ИСТИНА

Описано коумножение в полупростых конечномерных алгебрах Хопфа, в которых все неприводимые неодномерные представления имеют разную размерность. Для каждого такого модуля в его тензорном квадрате явно найдены все одномерные подмодули. Выяснен вопрос об почти-кокоммутативности таких алгебр и найдены все левые (правые) идеальные коидеал. Найден явный вид коумножения в случае, когда группа групповых элементов дуальной алгебры абелева и ее порядок равен размерности единственного неодномерного неприводимого представления. Показано, что такая алгебра Хопфа изоморфна своей дуальной. 

Описано коумножение и антипод в конечномерных полупростых алгебрах Хопфа над алгебраически замкнутым полем в предположении, что групповые элементы в дуальной алгебра Хопфа образуют циклическую группу минимального порядка. Показано, что указанные алгебры Хопфа существуют лишь при n=pk-1, где n – порядок группы групповых элементов в дуальной алгебре Хопфа, p – простое, а k – натуральное. Доказана кокоммутативность рассматриваемых алгебр Хопфа с точностью до числовых коэффициентов в коумножении и антиподе. Основными объектами нашего исследования являются градированные представления простых и аффинных алгебр Ли, а также связанные с ними многообразия флагов. При этом изучаемая градуировка строится по фильтрации Пуанкаре-Биркгофа-Витта. Нами изучены градированные q-характеры соответствующих представлений для симплектических простых алгебр и для аффинных алгебр типа А. Изучение ПБВ-торических вырождений многообразий флагов. Изучение связи с q-характерами и мономиальными базисами. Мы также описали алгебро-геометрические свойства соответствующих многообразий флагов и получили приложения в теории колчанных грассманианов В терминах метода орбит решена задача разложения представлений унитреугольной группы над конечным полем на неприводимые компоненты. Найдена явная формула для субрегулярного характера унитреугольной группы Ли. Получена характеризация базисных многообразий в терминах касательных конусов к многообразиям Шуберта. Найден метод построения системы образующих элементов в поле инвариантов базисных многообразий. Конструкция полупростой деформации групповой алгебры группы кватернионов порядка 8 над полем характеристики 2 распространена на обобщенно-кватернионные группы. Вычислены q-характеры неприводимых представлений простых алгебр типов A и C над полем произвольной характеристики. Построены мономиальные базисы в представлениях в терминах целых точек комбинаторно определенных многогранников. Для соответствующих вырожденных многообразий флагов описаны множества особых точек. Вычислены эйлеровы характеристики и полиномы Пуанкаре. Показано , что последние являются q-аналогами чисел Шредера. 
 Найден алгоритм, распознающий полиномиальную полноту квазигрупп порядка 4 по ее латинскому квадрату.

Описаны в явном виде алгебры Хопфа, у которых имеется одно непереводимое недоношенное представление, размерность которого либо равна порядку группы групповых элементов дуальной алгебры Хопфа, либо равна ее квадрату. Это крайние случаи, связывающие порядок этой группы и размерность представления. В этих алгебрах описаны дуальные алгебры, (ко)идеальные подалгебры. Найдены достаточные условия полиномиальной простоты квазигруппа порядка 4 по ее латинскому квадрату. Описаны торические и ПБВ вырождения многообразий флагов для симплектических алгебр Ли , факторизующихся через ПБВ вырождения. Соответствующие многогранники Ньютона отождествлены с многогранниками Винберга. Построены проективные вложения в градуированные представления вырожденных алгебр Ли. Описаны q-характеры соответствующих представлений В терминах коприсоединенных орбит решены задачи разложения ограничения представления на подгруппу и задача разложения индуцированного представления с подгруппы. Рассмотрена задача вычисления характеров группы Ли UT(n,R), ассоциированных с субрегулярными коприсоединенными орбитами. Случай регулярных орбит рассмотрен в работе А.А.Кириллова 1962 года. Характер группы Ли является обобщенной функцией; вычисление характера разбивается на вычисление носителя характера и нахождение представления характера как регулярной функции на носителе. Проверена общая гипотеза, что носитель характера совпадает с замыканием семейства стабилизаторов точек орбиты. Базисные многообразия возникли в работах К.Андре по теории представлений унитреугольный группы. Известно, что базисные многообразия образуют разбиение пространства коприсоединенных орбит и описание базисных многообразий является разумной заменой «дикой» задачи классификации коприсоединенных орбит. По каждому базисному многообразию можно построить базисный характер, разложение которого на неприводимые компоненты соответствует разложению базисного многообразия на орбиты. В работе 3 получена характеризация базисных многообразий в терминах касательных конусов к многообразиям Шуберта. Доказано, что базисные конусы (замыкания орбит подгруппы Картана на базисных многообразиях) совпадают с касательными конусами к многообразиям Шуберта для однородных элементов в группе Вейля. В терминах системы корней и группы Вейля указан метод построения системы образующих элементов в поле инвариантов базисных многообразий. Понятие теории суперхарактеров впервые возникло в работе П.Диакониса и М. Айзекса в 2008 году. Понятие суперхарактера и суперкласса играют в ней такую же роль, как в неприводимые характеры и классы сопряженных элементов в обычной теории представлений. Построена теория суперхарактеров наиболее близкую к теории неприводимых характеров в случае, когда задача классификации всех неприводимых представлений является «дикой» задачей. Основной пример – теория базисных характеров К.Андре для унитреугольной группы над конечным полем. Построена теория суперхарактеров для группы обратимых элементов произвольной приведенной конечномерной алгебры. Построенная теория является естественным продолжением теории суперхарактеров для алгебра групп П.Диакониса и М. Айзекса. В виде частного случая получается теория суперхарактеров треугольной группы. Получена явная формула для значений суперхарактеров на суперклассах для треугольной группы.