2015. p. 185--186. 12. Piskarev S. Approximation of fractional Cauchy problems. The 8-th International scientific seminar "Analytic methods of analysis and differential equations" dedicated to the memory of A.A. Kilbas. Abstracts. Minsk, 2015, pp. 68--68. 13. Piskarev S. Difference Schemes for Fractional Cauchy Problem The abstract book of the International Conference on Advancements in Mathematical Sciences, Turkey, Antalya , November 5-7, 2015, p. 182-182. 14. Piskarev S. Stability of difference schemes for fractional evolution equations in Banach spaces. Abstracts of International Russian--Chinese Conference on Actual Problems of Applied Mathematics and Physics (IRCCAPAMP). December 14 - December 18, 2015, Prielbrusie, Kabardino-Balkarian Republic, Russia. Список литературы: \bibitem{Ru2} Ru Liu, Miao Li and Sergey Piskarev. Approximation of Semilinear Fractional Cauchy Problem. Comput. Methods Appl. Math. 2015, vol.15, Issue 2, p. 203--212. \bibitem{Ru3} Ru Liu, Miao Li and Sergey Piskarev. Stability of difference schemes for fractional equations. Differential equations, 2015, 51, N7, p. 908 -- 927. \bibitem{Allaber} Allaberen Ashyralyev, Javier Pastor, Sergey Piskarev, and Hasan Yurtsever. Second order equations in functional spaces: qualitative and discrete well-posedness. Abstract and Applied Analysis, vol. 2015, Article ID 948321, 63 pages, 2015. doi:10.1155/2015/948321 \bibitem{Bak1} Bakushinsky A., Kokurin M.Y. Iteratively Regularized Gauss-Newton Methods under Random Noise. Springer Proceedings in Math ${\&}$ Stat "Inverse Problems and Applications" ISBN 978-3-319-12498-8, DOI 10.1007/978-3-319-12499-5, pp. 1-12 . \bibitem{Bak2} Бакушинский А., Кокурин М.Ю. Итеративные методы стохастической аппроксимации для решения нерегулярных операторных уравнений // ЖВМ и МФ , 2015, т 55 №10 , стр 1637-1545. \bibitem{Bak3} Bakushinsky A., Smirnova A., de Camp L. On stable parametr estimation in epidemiology using abstract discrepancy principle// Proceedings of the Inverse Problems from Theory to Applicattions, Conference IPTA2014, IOP Publishing 2015 pp.63-57. \bibitem{Vab1} Petr N. Vabishchevich, Petr E. Zakharov. Explicit-Implicit Splitting Schemes for Parabolic Equations and Systems. Numerical Methods and Applications, Springer, 2015, Pp. 157-166. \bibitem{Vab2} Petr N. Vabishchevich. Time Step for Numerically Solving Parabolic Problems. Finite Difference Methods,Theory and Applications. 6th International Conference, FDM 2014, Lozenetz, Bulgaria, June 18-23, 2014, Springer, 2015, Pp. 96-103. \bibitem{Vab3} Petr N. Vabishchevich. Numerically solving an equation for fractional powers of elliptic operators. Journal of Computational Physics. 2015, Vol. 282, No.1, pp. 289-302. \bibitem{Vab4} Petr N. Vabishchevich. A Priori Estimation of a Time Step for Numerically Solving Parabolic Problems. Mathematical Modelling and Analysis. 2015, Vol.20, No. 1, pp. 94-111. \bibitem{Vab5} P. N. Vabishchevich. Explicit schemes for parabolic and hyperbolic equations. Applied Mathematics and Computation 250 (2015), 424-431. \bibitem{Mok1} Ильютко В.П., Мокин А.Ю., Высикайло Ф.И., Савенкова Н.П. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОЛСТРАТЫ В НАНОСЕКУНДНЫХ РАЗРЯДАХ в сборнике 22 международная конференция Математика Компьютер Образование, место издания НИЦ Регулярная и хаотическая динамика Пущино, тезисы, 2015, с. 173-173 \bibitem{Mok2} Ильютко В.П., Мокин А.Ю., Высикайло Ф.И., Савенкова Н.П. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОЛСТРАТЫ В НАНОСЕКУНДНЫХ РАЗРЯДАХ. Математика Компьютер Образование, Пущино, 19-26 января 2015. \bibitem{Mor1} Морозов В.А., Назимов А.Б. Метод регуляризации сдвигом решения сингулярного интегрального уравнения Гильберта нейтрального типа // Труды Международной конференции по оптимизации вычислений. Киев: Институт кибернетики АН Украины, 2015. 72-73. \bibitem{Mor2} Назимов А.Б., Морозов В.А. О решении интегрального уравнения Гильберта методом регуляризации сдвигом // Тезисы Международной конференции "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики - 2015". Новосибирск: Институт вычислительной математики и математический геофизики СО РАН, 2015. 12. \bibitem{Mor3} Назимов А.Б., Морозов В.А. Метод регуляризации сдвигом решения сингулярного интегрального уравнения Гильберта нейтрального типа // Труды Международной конференции "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики - 2015". Новосибирск: Институт вычислительной математики и математический геофизики СО РАН, 2015. 914-918. \bibitem{Mor4} Морозов В.А., Назимов А.Б. О решении сингулярного уравнения Гильберта методом регуляризации // Тезисы докладов Международного научного семинара по обратным и некорректно поставленным задачам. М.: Изд-во РУДН, 2015. 128-129. \bibitem{Orl1} Orlovsky D. Parameter Determination in a Differential Equation of Fractional Order with Riemann-Liouville Fractional Derivative in a Hilbert space. Journal of Siberian Federal University. Mathematics and Physics, 2015, 8 (1), 55-63. \bibitem{Voron2015} Piskarev S. Stability of difference schemes for fractional Cauchy problem. International conference "Pontryaginskie chtenija" dedicated to the memory of V.A. Il'in. Abstracts. Voronezh, 2015, pp. 128--129. \bibitem{Suzdal2015} S. Piskarev. Stability of difference schemes for fractional equations in Banach space. International conference on mathematical control theory and mechanics, July 3-7, Abstracts, Suzdal, Russia, 2015. p. 185--186. \bibitem{Minsk2015} Piskarev S. Approximation of fractional Cauchy problems. 8-th International scientific seminar "Analytic methods of analysis and differential equations" dedicated to the memory of A.A. Kilbas. Abstracts. Minsk, 2015, pp. 68--68. \bibitem{Antalya2015} Piskarev S. Difference Schemes for Fractional Cauchy Problem The abstract book of the International Conference on Advancements in Mathematical Sciences, Turkey, Antalya , November 5-7, 2015, p. 182-182. \bibitem{Nal'cik2015} Piskarev S. Stability of difference schemes for fractional evolution equations in Banach spaces. Abstracts of International Russian--Chinese Conference on Actual Problems of Applied Mathematics and Physics (IRCCAPAMP). December 14 - December 18, 2015, Prielbrusie, Kabardino-Balkarian Republic, Russia.
2 1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. Аппроксимация дифференциальных уравнений дробного порядка и проинтегрированных полугрупп
Результаты этапа:
3 1 января 2017 г.-31 декабря 2017 г. Аппроксимация дифференциальных уравнений дробного порядка
Результаты этапа: Итоги выполнения этапа 3 будут подведены в конце 2017 года

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".

Прикрепленные файлы

№ Имя Описание Имя файла Размер Добавлен
1. отчет по НИР etap1-2granta26.pdf 254,5 КБ 29 ноября 2015 [SPISKAREV]