Топология, геометрия и комбинаторика пространств с действием тораНИР

Источник финансирования НИР

грант РФФИ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2014 г.-31 декабря 2014 г. Топология, геометрия и комбинаторика пространств с действием тора (Этап 1)
Результаты этапа: Заложены основы теории (2n,k)-многообразий – обобщений проективных торических и квазиторических многообразий на случай действия тора размерности, меньшей половины размерности многообразия. Дано комбинаторное описание образующих алгебры Понтрягина гомологий петель на момент-угол-комплексах, соответствующих флаговым симплициальным комплексам. Исследованы классы симплициальных комплексов, для которых соответствующий момент-угол-комплекс гомотопически эквивалентен букету сфер или связной сумме произведений сфер. Получено полное описание этих классов в случае флаговых комплексов. Описаны стабильные разложения пространств петель на момент-угол-комплексах, соответствующих флаговым симплициальным комплексам, в букеты пространств петель на сферах. Исследовано аналитическое продолжение функции, выражающей объѐм n-мерного сферического симплекса через косинусы длин его рѐбер. Получено описание комбинаторных данных подмногообразия квазиторического многообразия, соответствующего грани многогранника моментов. Получены результаты о свойствах биградуированных чисел Бетти граф-ассоциэдров и срезок вершин прямых произведений симплексов. Построены примеры произвольного кручения в когомологиях момент-угол многообразий. Доказана реализуемость квазипериодических 2-многообразий как поверхностей уровня замкнутых 1-форм в трехмерных многообразиях. Для нильпотентных алгебр Ли и нильмногообразий больших размерностей получены новые оценки на размерности идеалов нижнего центрального ряда.
2 1 января 2015 г.-31 декабря 2015 г. Топология, геометрия и комбинаторика пространств с действием тора (Этап 2)
Результаты этапа: Дано описание сферических классов (образа гомоморфизма Гуревича) в гомологиях момент-угол-комплексов и полиэдральных произведений в терминах высших произведений Уайтхеда канонических двумерных классов. Дано явное описание образующих алгебр Понтрягина (гомолоий петель) момент-угол-комплексов, которые являются букетами сфер (для случая флаговых комплексов и для некоторых серий нефлаговых комплексов) и связными суммами произведений сфер (для границ многоугольников и границ многогранников пирамидальной надстройки). Эти алгебры Понтрягина представляют собой, соответственно, свободные ассоциативные алгебры и ассоциативные алгебры с одним соотношением. Существование левоинвариантной аффинной структуры на нильмногообразии G/Г означает, в частности, существование точного представления нильпотентной алгебры Ли g (касательная алгебра Ли группы G) размерности dim(g)+1. Бенуа, а позднее Бурде и Грюневальд показали, что не все нильпотентные алгебры имеют точные представления такой размерности. Построенные ими примеры относятся к размерностям 12, 13 и 14. Вопрос о примерах в старших размерностях остается открытым. Найдено описание препятствия к существованию точного представления нильпотентной алгебры Ли g в терминах многоместных произведений Масси одномерных классов когомологий алгебры Ли g. Получены формулы для биградуированных чисел Бетти граф-ассоциаэдров, граф которых не обязательно связен. В качестве следствия получены оценки на минимальное число мультипликативных образующих момент-угол многообразий для всех граф-ассоциаэдров. Указанные формулы могут быть обобщены на флаговые нестоэдры и их произведения. Доказано, что в кольцах целочисленных когомологий момент-угол многообразий, соответствующих пермутоэдрам, стеллаэдрам и их произведениям могут быть произвольные кручения. В то же время доказано, что в кольцах когомологий момент-угол комплексов 3-мерных граф-ассоциаэдров, отличных от пермутоэдра, а также их произведений имеются нетривиальные тройные произведения Масси трехмерных классов когомологий. Доказан следующий результат о комбинаторике флаговых трёхмерных многогранников. Пусть дан простой трёхмерный флаговый многогранник P с m гипергранями. Если у P есть четырёхугольная грань, то P комбинаторно эквивалентен многограннику, который получается из флагового многогранника Q с m-1 гипеогранью срезкой ребра, дающей эту грань. Если у P нет четырёхугольной грани, то после срезки оного ребра P становится комбинаторно эквивалентным флаговому многограннику, который получается последовательной срезкой двух рёбер у флагового многогранника Q с m-1 гипергранью.
3 1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. Топология, геометрия и комбинаторика пространств с действием тора (Этап 3)
Результаты этапа: Описана (2n,k)-структура эквивариантного вложения многообразия Грассмана G(4,2) в комплексное проективное пространство CP^5. Описано индуцированное вложение пространств орбит реализованных в терминах классических алгебро-топологических операций. Описано кольцо когомологий момент-угол многообразия в терминах гомологий пар (набор граней многогранника, его граница). Для трёхмерных многогранников получены приложения к проблеме когомологической жёсткости. Продолжено изучение гомотопических типов момент-угол-комплексов или, эквивалентно, дополнений наборов координатных подпространств в комплексном пространстве. Общей целью являлось получить описание классов симплициальных комплексов K, для которых соответствующий момент-угол-комплекс Z_K имеет гомотопический тип букета сфер или связной суммы произведений сфер. В случае флаговых комплексов  K получено алгебраическое и комбинаторное описание тех K, для которых Z_K гомотопически эквивалентен букету сфер и дана комбинаторная формула для числа сфер в букете. Это также даёт характеризацию комплексов Голода среди всех флаговых комплексов. Также установлена связь между свойством минимальной не-голодовости и момент-угол-многообразиями Z_K, диффеоморфными связной сумме произведений сфер. Далее, доказано, что для любого флагового комплекса K пространств петель на Z_K становится гомотопически эквивалентным произведению сфер и пространст петель на сферах после рациональной локализации или локализации по любому нечётному простому числу. Эти результаты опубликованы в работе Jelena Grbic, Taras Panov, Stephen Theriault and Jie Wu. The homotopy types of moment-angle complexes for flag complexes. Trans. of the Amer. Math. Soc. 368 (2016), no.9, 6663-6682. Доказано, что  трехмерные квазипериодические многообразия с одним периодом можно реализовать как поверхности уровня морсковской формы. Получены формулы для биградуированных чисел Бетти типа b^{-i,2(i+1)} для всех граф-ассоциаэдров (в том числе, на несвязных графах). А именно, вычислено последнее отличное от нуля алгебраическое число Бетти и доказано, что все числа с большим i равны нулю. Этот результат имеет комбинаторно-геометрическую интерпретацию в силу формулы Хохстера, и означает связность наборов гиперграней начиная с некоторого их количества, зависящего от комбинаторной структуры графа. Для указанной серии простых флаговых многогранников ряды Пуанкаре их колец Стенли-Райснера являются рациональными. Для нефлаговых симплициальных комплексов рациональность рядов Пуанкаре следует из результата J.Backelin (1982). Получено следствие из результатов о биградуированных числах Бетти граф-ассоциаэдров, а именно, оценка на минимальное число мультипликативных образующих в алгебре Понтрягина момент-угол многообразий граф-ассоциаэдров. Кроме того, это позволяет вычислить, для данного класса многогранников, соответствующие ряды Пуанкаре, используя результаты Панова и Рэя о рядах Пуанкаре флаговых многогранников.   Построена серия примеров изгибаемых многогранников в трёхмерном евклидовом пространстве включающая (самопересекающиеся) изгибаемые многогранники со сколь угодно большими количествами вершин, обладающие следующими свойствами: 1) эти изгибаемые многогранники допускают лишь однопараметрические изгибания, 2) все двугранные углы этих многогранников изменяются нетривиальным образом в процессе изгибания, 3) все эти многогранники имеют топологический тип сферы. Интерес к нахождению такого семейства изгибаемых многогранников объясняется следующим. Давно (с конца 19-го века) известны изгибаемые октаэдры; позже были построены ещё некоторые примеры изгибаемых многогранников с небольшими числами вершин. Очевидно, что новые изгибаемые многогранники могут получаться из уже известных при помощи двух простых процедур: а) взятия связных сумм двух изгибаемых многогранников и б) взятия связной суммы изгибаемого многогранника с неизгибаемым. Однако первая из этих процедур приводит к изгибаемым многогранникам, допускающим изгибания с более чем одной степенью свободы, а вторая - к изгибаемым многогранникам, некоторые из двугранных углов которых постоянны в процессе изгибания. Именно поэтому интересны многогранники, удовлетворяющие условиям 1)-3).

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".