ИСТИНА

Исследования в области теории чисел.

Получен ряд новых результатов: Решена задача В. Шмидта о диофантовых приближениях с положительными числами, получена новая оценка обыкновенной диофантовой экспоненты через равномерную (в задаче о совместных приближениях). Получены новые результаты о диофантовых приближениях с числами Фибоначчи. Доказаны новые теоремы о дифференцируемости функций из семейства Данжуа. Доказаны новые результаты о линейной независимости значений q-рядов достаточно общего вида. Получено новое обобщение теорем Пойа и Гельфонда о целозначных целых функциях. Установлены оценки обычных и квадратичных показателей иррациональности для некоторых логарифмов от рациональных чисел. Исследовались алгебраические и аналитические свойства одного класса функций, подобных рядам Эйзенштейна. Доказана алгебраическая независимость этих функций над полем рациональных функций и оценки сверху на кратности нулей многочленов от них. Изучено поведение этих функций под действием модулярной группы. Установлен ряд алгебраических соотношений между значениями этих функций в точках гауссова поля, значениями дзета-функции Римана в нечетных точках и числом π. Описаны минимальные многочлены для значений в мнимых квадратичных точках модулярной функции λ(τ). Доказано существование слабых кривых в ГОСТ Р34.10-2001. Модифицирован алгоритм Видемана-Копперсмита решения разреженных линейных систем. Получена новая версия алгоритма построения эллиптических кривых с комплексным умножением. Доказано существование неподвижных точек относительно операции возведения в степень с основанием, имеющим простой порядок. Произведено исследование параллелоэдров, в частности, вопросы, связанные с гипотезой Вороного. Доказана следующая теорема о единственности: пусть d-мерный параллелоэдр аффинно эквивалентен некоторому параллелоэдру Вороного, если его граница после удаления всех стандартных граней остается связной, то аффинно эквивалентный ему параллелоэдр Вороного единственн с точностью до подобия. Дан упрощенный вывод всех пяти типов дуальных многогранников для разбиения на параллелоэдры в d-мерном пространстве. Получен критерий m-правильности разбиения евклидовой плоскости выпуклыми многоугольниками. Доказан критерий линейной независимости р-адических чисел над полем рациональных чисел и теорема об оценке меры линейной независимости р-адических чисел Доказан усиленный вариант классической теоремы переноса Малера. Продолжались исследования по теории параллелоэдров, связанные с проблемой Вороного об аффинной эквивалентности произвольного параллелоэдра некоторому параллелоэдру Вороного. Закончено описание пространств аффинных классов трехмерных параллелоэдров. Исследовались вопросы оптимальности триангуляций Делоне для некоторого класса функционалов. Введено понятие плотности функционала на бесконечной триангуляции множества Делоне. Для случая плоскости доказано, что если функционал для любого конечного набора точек достигает экстремума также на триангуляциях Делоне, то и плотность функционала достигает для любого фиксированного множества Делоне на его триангуляции Делоне. В статье предлагается алгоритм определения структуры (а следовательно и порядка) группы точек эллиптических кривых с j-инвариантом равным 0 или 1728, определенных над конечным полем простого порядка p>3. Решена проблема Харрапа, получены результаты о структуре спектра, связанного с диагональной цепной дробью Минковского. Доказаны новые неравенства для диофантовых экспонент. Дано простое доказательство теоремы Шмидта-Зуммерера об однопараметрическом семействе решеток. Разработана новая модификация алгоритма Видемана-Копперсмита решения разреженных систем линейных уравнений над полем из двух элементов. Предложена более простая процедура последовательного вычисления координат решения. Она основана на новом подходе к анализу скалярных приближений возникающих в этом алгоритме векторов. Доказана алгебраическая независимость в ненулевых алгебраических точках значений некоторых степенных рядов. Результат выводится из классической теоремы Линдемана-Вейерштрасса. Соавторы работы I.Shiokawa (Japan), C.Elsner (Germany). Установлены сравнительно легко проверяемые условия разрешимости системы алгебраических уравнений в поле p-адических чисел. Доказательство использует общую теорию исключения. Для эллиптической кривой y^2=x^3+ax+b с коэффициентами из некоторого поля k переменная y может быть разложена в цепную дробь. Доказано, что дробь будет периодической в том и только том случае, когда точка P имеет конечный порядок на кривой. Длина периода зависит от порядка точки, а неполные частные - знаменатели явно выражаются через координаты точек kP, k>0. Обнаружена связь этих дробей с алгоритмом Миллера вычисления спаривания Вейля. Предложена некоторая интегральная конструкция рациональных приближений к так называемой постоянной Каталана G. К сожалению, построенные приближения недостаточны для доказательства иррациональности G, но они лучше известных ранее. Работа в этом направлении будет продолжена. Доказана теорема: Если выпуклый многогранник Р таков, что если его гомотетами с положительным коэффициентом m, 0 <k<m<K, можно разбить пространство, то Р – параллелоэдр. Доказана теорема: Идентичность 10R-кластеров в (r,R)-множестве Делоне имплицирует его правильность. Доказана полиномиальная эквивалентность задачи Диффи-Хеллмана и задачи дискретного логарифмирования для некоторых кривых, удовлетворяющих стандарту цифровой подписи ГОСТ Р34.10.2012. Предложен новый рекурсивный алгоритм построения полноранговых приближений Паде к ряду по положительным степеням формальной переменной на основе алгоритма Видемана-Копперсмита. Алгоритм блочный, имеет линейную оценку сложности. Из этих приближений построен базис пространства Крылова. Получена оценка на глубину рекурсии. Доказана новая теорема, усиливающая классическую теорему переноса Малера. Найдено простое доказательство неравенства для диофантовых экспонент, недавно доказанного В.М.Шмидтом и Л.Саммерером. Получены новые критерии обращения в ноль и бесконечность производной функции Минковского. Доказаны неравенства для диофантовых экспонент в размерности. Получен результат о приближении вещественных чисел квадратичными иррациональностями, обобщающий теорему Давенпорта-Шмидта. Дано элементарное доказательство теоремы Ратнер об унипотентном потоке простейшем случае SL_2(R). Разработана конструкция диофантовых приближений к постоянной Каталана. Они не настолько хороши, чтобы доказать иррациональность этой постоянной, но очень быстро сходятся и позволяют быстро вычислять рациональные приближения, обеспечивающие заданную точность. Доказаны две новые теоремы переноса, связывающие диофантовы экспоненты двойственных решеток: для регулярных экспонент и для равномерных. Эти результаты являются естественными аналогами классических теорем переноса Хинчина и Ярника для диофантовых приближений. Использовавшиеся при доказательстве методы обобщают методы параметрической геометрии чисел Шмидта-Суммерера на случай многопараметрических семейств решеток, что представляется чрезвычайно важным в контексте классической проблемы Литтлвуда и проблемы Оппенгейма для произведения линейных форм. Получено новое доказательство теоремы о равенстве гипергеометрического интеграла такому же интегралу с дробно-линейно преобразованным аргументом. Доказательство позволило снять некоторые ограничения в формулировке данной теоремы. Доказано обобщение на случай нескольких знаменателей теоремы Злобина о равенстве кратных интегралов. Был доказан ряд теорем о распределении рациональных точек на сфере и получен ряд результатов о диофантовых приближениях в SL_2(R). Получены результаты о распределении рациональных точек на квадратичных поверхностях. Обобщена теорема Касселса. Разработан конвейерный алгоритм просеивания в алгоритме решета числового поля. Получена нерекурсивная реализация быстрого преобразования Фурье. Получен критерий палиндромичности периода цепной дроби квадратичной иррациональности. Получен ряд новых тождеств для интегралов гипергеометрического типа, обобщающих классические тождества для гипергеометрической функции Гаусса.