ИСТИНА

Настоящий проект посвящен изучению новых классов задач динамики и управления, мотивированных современными прикладными проблемами. Они рассматриваются в рамках математических моделей, описывающих, например, системы навигации и управления движением в пространстве, различные виды систем автоматизации, схемы регулирования транспортных потоков и управления распределением энергетических ресурсов. Подобные модели также являются характерными и для управления природными и биомедицинскими процессами. Особое внимание в настоящее время уделяется задачам коллективного (группового) управления, требующего координированного решения индивидуальных задач оценивания движений и синтеза управлений в рамках совокупной задачи для всего коллектива. Следует отметить, что в настоящее время темпы развития адекватного теоретического аппарата для новых классов задач управления, также как и разработки сопровождающих вычислительных методов, заметно отстают от прикладных потребностей. Недостаточно отработаны математические модели, их анализ. Нередко предложенные статьи не полностью решают задачу или предлагают громоздкие методы, допускающие существенное улучшение. Неверно проверяется принцип оптимальности, или вообще не используется. Для задач с неполной информацией не вводится понятие обобщённого состояния системы, ключевого для задач управления в таких задачах. В публикациях встречаются и неверные результаты. В области вычислений используются методы и алгоритмы, не позволяющие охватить системы высоких порядков и системы с размерностью управлений ниже размерности системы и т. п. У исследователей часто не хватает знаний, позволяющих применить адекватный аппарат, модифицировать имеющийся или предложить новые пути решения и вычисления. Подобная тенденция заметно прослеживается в зарубежных исследованиях (США, Германия, Франция, Италия), она имеет место и в отечественной исследовательской среде. Таким образом, ликвидация или хотя бы уменьшение образовавшегося разрыва является для теоретиков первостепенной задачей. Корректное и полное решение подобных указанных классов задач как раз и являются целью настоящего исследования. В этой области у авторов данного проекта имеется серьёзный задел, отражённый в частности, в приглашенном пленарном докладе руководителя данного коллектива на Всемирном Конгрессе ИФАК(Международной федерации по автоматическому управлению) в августе 2011 г., в Милане, а также в пленарных докладах на ряде последующих национальных и международных конференциях в 2012-2013 гг. Данный проект нацелен на развитие теории и вычислительных методов для проблем синтеза управлений трубками траекторий, отражающих неполноту информации о системе --неопределённость в модели процесса и неполноту измерений. Он далее нацелен на решение задач достижимости в прямом и попятном времени для ветвящихся траекторий систем с переключением, целевого управления групповым движением внутри эллипсоидального виртуального контейнера, разработку новых методов анализа и оптимизации движений нелинейных систем, описанию решений уравнений для новых классов финитных наблюдателей. К рассматриваемому кругу вопросов относятся задачи синтеза импульсных управлений в линейных и нелинейных системах, в том числе, при фазовых ограничениях и в классе входных воздействий, допускающих импульсы высоких порядков, физически реализуемых при помощи дельтаобразных аппроксимаций, в виде «быстрых» управлений. Полученные теоретические решения будут по возможности сопровождаться адекватными вычислительными методами и алгоритмами. Они опираются как на предыдущие разработки, так и на новые алгоритмы, рассчитанные на применение параллельных вычислений и позволяющие решать задачи для систем высоких порядков. Так например, использование подобных алгоритмов уже позволило довести до 500 размерность решенных задач достижимости и синтеза управлений в линейных системах с геометрически ограниченными управлениями. В предстоящие годы 2014-15 предстоит уделить особое внимание системам координированного позиционного управления коллективными движениями по результатам доступных наблюдений, отвечающих различным типам финитных наблюдателей.

1)Теория трубок траекторий. На основе развитой теории динамики и управления для трубок траекторий предложена теория целевого управления трубками эллипсоидальных и полиэдральных траекторий в условиях заданных эллипсоидальных препятствий. С этой целью разработаны модификации ранее известных методов и алгоритмов, а также сконструированы новые. Предложены алгоритмы параллельного вычисления решений для указанного круга задач и для более широкого применения. Рассмотрена задача слежения на основании неполной и неточной информации о состоянии системы, в том числе при наличии фазовых ограничений. Предложен метод решения, а также численный алгоритм, использующий новые модификации методов эллипсоидального исчисления. Работа алгоритма проиллюстрирована на конкретных примерах. 2) Групповое управление. Разработана общая схема решения задачи о синтезе управлений для набора из заданного числа однотипных управляемых систем («стаи»), нацеленных на совместное достижение заданного целевого множества. По ходу движения к цели элементы стаи должны быть не слишком близки, избегая столкновений, но и не слишком далеки друг от друга, чтобы обеспечить одновременное прибытие к цели, а также гарантировать надежный обмен данными о своих текущих положениях на основе беспроводных средств связи. Подобные движения достигаются при помощи виртуального эллипсоидального контейнера E_c[t], в котором элементы стаи должны находиться во время движения, соблюдая условия нестолкновений. Конструируемое движение при этом осложнено присутствием заданных постоянных препятствий, столкновения с которыми также следует избегать. Последнее обеспечивается реконфигурацией контейнера при прохождении препятствия с сохранением своего объема или иного размера, например, определенных соотношений между его полуосями. При огибании сложных препятствий контейнер может быть расщеплён на цепочку меньших контейнеров. Решение задачи строится следующим образом. Вначале конструируется движение центра q_r(t) эллипсоида E_c[t], затем движение всего эллипсоида к целевому множеству, при этом избегаются препятствия. Вычисленная заранее эллипсоидальная траектория образует «эталонное движение», которое должно быть совместно отслежено элементами стаи, совершающими реальные управляемые движения. Далее решение разбивается на части: сбор членов системы в стаю к началу движения, дальнейшее продвижение стаи к цели до встречи с препятствиями, прохождение участка с препятствиями и, наконец, совместное движение к цели к заданному времени. Подобные движения моделируются на основе гамильтонова формализма в форме соответствующих уравнений динамического программирования с дальнейшим использованием вычислений, основанных на теории двойственности выпуклого анализа и методов решения минимаксных задач. Таким образом, указано решение совокупной задачи группового управления с координированным использованием указанных подзадач. Приведены примеры. Далее, в последующие годы требуется детальное рассмотрение каждой из подзадач, особенно для движений внутри контейнера, увязав его с разработкой соответствующих алгоритмических схем, для распределённых и параллельных вычислений, охватывающих системы большой размерности. 3) Достижимость и синтез управлений при импульсных воздействиях, а также в условиях нелинейности, невыпуклости и фазовых ограничений. Получила дальнейшее развитие теория синтеза систем с импульсными управлениями, учитывающая фазовые ограничения. Получен алгоритм эллипсоидального оценивания множеств достижимости управляемой системы с составным управлением, включающим импульсную компоненту, и со специальной нелинейностью в фазовых скоростях системы, определяемой комбинацией двух различных квадратичных форм от фазовых переменных. Построены внешние и внутренние оценки множеств достижимости с невыпуклыми сечениями для нелинейных управляемых систем с квадратичной нелинейностью и систем билинейного типа, в том числе, с фазовыми ограничениями. Предложенные аппроксимации получены путём применения принципа сравнения для уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана, описывающих точные решения, с использованием квадратичных и кусочно-квадратичных функций. Рассмотрена проблема аппроксимации прямых и попятных множеств достижимости для управляемых систем с кусочно-линейной динамикой, с неопределенностями (помехами) в уравнениях. Предложен новый класс кусочно-квадратичных функций цены, позволяющих получать внешние и внутренние оценки указанных множеств. Изучены возможности построения аппроксимаций при помощи таких функций. Получены явные формулы, задающие каждую из аппроксимирующих трубок, и позволяющие строить соответствующие численные схемы. Исследована задача описания множеств достижимости нелинейной управляемой системы с фазовыми ограничениями, заданными аналитически в форме гладкого неравенства или системы гладких неравенств. Разработаны аналоги методов внутренних и внешних штрафных функций для снятия фазовых ограничений. Методы основаны на аппроксимации исходной системы управляемой системой без фазовых ограничений. Аппроксимирующая система получается в результате модификации правой части исходной системы и зависит от параметра штрафа. Получены оценки точности аппроксимации в метрике Хаусдорфа множеств достижимости системы с фазовыми ограничениями в зависимости от величины штрафа. 4) Гарантированное оценивание. Развиты новые численные методы решения задач гарантированного оценивания и управления для механических систем, описываемых дифференциальными или разностными уравнениями, содержащими статистически неопределённые параметры и запаздывания, а также стохастическими включениями. Рассмотрены оценки в виде множеств для фазовых состояний обратных стохастических дифференциальных уравнений, содержащих статистически неопределённые параметры и служащих «возмущением» обыкновенных дифференциальных уравнений. При обобщении задачи на статистически неопределённый случай использованы методы теории обратных стохастических дифференциальных уравнений. Используется подход из теории гарантированного оценивания. Предполагается, что статистически неопределённые помехи совместно с некоторыми процессами, входящими в уравнение, стеснены суммарными ограничениями. В линейном случае доказана теорема об аппроксимации случайных информационных множеств аналогами детерминированных при стремлении мартингал-разностей к нулю. Рассмотрены примеры. Получены алгоритмы аппроксимации множеств достижимости и информационных множеств для нелинейных дифференциальных систем с параметрическими возмущениями, а также в условиях неопределённости. Получены в том числе алгоритмы оценивания неопределенных фазовых состояний управляемых систем с комбинированной билинейной и квадратичной нелинейностью в динамике. Выведены дифференциальные уравнения и дифференциальные включения для внутренних полиэдральных оценок множеств достижимости систем с билинейной структурой и изучены свойства их решений. 5) Новые вычислительные методы. Для перечисленных выше задач динамики и управления предложены новые вычислительные схемы, основанные на разрабатываемых эллипсоидальных и полиэдральных методах, допускающие распараллеливание и охватывающие высокие размерности. В частности, развиты алгоритмы полиэдрального синтеза управлений в динамических системах с неполной информацией, позволяющие получить решения задач относительно простыми средствами, улучшены ранее известные эллипсоидальные алгоритмы. 6) Управление потоками. Проведён анализ модели транспортных потоков на автостраде и управления её состоянием. Развиты методы динамического программирования в линейных системах с состояниями в виде распределений. Выведено дифференциальное уравнение для калибровочной функции звёздного множества достижимости линейной системы с неопределённостью в матрице коэффициентов. 7) Накрывающие отображения и их свойства. Исследован вопрос о разрешимости управляемых систем и нелинейных дифференциальных уравнений. Эта задача заключается в нахождении достаточных условий разрешимости и оценок решений управляемых систем со смешанными ограничениями и нелинейных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной неизвестной функции. Изучены приложения теории накрывающих отображений в области оптимального управления и, в частности, в задачах управления с фазовыми ограничениями. Эти задачи возникают в различного рода инженерных приложениях, а именно, в теории автоматического пилотирования, при расчетах, связанных с управлением автономными подводными аппаратами и т.д.