ИСТИНА

Авторами проекта впервые были предложены алгоритмы проектирования на инвариантные многообразия, применимые в пространствах бесконечной размерности, в том числе для уравнений в частных производных. Это позволило впервые решить задачу аппроксимации отдельных траекторий глобального аттрактора, в том числе, двумерных уравнений типа Чафе-Инфанта, уравнений Навье-Стокса. Методы решения задач асимптотической стабилизации в терминах устойчивого многообразия хорошо известны и строго обоснованы. Однако, в рамках данного подхода необходимо иметь "идеальную траекторию", к которой реализуется процесс стабилизации. Если же известно только конечное состояние "идеальной траектории", то формально методы не применимы. В рамках данного проекта планируется получить решение задач асимптотической стабилизации в терминах неустойчивых многообразий, что позволяет принципиально расширить класс рассматриваемых задач. Также планируется провести численные расчеты для уравнений Навье-Стокса в кольцевой области. Все известные подходы, применяемые для подобных задач, формально сводятся к решению очень большого числа исходных нелинейных и линеаризованных (прямых, обратных и сопряженных) уравнений с различными начальными данными. При этом обратные линеаризованные уравнения в общем случае являются некорректными. В связи с этим необходимы эффективные устойчивые численные методы как решения задач стабилизации, так и решения исходных дифференциальных уравнений. Для нестационарных многомерных задач динамики вязкого газа предполагается предложить новые неявные конечно-разностные схемы. Для построенных разностных схем планируется провести численные эксперименты по расчетам с их помощью задач конвекции в ограниченной по пространственным переменным области, а также получить теоретические оценки погрешности численного интегрирования. При решении нелинейных краевых задач неявными итерационными методами возникает проблема эффективного решения линейной краевой задачи на верхнем слое. Для областей сложной формы (в частности, содержащих входящие углы) предполагается использовать метод граничных интегральных уравнений. Целью проекта является численное решение рассматриваемых уравнений методом квадратур и получение приближенных решений с экспоненциальной относительно числа узлов скоростью сходимости в равномерной метрике, а также вычисление без потери достигнутой точности значений функционалов на решениях интегральных уравнений.

В ходе выполнения проекта в 2012-2014 годах предложены и обоснованы две модификации метода стабилизации по краевым условиям, правой части, начальным данным, позволяющие учитывать ограничения на структуру решения и управление. Предложен новый метод решения задачи стабилизации и усвоения начальных данных, основанный на результатах теории глобальных аттракторов и соответствующий проектированию на неустойчивое многообразие. Данный результат позволяет замкнуть теорию итерационных методов стабилизации к неустойчивым траекториям гиперболического типа, основанных на свойствах локальных инвариантных устойчивых и неустойчивых многообразий. Получен аналог теоремы Адамара-Перрона о существовании локального устойчивого многообразия в окрестности неподвижной точки гиперболического типа для неявно заданных отображений. В том числе, данный результат позволяет показать, что в смысле интегральной метрики многообразия многих нелинейных задач математической физики существует в неограниченном эллипсоиде, т.е. формально является нелокальным. Классический принцип сжимающих отображений, сформулированный Банахом и Каччополи, применяется во многих разделах математики, в том числе, лежит в основе наиболее известных методов доказательства существования и единственности решения нелинейных уравнений, а также обоснования сходимости различного рода итерационных алгоритмов. Однако, можно выделить класс задач, для которых данный подход требует некоторой модификации, так как либо не удается построить отображения с необходимой экспоненциальной скоростью сжатия, либо соответствующие отображения заданы в условии задачи. Предложено обобщение принципа сжимающих отображений на случай отображений с произвольной скоростью сжатия. Полученные результаты применяются для исследования рассматриваемых задач стабилизации с учетом приближенного решения промежуточных подзадач. Предложен новый вариант неявной разностной схемы для нестационарного движения вязкого баротропного газа в переменных Эйлера в случае одной, двух и трех пространственных переменных. Отличие новой версии разностной схемы, от предложенной год назад, состоит в добавлении искусственной вязкости в разностную аппроксимацию уравнения неразрывности. Такая модификация разностной схемы позволила получать физически верные решения задачи для задач, обладающих разрывными решениями для большого диапазона значений параметров вязкости и сжимаемости газа. Теоремы о существовании и единственности разностного решения, свойство положительности значений разностной функции плотности, а также теоретические оценки точности, полученные год назад для схемы без искусственной вязкости, остаются верными и для решения модифицированной схемы. Работоспособность разностной схемы проверена на задаче с разрывными начальными данными в случае одной пространственной переменной и на задаче о каверне в случаях двух и трех пространственных переменных. В результате численных экспериментов была определена величина параметра, отвечающего за искусственную вязкость, позволяющая получать неискаженные разрывные решения. Методом двухмасштабных асимптотических разложений выведены две эквивалентные формы эффективных уравнений для композитов с вязко-упругими и упруго-пластическими компонентами. Проведено численное исследование зависимости эффективного модуля объемного сжатия несжимаемого упругого материала, содержащего периодическую систему пор, от объемной доли и геометрической формы пор. Рассмотрена нестационарная задача о движении склонового потока, который может разрушать дно и вовлекать в движение донный материал. Склоновый поток моделируется как поток нелинейно-вязкой жидкости с коэффициентом вязкости, зависящим от второго инварианта тензора скоростей деформаций. Выбирая различные формы этой зависимости, можно моделировать потоки с различными реологическими свойствами движущегося материала. Нижняя граница потока есть фронт разрушения донного материала; положение и скорость его распространения заранее не известны. На свободной поверхности потока ставится условие отсутствия касательного напряжения, а на дне – два условия: условие прилипания и условие, задающее величину касательного напряжения на дне: оно равно пределу прочности донного материала. Последнее условие позволяет найти перемещение нижней границы потока. С использованием неявной разностной схемы составлена программа и проведены серии расчетов. Модель позволяет рассчитать количество вовлекаемого в единицу времени донного материала, а также изменение скорости и толщины потока в результате этого процесса. Построены двухслойные неявные разностная и проекционно-разностная схемы для расчетов нестационарных течений вязкого баротропного газа в случае одной, двух и трех пространственных переменных. Системы алгебраических уравнений, которые требуется решать для нахождения решений этих схем на каждом временном являются линейными. При этом эти системы не распадаются на подсистемы, что явно улучшает вычислительные свойства алгоритма по сравнению с построенными ранее схемами. Получаемую на каждом временном шаге СЛАУ предлагается решать с помощью современных итерационных алгоритмов для систем уравнений с разреженными матрицами. Доказана теорема существования и единственности решения этих схем для любых соотношений временного и пространственных параметров дискретизации. Отличительной особенностью предложенных схем является то, что вместо значений функции плотности ищутся значения логарифмов этих величин. Это позволяет автоматически гарантировать положительность численного решения функции плотности при любых параметрах схемы. Для разностной схемы доказана оценка близости ее решения и точного решения дифференциальной задачи в случае гладкости последнего. Проведено экспериментальное исследование предложенной схемы с использованием задач с негладкими данными в случае одной пространственной переменной и задачи о каверне в случае двух и трех пространственных переменных. В обоих случаях показана работоспособность схемы и эффективность добавления искусственной вязкости в аппроксимацию уравнения неразрывности. Отметим, что добавление искусственной вязкости не понижает доказанный теоретический порядок точности разностной схемы. Предложен численный метод решения задачи теплопроводности при смешанных краевых условиях в областях с кусочно-гладкой границей. Задача сводится к граничному интегральному уравнению с применением теплового потенциала простого слоя. Проведены численные эксперименты, демонстрирующие устойчивость предложенного метода. Проведены оценки производных ядер и решений двух типов граничных интегральных уравнений теории потенциала при достаточно общих ограничениях на границу области. Для специального класса функций со слабой особенностью построено семейство составных квадратурных формул экспоненциальной точности относительно числа узлов. Интегральное уравнение задачи Дирихле для оператора Лапласа и система интегральных уравнений плоской теории упругости аппроксимируются системами линейных алгебраических уравнений с использованием одного и того же семейства составных квадратурных формул. При этом достигается экспоненциальная относительно числа узлов скорость сходимости. Рассмотрены граничные интегральные уравнения теории потенциала для внутренней задачи Дирихле для оператора Лапласа и система граничных интегральных уравнений первой краевой задачи плоской теории упругости в областях с конечным числом угловых точек. Проведены оценки производных ядер и решений указанных типов интегральных уравнений на кривых, являющихся границами односвязных многоугольников и построен численный метод решения, основанный на использовании одного и того же семейства составных квадратурных формул. Доказана экспоненциальная скорость сходимости метода относительно числа узлов применяемой квадратурной формулы. Предложен приближенный метод решения интегрального уравнения теории потенциала задачи Дирихле для оператора Лапласа в случае областей, являющихся криволинейными многоугольниками с кусочно-аналитическими границами. Предложенный метод обладает экспоненциальной скоростью сходимости относительно числа узлов применяемой квадратурной формулы.