ИСТИНА

В проекте будут рассматриваться экстремальные задачи, аффинные по многомерному управлению. Будет изучен недавно обнаруженный феномен хаотичного поведения оптимальных траекторий. Будет показано, что в этом классе задач гамильтонова система принципа максимума Понтрягина обладает всеми основными свойствами хаотической динамики: ненулевой энтропией, фрактальной структурой множества неблуждающих траекторий с нецелой размерностью (наподобие подковы Смейла), полусопряженностью с топологической цепью Маркова. Обычно хаотическую динамику связывают с асимптотическим характером поведения системы на бесконечном промежутке времени. Принципиальным отличием исследуемого феномена от множества известных примеров хаотических систем является то, что все описанные выше эффекты наблюдаются на конечном промежутке времени. Изучение хаотической динамики зкстремалей опирается на разрешение особенности в вершине интегральной воронки траекторий и исследования эволюции системы в индуцированной алгебре Ли скобок Пуассона гладких частей гамильтониана принципа максимума Понтрягина.

Принцип максимума Понтрягина сводит задачи оптимального управления к изучению гамильтоновых систем ОДУ с разрывной правой частью. Определяющую роль при построении оптимального синтеза играют особые траектории -- траектории, идущие вдоль поверхности N разрыва правой части гамильтоновой системы ОДУ. Доказано, что совокупность особых траекторий образует гамильтонов поток на некотором симплектическом подмногообразии в N. В том числе с использованием полученного свойства гамильтоновости особого потока доказано, что поток особых траекторий в задаче управления намагниченным волчком Лагранжа в переменном магнитном поле является вполне интегрируемым по Лиувиллю и включается в поток некоторой суперинтегрируемой гладкой гамильтоной системы в объемлющем пространстве. Также доказана теорема, обощающая классическую теорему о сопряжении. А именно, введено новое определение порядка особой траектории (см. использованные методы) и для этого определения доказано (с помощью ниспадающей системы скобок Пуассноа), что в случае четного порядка, невозможно регулярное сопряжение неособой траектории с особой. Изучались вопросы, связанные с новым феноменом, открытым М. И. Зеликиным, Л. В. Локуциевским и Р. Хильдебрандом --- стохастическая структура на конечном интервале времени в разрывных гамильтоновых системах. На основе изучения построенной авторами модельной задачи доказано, что в ситуации конечной коразмерности интегральная воронка разрывной гамильтоновой системы, исходящая из особой точки порядка 2, лежащей на пересечении поверхностей разрыва гамильтониана, на конечном интервале времени изоморфна топологической цепи Маркова. Заканчивается подготовка к печати большой работы по доказательству этого факта. Исследовались гамильтоновы системы, аффинные по многомерному управлению, меняющемуся в некотором многограннике U. Достаточно часто ключевую роль при изучении глобального поведения решений таких систем играют особые траектории и геометрия их окрестностей. Доказана теорема о структуре выхода оптимальных траекторий на особую траекторию первого порядка в ее окрестности (и схода с нее) для систем с голономным управлением. Доказано, что лагранжевa поверхность в окрестности особой траектории первого порядка специальным образом соткана из траекторий системы, особых по граням многогранника U. Предложен простой метод явного отыскания особых траекторий первого порядка по граням многогранника U. В результате описывается полная картина оптимального синтеза, полученная последовательным сопряжением особых экстремалей первого порядка. Условия слабого минимума для задач оптимального управления с управляемой системой интегральных уравнений типа Вольтера на нефиксированном отрезке времени. Здесь в сопряженном уравнении и условии трансверсальности на правом конце появляется новый член, которого не было в задачах с управляемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследована упрощенная модель Годдара о подъеме тяжелой точки на максимальную высоту при наличии нелинейного сопротивления среды и ограничения на расход топлива. Найдены аналитически все типы оптимальных траекторий, тогда как исходная модель не позволяет сколько-нибудь далекого аналитического исследования.