| 1 |
1 января 2013 г.-31 декабря 2013 г. |
Исследование геометрических и топологических инвариантов действий групп методами некоммутативной геометрии |
| Результаты этапа: Дано полное описание метрически свободных и проективных, а также экстремально проективных квантовых модулей над квантовой алгеброй.
Доказано, что амальгамированные произведения коммутативных С*-алгебр обладают свойством резидуальной конечномерности, т.е. вкладываются в фактор прямого произведения матричных алгебр по их прямой сумме.
Были получены аналоги свойств Шура и Банаха-Сакса для гильбертовых C*-модулей, а также изучены важные свойства слабых модульных топологий в гильбертовых C*-модулях. Доказано, что для счетнопорожденных гильбертовых C*-модулей над $\sigma$-унитальными C*-алгебрами, их дуальный модуль совпадает с пополнением исходного модуля в слабой топологии, задаваемой скалярным произведением.
Было снято ограничение на конечность порядка рассматриваемых скручиваний. Для этого была построена модель пространства $BU_\otimes$, являющаяся строгим топологическим моноидом (и обладающая рядом других необходимых свойств). Данная модель входит в коммутативную диаграмму, связывающую её с представляющими пространствами ранее рассмотренных скручиваний.
Было доказано, что естественное преобразование, сопоставляющее классу эквивалентности гомотопического $BU_\otimes$-значного коцикла (в смысле Сташеффа-Вирса) класс эквивалентности соответствующего гомотопического снопа расслоений, является естественным изоморфизмом функторов со значениями в категории абелевых групп. Это показывает, что функтор гомотопических снопов расслоений (с точностью до эквивалентности) представляется пространством $BBU_\otimes$. Так как (согласно известному результату) общие скручивания комплексной К-теории представляются пространством $K(\mathbb{Z}/2,1)\times BBU_\otimes$, то тем самым мы получили самый общий вид скручиваний комплексной К-теории (множитель $K(\mathbb{Z}/2,1)$ ранее был изучен М. Каруби). Заметим, что ранее рассмотренные другими авторами снопы расслоений отвечают первому множителю $K(\mathbb{Z},2)$ разложения $BBU_\otimes \cong K(\mathbb{Z},2)\times BBSU_\otimes$ в произведение спектров.
Для гомотопических снопов ранее были определены (гомотопические) модули над ними и соответствующие полугруппы (относительно операции прямой суммы) классов их изоморфизмов. Теперь для 1-морфизмов гомотопических снопов расслоений были построены соответствующие изоморфизмы этих полугрупп модулей, и показано, что тем самым определен функтор из группоида скручиваний в категорию абелевых групп (собственно "скрученная К-теория").
Проведено исследование топологической структуры группы формальных степенных рядов в случае бесконечного (некомпактного) кольца коэффициентов. В этом направлении получен ряд неожиданных результатов. В частности доказана невложимость этой группы в локально компактные группы для широкого класса колец. Так, например, группа формальных степенных рядов с целочисленными коэффициентами невложима в локально компактные группы. Исследовано новое свойство сжимаемости топологических групп. Это свойство присуще группе формальных степенных рядов для очень многих колец коэффициентов.
Показано, что систолический объем кратных классов гомологий ведет себя сублинейно в зависимости от кратности и дана явная верхняя оценка как функция кратности. Введено понятие симплициальной сложности конечно представимой группы. Найдены оценки систолического объема такой группы через чисто комбинаторный инвариант -- её симплициальную сложность. Верхняя и нижняя оценки асимптотически (при большой сложности) близки.
Для общих отображений в структурную группу найдено более слабое, чем коцикличность, достаточное условие, при котором отображения определяют векторное расслоение. |
| 2 |
1 января 2014 г.-31 декабря 2014 г. |
Исследование геометрических и топологических инвариантов действий групп методами некоммутативной геометрии |
| Результаты этапа: $G$ конечно представимая группа и $a\in H_n(G, \Z)$ - некоторый класс целочисленных гомологий этой группы. Систолический объём $\sigma(a)$ этого класса определяется как нижняя грань римановых объёмов псевдомногообразий представляющих $a$. Нижняя грань берётся в классе кусочно гладких метрик, для которых длина любой нестягиваемой замкнутой геодезической не меньше 1. При взятии указанной нижней грани функция объёма минимизируется по всем псевдомногообразиям, представляющим класс гомологий $a$ и по всем метрикам из указанного семейства. Вопрос о достижимости этой нижней грани долгое время оставался открытым. Среди полученных в этом направлении результатов отметим следующие:
1. Показано, что нижняя грань реализуется на некотором псевдомногообразии специальной структуры. В частности, если гомологический класс $a$ реализуем многообразием, то это многообразие реализует и нижнюю грань.
2. Для кратных классов гомологий систолический объём растет не быстрее чем сублинейно. Точнее, для всех натуральных $k>1$ имеет место неравенство $\sigma(k a) \leq C k/ \ln k}$, где $C$ - некоторая константа, зависящая лишь от размерности $n$ и группы $G$. Из этой оценки, в частности следует, что если гомологический класс $a \in H_n(G, \Z)$ имеет ненулевой симплициальный объем, то последовательность чисел $\sigma(k a)$, $k=1,2,...$, не удовлетворяет никакому линейному рекуррентному соотношению.
3. Показано, что всевозможные значения систолического объёма $\sigma(a)$ для всех возможных конечнопредставимых групп и их различных гомологических классов фиксированной размерности $n$ расположены относительно плотно на положительной части вещественной прямой. При этом имеется бесконечно много попарно неизоморфных групп и по крайней мере по одному нередуцируемому классу гомологий у каждой группы, систолический объем которого не превосходит 1. Вопрос о существовании предельных точек в множестве значений $\sigma(a)$ остается, тем не менее, открытым.
Разработана общекатегорная схема, дающая единый метод описания проективных квантовых модулей как для метрической, так и для топологической версии понятия проективности. После некоторого обогащения, основанного на понятии асимптотической категории, эта схема позволяет описать и экстремально проективные квантовые модули (введенные на уровне квантовых пространств Блечером в 1992 г.). В "классическом" направлении полностью охарактеризованы тензорные произведения и мультипликаторы (= модульные морфизмы) модулей $L_p(X,\mu)$ над $C(X)$ для различных $p$ и мер $\mu$.
Получено обобщение конструкции Мищенко построения расслоения, получающегося спариванием канонического расслоения Мищенко с почти представлением на случай пары отображений группы в унитарную группу конечномерного евклидова пространства, для которых лишь произведение невязки на разность двух отображений является малой величиной, в то время как сама невязка может быть большой (но только там, где два отображения близки).
Рассмотрены два основных подхода к проблеме вычисления индекса соответствующего семейства эллиптических операторов (подход Нистора-Троицкого и подход Матаи-Мелроуза-Зингера). Доказано, что из условия конечной голономии для расслоения групп Ли, возникающего в работах Нистора-Троицкого, следует принадлежность соответствующего класса Диксмье-Дуади подгруппе элементов конечного порядка в третьих когомологиях базы, то есть вытекают условия конечности Матаи-Мелроуза-Зингера. Также доказано, что при условиях конечной голономии любой класс когомологий конечного порядка соответствует некоторому расслоению конечномерных матричных алгебр. Тем самым доказано, что при правильном понимании соответствующие условия конечности переходят в друг друга, что открывает возможность синтеза двух подходов.
С помощью модулей над гомотопическими снопами расслоений построен функтор $HG(X)\rightarrow Ab$ из 2-группоида $HG(X)$, доказан ряд его свойств, в частности, что в случае тривиального гомотопического снопа произвольная его тривиализация (=1-морфизм в строго тривиальный сноп) определяет изоморфизм соответствующей абелевой группы с $K^0(X)$.
Доказано, что если число Райдемайстера конечно и имеется некоторая функция, постоянная на классах и являющаяся матричным коэффициентом некоторого конечномерного представления, то указанное представление является не просто конечномерным, а конечным, т.е. пропускается через гомоморфизм на конечную группу.
Установлено естественное биективное соответствие между классами Райдемайстера автоморфизма $\phi$ группы $G$ и классами неабелевых когомологий $H^1(\Z,G)$. В качестве приложения получено новое доказательство существования точной 8-членной последовательности, связывающей множества классов Райдемайстера и неподвижных точек в случае расширения групп. |
| 3 |
1 января 2015 г.-31 декабря 2015 г. |
Исследование геометрических и топологических инвариантов действий групп методами некоммутативной геометрии |
| Результаты этапа: Е.В.Троицкий: Исследованы аналитические свойства комплексов, снабженных действием семейства компактных групп Ли, и их индекс в калибровочно-инвариантной $K$-теории. Введены различные индексные функции, включая аксиоматически заданную, и показано, что все эти индексные функции совпадают. В качестве следствия доказана топологическая теорема об индексе для семейства $D=(D_b)_{b\in B}$ калибровочно-инвариантных операторов на $\mathcal G$-расслоении $X\to B$, где $\mathcal G \to B$ - локально тривиальное расслоение компактных групп с типичным слоем $G$. Исследована связь неабелевых когомологий, классов изогредиентности и теории представлений со свойством $R_\infty$, означающим, что для любого автоморфизма группы $\phi$ число Райдемайстера $R(\phi)$ бесконечно. При исследовании скрученного внутреннего представления и соответствующего понятия скрученной внутренней аменабельности установлено: Скрученное внутреннее представление дискретной группы слабо содержится в левом регулярном представлении тогда и только тогда, когда все скрученные стабилизаторы аменабельны. При выполнении обратного включения пересечение множества неподвижных точек автоморфизма с центром является тривиальным. Для ICC группы скрученное внутреннее представление дискретной группы слабо содержит левое регулярное представление. Пусть $G$ - конечнопорожденная и конечно аппроксимируемая группа, а $\phi$ - ее автоморфизм с конечным числом Райдемайстера. Тогда группа $G$ аменабельна тогда и только тогда, когда она $\phi$-скрученно внутренне аменабельна. И.К.Бабенко: Получен ряд важных результатов в области систолической геометрии: Показано, что систолическая площадь конечнопредставимой группы связана с чисто комбинаторным инвариантом этой группы - симплициальной сложностью. Получены неравенства, связывающие симплициальную сложность группы с еѐ систолической площадью. Вычислена сложность конечнопорождѐнных абелевых групп. Также установлены связи симплициальной сложности с другими известными комбинаторными характеристиками группы - с так называемым Т-инвариантом Дельзанта и сложностью Матвеева-Первовой. А.Я.Хелемский: Получен ряд важных результатов в области квантового функционального анализа: Показано, что любой замкнутый левый идеал сепарабельной С*-алгебры, рассматриваемый как левый квантовый модуль, является проективным. Получено описание минимального ламбертова тензорного произведения гильбертовых пространств, снабженных минимальными ламбертовыми нормами. Для измеримого пространства Х и квантового пространства Е описано такое тензорное произведение $\otimes$, для которого $L_1(X)\otimes E$ совпадает с $L_1(X;E)$. В.М.Мануйлов: Исследованы пары операторов, удовлетворяющие найденным ранее соотношениям, определяющим К-теорию. А.В.Ершов: Исследованы категорные свойства гомотопических снопов расслоений. А.А.Павлов: Начато исследование конкретных применений развитой нами групповой теории классов Райдемайстера к теории кодирования с открытым ключом, в принципиальном плане установленное в работах Шпильрайна и др. А.И.Корчагин: Исследованы некоторые классы групп со свойством MF и показано, что остаточно MF группы являются MF группами. М.А.Герасимова: Установлена связь между теоремой об индексе Нистора-Троицкого и теоремой об индексе Майера-Эмерсона, в частности, показано, что при некоторых условиях первая может быть получена из второй. |
