В связи с техническими работами в центре обработки данных, возможность загрузки и скачивания файлов временно недоступна.
 

Методы геометрии и топологииНИР

Источник финансирования НИР

госбюджет, раздел 0110 (для тем по госзаданию)

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2014 г.-31 декабря 2014 г. Методы геометрии и топологии
Результаты этапа: Найдена связь теории эллиптических функций с задачей об изгибаемых многогранниках в пространствах постоянной кривизны. Для всех типов изгибаемых кросс-политопов в пространствах постоянной кривизны построены явные параметризации их изгибаний в эллиптических функциях Якоби. Найдены новые алгебраические ограничения на структуру нильпотентной алгебры Ли, которые возникают вследствие наличия интегрируемой комплексной структуры на нильпотентной алгебре Ли, построен целый ряд примеров в алгебре Ли произвольной (четной) размерности. В рамках общей конструкции "удвоения алгебры Ли", для положительно градуированной алгебры Ли с интегрируемой комплексной структурой, получен явный способ построения градуированных алгебр Ли с гиперкомплексной структурой. Доказана полная интегрируемость до Дарбу полудискретных и чисто дискретных двумеризованных цепочек Тоды, соответствующих матрицам Картана простых алгебр Ли серий A и C. Было показано, что в полудискретном и в чисто дискретном случаях коэффициенты некоторого дифференциального (разностного) оператора являются интегралами цепочки, соответствующей серии А, и что эти интегралы образуют полный набор. Была построена явная формула для интегралов по обоим направлениям. Кроме этого, было доказано, что редукции от цепочки серии А к цепочке серии С дает полный набор независимых в главном интегралов и в этом случае (как для полудискретной, так и чисто дискретной цепочек). Получено доказательство квазиизометричности группы классов отображений произвольной поверхности с проколами, снабженной сжатой словарной метрикой Дынникова, и толстой части соответствующего пространства Тейхмюллера, снабженного метрикой Тейхмюллера. Были получены новые примеры коммутирующих дифференциальных операторов ранга 2 с полиномиальными коэффициентами. Также, в некоторых случаях были найдены общие собственные функции этих операторов, выраженные через функции Бесселя. Также были получены необходимые, а в некоторых случаях и достаточные, условия коммутации оператора специального вида с оператором порядка 4g + 2 и описаны особенности общих собственных функций этих операторов. Построены классы примеров коммутирующих скалярных обыкновенных дифференциальных операторов произвольного ранга r и произвольного рода g с полиномиальным коэффициентами, а также отвечающие им соответствующие коммутативные подалгебры алгебры Вейля. Для невысоких значений рода g построены примеры коммутирующих скалярных обыкновенных дифференциальных операторов рода g и произвольного ранга r с полиномиальными коэффициентами и с несингулярными спектральными кривыми. Исследовались алгебраические, комбинаторные и топологические структуры, связанные с уравнением тетраэдров, и других обобщений уравнения Янга-Бакстера. В том числе был построен n-симплициальный комплекс, обобщающий комплекс Янга-Бакстера. Также исследовались 2-мерные обобщения квантовых интегрируемых систем и соответствующие трехмерные статистические модели. Исследован класс триангуляций сфер, получающихся из джойна границ симплексов произвольных размерностей итерцией надстройки пирамиды над гипергранью. Для полученных симплициальных комплексов описано строение мономиальных идеалов Стенли--Райснера, получены явные формулы для их биградуированных чисел Бетти. Это позволяет вычислить явно все топологические числа Бетти гладких многообразий, являющихся момент-угол комплексами данных триангуляций сфер. Получен критерий, когда момент-угол комплекс соответствующий триангуляции сферы указанного типа топологически эквивалентен связной сумме произведений сфер, с двумя сферами в каждом произведении. В классе триангуляций, являющихся пирамидальными надстройками над джойном границ двух симплексов произвольных размерностей приведен пример, когда соответствующее момент-угол многообразие имеет нулевые целочисленные когомологии в размерности, большей 3, но не является 3-связным. Показано, что найденный ранее Дубровиным и Натанзоном критерий регулярности для вещественных конечнозонных решений иерархии уравнений Кадомцева-Петвиашвили 1 в точности означает положительность соответствующей спектральной меры. Развито преобразование рассеяния для векторного поля, входящего в линейную пару Лекса для так называемого уравнения Павлова. Для дискретизации комплексного анализа доказано существование ограниченных дискретно-голоморфных функций на плоскости Лобачевского, триангулированной правильными треугольниками. А именно, показано, что любая дискретная голоморфная функция в конечной области может быть продолжена до ограниченной дискретной голоморфной функции на всей плоскость Лобачевского, причем так, что для нее будет конечно значение функционала, который в данной теории является аналогом функционала Дирихле. Доказано, что если число Райдемайстера конечно и имеется некоторая функция, постоянная на классах и являющаяся матричным коэффициентом некоторого конечномерного представления, то указанное представление является не просто конечномерным, а конечным. Установлено естественное биективное соответствие между классами Райдемайстера автоморфизма группы G и классами неабелевых когомологий H1(Z,G). Установлено, что препятствие Маккензи к существованию транзитивного алгеброида Ли для заданного каплинга описывается в виде характеристического класса как класса трехмерных когомологий на классифицирующем пространстве с коэффициентами в локальной системе, порожденной естественным действием структурной группы на центре алгебры Ли. Показано, что соответствующий класс когомологий, описывающий препятствие Маккензи, в ряде случаев является тривиальным.
2 1 января 2015 г.-31 декабря 2015 г. Методы геометрии и топологии
Результаты этапа: В предыдущих работах П.Г.Гриневича и С.П.Новикова было построено спектральное преобразование для одномерных стационарных операторов Шредингера с конечнозонными периодическими вещественными сингулярными потенциалами. Показано, что для сингулярных вещественных конечнозонных формально-симметричных обыкновенных дифференциальных операторов произвольного порядка можно развить аналогичную теорию. При этом возникает естественное индефинитное скалярное произведение и число его отрицательных квадратов (в периодическом случае - после фиксации унитарного блоховского мультипликатора) совпадает с правильно посчитанным числом вещественных полюсов. Эта величина оказывается интегралом движения для уравнений из иерархии Гельфанда-Дикого, сохраняющих формальную самосопряженность. Начато построение аналога данной теории для нестационарного одномерного оператора Шредингера. В частности, показано, что найденный ранее Дубровиным и Натанзоном критерий регулярности для вещественных конечнозонных решений иерархии уравнений Кадомцева-Петвиашвили 1 в точности означает положительность соответствующей спектральной меры. Развито преобразование рассеяния для векторного поля, входящего в линейную пару Лекса для так называемого уравнения Павлова. Используя развитую технику мы показали, что для достаточно малых в некоторой норме данных Коши решение уравнения регулярно на всех временах. Это первый пример, когда для векторных полей и связанных с ними бездисперсионных пространственно-многомерных уравнений математической физики удалось построить аналог спектрального преобразования (хорошо известного для систем с ненулевой дисперсией) и получить с его помощью строгие результаты. Пространственно-многомерные интегрируемые системы, как правило, не разрешены относительно производной по времени, или, что эквивалентно, при записи в эволюционной форме они становятся нелокальными. В частности вопрос о том, какому именно выбору констант интегрирования в нелокальных членах соответствуют решения, даваемые методом обратной задачи теории рассеяния, для уравнения Кадомцева-Петвиашвили удалось решить далеко не сразу. Нами решена соответствующая задача для уравнения Павлова. Оказалось, в частности, что полученный ответ легко интерпретировать, используя связь этой задачи с задачами линейной томографии. Вещественная матрица NxM максимального ранга (мы считает, что число столбцов больше или равно числу строк) задает положительную точку в пространстве Грассмана, если все ее главные миноры неотрицательны. Мы показали, что любая точка в клетке максимальной размерности порождается масимально вырожденной М-кривой (идея данной конструкции возникла из сопоставления двух способов построения многосолитонных решений уравнения Кадомцева-Петвиашвили 2). Показано, что в теории обощенных аналитических функций естественно действуют преобразования Мутара. В частности, это дает инструмент для исследования обобщенных аналитических функций, с полюсными особенностями на контурах, имеющими коэффициенты специального вида. Как было показано в работе П.Г.Гриневича и С.П.Новикова 1988 года, такие функции естественно возникают в обратной задаче теории рассеяния для двумерного оператора Шредингера при фиксированной отрицательной энергии выше основного состояния, однако до указанных работ не было известно аналитических методов, позволяющих работать с такими уравнениями. Был построен n-симплициальный комплекс и дана интерпретация некоторым классам его когомологий. Построена статистическая интегрируемая модель на регулярной периодической 3-х мерной решетке, больцмановские веса которой определяются решением уравнения тетраэдров и значениями 3-коцикла соответствующего тетраэдрального комплекса. Построены квази-инварианты 2-узлов, то есть инварианты относительно 1,3, 5,6 и 7-го движений Розмана, на основе той же статистической модели, рассмотренной на графе особых точек диаграммы 2-узла. Исследован класс триангуляций сфер, получающихся из джойна границ симплексов произвольных размерностей итерцией надстройки пирамиды над гипергранью. Для полученных симплициальных комплексов описано строение мономиальных идеалов Стенли--Райснера, получены явные формулы для их биградуированных чисел Бетти. Это позволяет вычислить явно все топологические числа Бетти гладких многообразий, являющихся момент-угол комплексами данных триангуляций сфер. В указанном классе симплициальных комплексов доказан критерий, когда кольцо граней комплекса является минимально неголодовским кольцом (над любым полем) или кольцом Голода (над любым полем). Согласно результату А.Берглунда и М.Йолленбека, это означает, что в кольцах когомологий соответствующих момент-угол комплексов над произвольным полем нет нетривиальных высших произведений Масси. В том же классе получен критерий, когда момент-угол комплекс соответствующий триангуляции сферы указанного типа топологически эквивалентен связной сумме произведений сфер, с двумя сферами в каждом произведении. В классе триангуляций, являющихся пирамидальными надстройками над джойном границ двух симплексов произвольных размерностей, с помощью результата С.Гитлера и С.Лопез де Медрано о связных суммах произведений сфер, приведен пример, когда соответствующее момент-угол многообразие имеет нулевые целочисленные когомологии в размерности, большей 3, но не является 3-связным. Ранее были явно вычислены только топологические типы момент-угол многообразий многогранников усечения и случай циклических многогранников малой размерности (Ф.Босио и Л.Меерсманн), для которых этот феномен не имеет места. Доказана минимальная неголодовость над любым полем колец граней четномерных смежностных многогранников. В частности, этим свойством обладают циклические многогранники четной размерности, дающие верхнюю границу для чисел граней простых многогранников с данными размерностью и числом гипергранеий. Это позволяет доказать, что гомотопическиий тип момент-угол многообразий указанных многогранников есть связная сумма произведений сфер с двумя сферами в каждом произведении, -- последнее было доказано в гладкой категории методами теории хирургий на гладких многообразиях в работе Ф.Босио и Л.Меерсманна. Были получены новые примеры матричных коммутирующих дифференциальных операторов. В некоторых случаях была установлена связь между коэффициентами матричных коммутирующих дифференциальных операторов и конечнозонными потенциалами Шредингера. Были получены новые примеры коммутирующих дифференциальных операторов ранга 2 с полиномиальными коэффициентами. Также, в некоторых случаях были найдены общие собственные функции этих операторов, выраженные через функции Бесселя. Также были получены необходимые, а в некоторых случаях и достаточные, условия коммутации оператора специального вида с оператором порядка 4g + 2 и описаны особенности общих собственных функций этих операторов. Построены классы примеров коммутирующих скалярных обыкновенных дифференциальных операторов произвольного ранга r и произвольного рода g с полиномиальным коэффициентами, а также отвечающие им соответствующие коммутативные подалгебры алгебры Вейля. Дано описание сферических классов (образа гомоморфизма Гуревича) в гомологиях момент-угол-комплексов и полиэдральных произведений в терминах высших произведений Уайтхеда канонических двумерных классов. Дано комбинаторное описание образующих алгебры Понтрягина гомологий петель на момент-угол-комплексах, соответствующих флаговым симплициальным комплексам. Исследованы классы симплициальных комплексов, для которых соответствующий момент-угол-комплекс гомотопически эквивалентен букету сфер или связной сумме произведений сфер. Получено полное описание этих классов в случае флаговых комплексов. Описаны стабильные разложения пространств петель на момент-угол-комплексах, соответствующих флаговым симплициальным комплексам, в букеты пространств петель на сферах. Предложен новый подход для конструирования семейств минимальных торов и бутылок Клейна в сферах. С его помощью построено новое семейство таких поверхностей и изучены его экстремальные спектральные свойства. Исследованы аналитические свойства комплексов, снабженных действием семейства компактных групп Ли, и их индекс в калибровочно-инвариантной $K$-теории. Введены различные индексные функции, включая аксиоматически заданную, и показано, что все эти индексные функции совпадают. В качестве следствия доказана топологическая теорема об индексе для семейства $D=(D_b)_{b\in B}$ калибровочно-инвариантных операторов на $\mathcal G$-расслоении $X\to B$, где $\mathcal G \to B$ - локально тривиальное расслоение компактных групп с типичным слоем $G$. Исследована связь неабелевых когомологий, классов изогредиентности и теории представлений со свойством $R_\infty$, означающим, что для любого автоморфизма группы $\phi$ число Райдемайстера $R(\phi)$ бесконечно. При исследовании скрученного внутреннего представления и соответствующего понятия скрученной внутренней аменабельности установлено, что скрученное внутреннее представление дискретной группы слабо содержится в левом регулярном представлении тогда и только тогда, когда все скрученные стабилизаторы аменабельны. При выполнении обратного включения пересечение множества неподвижных точек автоморфизма с центром является тривиальным. Для ICC группы скрученное внутреннее представление дискретной группы слабо содержит левое регулярное представление. Пусть $G$ - конечнопорожденная и конечно аппроксимируемая группа, а $\phi$ - ее автоморфизм с конечным числом Райдемайстера. Тогда группа $G$ аменабельна тогда и только тогда, когда она $\phi$-скрученно внутренне аменабельна. Показано, что систолическая площадь конечнопредставимой группы связана с чисто комбинаторным инвариантом этой группы - симплициальной сложностью. Получены неравенства, связывающие симплициальную сложность группы с её систолической площадью. Продолжены исследования по нахождению условий на конечномерную алгебру Ли, при которых препятствие Маккензи тривиально. Установлено, что для $n$-мерной алгебры Гейзенберга препятствие Маккензи тривиально. Описаны группы внутренних автоморфизмов для нильпотентных алгебр Ли. Начата новая тема по исследованию собственных и близких к собственным действий дискретной группы на некомпактных многообразиях и соответствующих эквивариантных почти комплексных структур. Установлено, что для картановских действий дискретной группы на многообразии структура почти комплексного многообразия корректно согласована с бордизмами. Проведено исследование операторов дифференцирования на некоторых групповых кольцах, состоящих из быстро убывающих функций на дискретной группе. Описан группоид операторов дифференцирования на групповом кольце быстро убывающих функций. Установлена точная последовательность, связывающая внутренние и внешние дифференцирования.

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".