|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
Интеллектуальная Система Тематического Исследования НАукометрических данных |
||
Изучение постановок и корректной разрешимости многомерных краевых задач для уравнений смешанного типаНИР
The study of productions and correct solvability of multidimensional boundary-value problems for equations of mixed type
- Руководитель НИР: Моисеев Е.И.
- Ответственный исполнитель: Холомеева А.А.
- Участники НИР: Гуляев Д.А., Капустин Н.Ю., Моисеев Т.Е., Полосин А.А.
- Подразделение: Кафедра функционального анализа и его применений
- Срок исполнения: 1 сентября 2017 г. - 31 декабря 2019 г.
- Номер договора (контракта, соглашения): 17-51-18042 Болг_а
- Номер ЦИТИС: АААА-А17-117092240039-0
- Тип: Фундаментальная
- Приоритетное направление научных исследований: Дифференциальные уравнения и математическая физика
-
Рубрики ГРНТИ:
- 27.33.19 Интегро-дифференциальные уравнения
- 27.35.17 Математические модели газовой динамики
- 27.31.15 Общая теория дифференциальных уравнений и систем уравнений с частными производными
-
Ключевые слова:
обобщенное решение, задача геллерстедта, краевая задача, уравнения смешанного типа, задача трикоми, задача франкля
generalized solution, gellerstedt, tricomi problem, boundary value problem, mixed type equations, frankl problem -
Описание:
После получения первых основных результатов в теории двумерных краевых задач для уравнений смешанного типа (конец 1940-х – начало 1950-х гг.) естественным образом возник интерес к их многомерным аналогам. Отправной точкой послужила известная работа М. Проттера, предложившего многомерный аналог двумерной задачи Гудерлея-Моравец для эллиптико-гиперболического уравнения Геллерстедта. Область ограничена гладкой поверхностью в эллиптической части и двумя характеристическими поверхностями в гиперболической части. Краевые условия ставятся на границе в эллиптической части и на одной из характеристических поверхностей в гиперболической части. Одновременно с этим Проттер поставил краевые задачи в гиперболической подобласти, ограниченной двумя характеристическими поверхностями и диском с центром в начале координат, лежащим в горизонтальной плоскости. Ожидалось, что методы, применявшиеся при исследовании двумерных задач, окажутся, после надлежащей модификации, пригодными для изучения многомерных аналогов. Однако многомерный случай оказался устроен совершенно иначе, и даже сейчас, по истечении более чем полувека, общее понимание ситуации отсутствует. Даже вопрос о том, как правильно ставить многомерные задачи, остается во многом открытым. Несмотря на то, что Азиз и Шнайдер доказали единственность квазирегулярных решений, такие решения не могут существовать. Некоторые трудности и отличия от плоского случая иллюстрируются задачами Проттера для гиперболических уравнений, которые планируется изучить в настоящем Проекте. Их можно рассматривать как многомерный аналог плоских задач Дарбу, когда однородные краевые условия задаются на характеристике и на нехарактеристическом участке границы. Первоначально ожидалось, что такие задачи будут иметь классическое решение при достаточно гладких правых частях. Однако вскоре выяснилось, что, в отличие от плоской задачи Дарбу, задача Проттера для гиперболического уравнения некорректна: у однородной сопряженной задачи существует бесконечное число линейно независимых классических решений. Таким образом, в рамках классического подхода задача не является фредгольмовой (ее коядро бесконечномерно). Для того чтобы избежать необходимости ставить бесконечное число необходимых условий для получения классической разрешимости, было введено понятие обобщенного решения. В настоящее время известно, что для гладких правых частей единственное обобщенное решение задачи Проттера может иметь сильную особенность степенного типа в начале координат. Для задач Проттера для волнового уравнения показано, что для каждого натурального n существует обобщенное решение, имеющее степенную особенность порядка n в начале координат. Интересно отметить, что особенность изолирована в начале координат – вершине характеристического конуса и не распространяется по бихарактеристикам, в отличие от традиционного случая. Другое направление исследований связано с трехмерными задачами в областях, допускающих разделение переменных, и соответствующими двумерными задачами со спектральным параметром. Такой подход опирается на возможность разложения решений по негармоническим функциональным системам.
-
Abstract:
After obtaining the first basic results in the theory of two-dimensional boundary value problems for equations of mixed type (late 1940's - early 1950's), there naturally appeared an interest in their multidimensional analogs. The starting point was the well-known work of M.Protter, who proposed a multidimensional analogue of the two-dimensional Guderley-Moravec problem for the elliptic-hyperbolic Gellerstedt equation. The domain is bounded by a smooth surface in the elliptic part and by two characteristic surfaces in the hyperbolic part. The boundary conditions are placed on the boundary in the elliptic part and on one of the characteristic surfaces in the hyperbolic part. Simultaneously, Protter set boundary value problems in a hyperbolic subdomain, bounded by two characteristic surfaces and a disc centered at the origin, lying in the horizontal plane. It was expected that the methods used in the study of two-dimensional problems turn out, after proper modification, to be suitable for studying multidimensional analogs. However, the multidimensional case turned out to be quite different, and even now, after more than half a century, there is no general understanding of the situation. Even the question of how to set multidimensional problems correctly remains open. Despite the fact that Aziz and Schneider proved the uniqueness of quasiregular solutions, such solutions may not exist. Some difficulties and differences from the plane case are illustrated by the Protter problems for hyperbolic equations, which are planned to be studied in this Project. They can be regarded as a multidimensional analogue of the plane Darboux problems, when homogeneous boundary conditions are given on the characteristic and on the non-characteristic section of the boundary. It was initially expected that such problems will have a classical solution for sufficiently smooth right-hand sides. However, it soon became clear that, unlike the plane Darboux problem, the Protter problem for the hyperbolic equation is incorrect: for an homogeneous conjugate problem there exist an infinite number of linearly independent classical solutions. Thus, in the framework of the classical approach, the problem is not Fredholm (its cokernel is infinite-dimensional). In order to avoid the necessity of setting an infinite number of necessary conditions for obtaining classical solvability, the concept of a generalized solution was introduced. It is now known that for smooth right-hand sides the unique generalized solution of the Protter problem can have a strong singularity of power type at the origin. For the Protter problems for the wave equation it is shown that for every natural number n there exists a generalized solution having a power singularity of order n at the origin. It is interesting to note that the singularity is isolated at the origin - the vertex of the characteristic cone and does not propagate in bicharacteristics, unlike the traditional case. Another area of research is related to three-dimensional problems in domains that allow separation of variables and corresponding two-dimensional problems with a spectral parameter. This approach is based on the possibility of decomposing solutions to non-harmonic functional systems.
-
Планируемые результаты:
Будет изучен вопрос о единственности решения задачи Трикоми-Неймана со спектральным параметром. На основе этого результата будет исследована разрешимость аналога задачи Трикоми-Неймана в трехмерном случае. Будет рассмотрен вопрос о единственности решения задачи Геллерстедта со спектральным параметром. На основе этого результата будет изучена разрешимость аналога задачи Геллерстедта в трехмерном случае. Будет рассмотрен вопрос о единственности решения задачи Неймана-Геллерстедта со спектральным параметром. На основе этого результата будет изучена разрешимость аналога задачи Неймана-Геллерстедта в трехмерном случае. Будет изучена задача с наклонной производной для уравнения со спектральным параметром. При исследовании задач Проттера для уравнений гиперболического типа будут найдены верхние границы для особенностей обобщенных решений для правых частей из подходящих классов и описано множество правых частей, при которых решения растут не более чем с экспоненциальной скоростью в начале координат. Будет выяснено, существуют ли обобщенные решения с более сильными особенностями. Будут описаны достаточные условия на правую часть, гарантирующие существование обобщенных решений задач Проттера, и выяснено, существуют ли обобщенные решения при произвольной бесконечно гладкой правой части. При изучении задач Проттера для уравнений типа Келдыша будет изучено асимптотическое поведение обобщенного решения в точке сингулярности, а также уравнения указанного типа с младшими членами.
-
Научный задел:
Е.И. Моисеевым и его учениками получены следующие результаты. В явном аналитическом виде (в виде двойных рядов с явно найденными коэффициентами) найдены регулярные (классические) решения аналогов смешанных задач Трикоми, Франкля и Геллерстедта для модельного уравнения Лаврентьева-Бицадзе в трехмерных областях. Доказана единственность регулярного решения аналога задачи Трикоми. Получены равномерные и абсолютные оценки на коэффициенты биортогонального разложения граничной функции по двум переменным для различных тригонометрических систем, соответствующих решаемой задаче. Сформулированы достаточные условия, которым удовлетворяет искомая функция на границе, для существования классических решений аналогов смешанных задач Трикоми, Франкля и Геллерстедта в трехмерных областях. Получено интегральное представление решения задачи Неймана-Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. В совместной работе Е.И. Моисеева и Н.И. Юрчука изучены классические и обобщенные решения задач для телеграфных уравнений с потенциалом Дирака. Е.И. Моисеевым и А.А. Холомеевой рассмотрен аналог задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в трехмерных областях. А.А. Полосиным изучены задачи с наклонной производной для уравнения со спектральным параметром в различных областях.
- Добавил в систему: Врагова Елена Юрьевна
Соисполнители НИР
| МГУ имени М.В.Ломоносова | Координатор |
Источник финансирования НИР
| грант РФФИ |
Этапы НИР
| # | Сроки | Название |
| 1 | 1 сентября 2017 г.-31 декабря 2017 г. | Изучение постановок и корректной разрешимости многомерных краевых задач для уравнений смешанного типа-1 |
| Результаты этапа: Была изучена разрешимость нелокальных краевых задач для уравнения смешанного типа с различными краевыми условиями. Для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в вертикальной полуполосе, неограниченной в области эллиптичности и ограниченной в области гиперболичности уравнения, рассмотрены задачи с однородным краевым условием Неймана на правой границе, однородным краевым условием Дирихле или Неймана на левой границе и нелокальным параметрическим условием, связывающим значения решения на нижней границе области и на линии вырождения. Задачи рассмотрены в классической постановке. При определенных ограничениях на параметр и правую часть нелокального условия доказана однозначная разрешимость этих задач. Доказательство опирается на разложение решения в ряд. Были изучены задачи с наклонной производной для уравнения со спектральным параметром. Вначале была рассмотрена краевая задача с наклонной производной с непрерывным знакопостоянным коэффициентом угла наклона для уравнения Гельмгольца в круге. Если коэффициент угла наклона постоянен, а параметр уравнения не попадает на спектр, то решение задачи может быть выписано в явном виде. В случае переменного коэффициента угла наклона это уже не так, и для построения решения потребовалось доказать несколько вспомогательных утверждений. Во-первых, доказана важная лемма о равномерной асимптотической оценке отношения модифицированных бесселевых функций при определенных ограничениях на параметр. Показано, что это отношение удовлетворяет нелинейному дифференциальному уравнению. Найдено асимптотическое разложение решения этого уравнения и доказана равномерная асимптотическая оценка для его остаточного члена. Указана область значений параметра, в которой эта оценка справедлива. Отметим, что эта лемма может быть использована и при изучении других задач, в том числе многомерных, решения которых строятся в виде рядов. Во-вторых, на основе этой леммы исходная краевая задача сведена к интегро-дифференциальному уравнению относительно краевого значения искомой функции. Изучены различные свойства операторов (в частности, сингулярного интегрального оператора), входящих в это уравнение. В частности, доказано утверждение об асимптотической регулярности коммутатора двух операторов, один из которых представляет собой суперпозицию дифференциального и сингулярного интегрального операторов, а второй – оператор умножения на переменный коэффициент. Благодаря этому указанное интегро-дифференциальное уравнение сведено к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, в котором интегральный оператор оказывается сжимающим при достаточно больших значениях спектрального параметра, откуда и следует однозначная разрешимость исходной задачи при соответствующих ограничениях на параметр. Затем была рассмотрена задача с разрывным коэффициентом угла наклона производной. С учетом полученных ранее результатов, коэффициент можно считать кусочно-постоянным. Эта задача эквивалентна задаче для уравнения Гельмгольца в полукруге с условием Дирихле на диаметре. Было показано, что эта задача сводится к нестандартному уравнению относительно краевого значения искомой функции, которое, в свою очередь, путем перехода к задаче сопряжения типа Римана сводится к особому интегральному уравнению с инволюцией и переменными коэффициентами. Показано, что решение этого уравнения может быть построено в замкнутой форме. Доказательство опирается на возможность факторизации суперпозиции интегральных операторов, участвующих в этом уравнении, а именно, ее представления в виде суперпозиции стандартных сингулярных интегральных операторов, допускающих обращение в явном виде. Компактная часть, не вошедшая в указанную суперпозицию, оказывается конечномерной, что позволяет построить обратный оператор в замкнутой форме. Наконец, разработанный метод был применен для изучения родственной задачи со смешанными краевыми условиями на диаметре. | ||
| 2 | 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. | Изучение постановок и корректной разрешимости многомерных краевых задач для уравнений смешанного типа-2 |
| Результаты этапа: Была рассмотрена спектральная задача для оператора Лапласа в круге со спектральным параметром и комплексным физическим параметром граничном условии. Было выписано трансцендентное уравнение, определяющее наличие кратных коней. Изучен вопрос о разрешимости этого уравнения и распределении корней на комплексной плоскости. Рассмотрен вопрос и полноте и минимальности системы собственных функций при наличии кратного корня. Установлена базисность в весовом пространстве L2 всей системы собственных функций задачи, построена биортогонально сопряженная система. Были изучены свойства собственных функций для краевой задачи Геллерстедта. Задача ставится для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в области, которая представляет собой объединение открытого полукруга единичного радиуса в области эллиптичности уравнения и двух треугольников в области гиперболичности уравнения. Заданы однородные граничные условия Дирихле на полуокружности и однородные условия Дирихле на внутренних характеристиках гиперболической части области. На линии изменения типа уравнения заданы условия склеивания решения по Франклю. Была построена в явном виде система собственных функций поставленной задачи с использованием функций Бесселя. Доказаны теоремы о базисности Рисса построенной системы собственных функций в пространстве L2. Изучались задачи граничного управления с условием второго рода, то есть когда граничное управление осуществляется силой, при этом в граничном условии присутствует наклонная производная, направление которой не совпадает с характеристиками. Было проведено исследование соответствующей начально-краевой задачи в случае, когда время рассмотрения колебаний системы меньше критического. Была доказана теорема о необходимых и достаточных условиях на функции начальных условий, при которых система будет управляемой. Сама функция управления также была предъявлена в явном аналитическом виде. Для исследования смешанной краевой задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе спектральным методом было проведено изучения свойств полноты системы синусов и косинусов с нецелочисленными параметрами в пространстве интегрируемых по Лебегу функций. Были доказаны теоремы об условиях на параметры, при которых системы будут полными. Аналогичные результаты были получены в случае возмущенной системы синусов и косинусов. Было продолжено изучение неклассических сингулярных интегральных уравнений, играющих важную роль в различных вопросах, в частности, в вопросе разрешимости задачи с отходом от характеристики для уравнений смешанного типа. Для сингулярного интегрального уравнения с некарлемановским сдвигом изучена разрешимость в других, более широких или более узких по сравнению с изученным ранее первоначальным вариантом, функциональных классах, представляющих собой весовые классы Гельдера. Доказано, что в более широком классе, возникающем при ослаблении требований на параметры, у однородного уравнения возникают дополнительные линейно независимые решения, а в более узком классе, возникающем при, соответственно, усилении требований на параметры, однородное уравнение становится неразрешимым, а неоднородное уравнение будет разрешимо при соблюдении дополнительных условий – условий ортогональности. Как и в первоначальном случае, показано, что разрешимость задачи зависит от расположения корней трансцендентной аналитической функции. Детально изучен вопрос о расположении корней этой функции. Для нахождения этого значения построена область специального вида. Показано, что количество корней связано с приращением аргумента этой функции при обходе границы области в положительном направлении и с количеством точек пересечения графика функции с лучом, лежащим в комплексной плоскости. Найдена точная формула, выражающая количество корней через параметры исходного уравнения. Кроме того, изучен вопрос о разрешимости сингулярного интегрального уравнения с некарлемановским сдвигом в случае, когда сингулярная часть представляет собой конечную сумму сингулярных интегральных операторов, в специальном весовом пространстве Гельдера. Указаны требования, которым должны удовлетворять весовые показатели и сдвиги операторов, входящих в сумму. По аналогии со случаем, когда рассматривался единственный сингулярный интегральный оператор, исходное уравнение сведено к задаче сопряжения с осциллирующим коэффициентом. Этот коэффициент детально изучен: показано, что, как и в первоначальном случае, соответствующий сингулярный интеграл от логарифма этого коэффициента равномерно ограничен; найдено асимптотическое поведение его нулей и полюсов и на основании этих результатов доказано, что, как и в первоначальном случае, коэффициент допускает факторизацию, т.е. представление в виде отношения двух не имеющих особенностей функций, одна из которых является аналитической в верхней, а другая – в нижней полуплоскости. На основе этого доказана теорема об однозначной разрешимости уравнения, при этом главный член обращающего оператора найден в явном виде. Было начато изучение краевых задач со смешанными краевыми условиями, содержащими условие на наклонную производную, для уравнений эллиптического и смешанного типов с параметром. С помощью применения разложений по надлежащей системе функций установлено, что подобные задачи для уравнения эллиптического типа – уравнения Гельмгольца – могут быть сведены к одномерному уравнению на граничную функцию. Далее, с помощью полученных ранее асимптотических формул для бесселевых функций с равномерной оценкой погрешности и изученных свойств коммутатора оператора дифференцирования и сингулярного оператора, отвечающего за разложение искомой функции, показано, что это уравнение, в свою очередь, может быть сведено к особому интегральному уравнению с переменными коэффициентами, описывающему поведение искомой функции в окрестности угловой точки. Показано, что это уравнение может быть решено в квадратурах, что позволяет выписать в явном виде главный член асимптотического разложения решения по параметру. В настоящее время изучается родственная задача для уравнения смешанного типа с параметром. Разложение решения, естественным образом возникающее в этой задаче, оказывается, в отличие от предыдущего случая, неортогональным, однако известно, что соответствующая система функций образует базис в пространстве Лебега и для нее в явном виде может быть выписана биортогональная система; кроме того, разложение по этой функциональной системе равномерно сходится в пространстве Гельдера. Это позволяет изучить свойства соответствующего коммутатора и возникающего в связи с этим сингулярного интегрального уравнения на граничную функцию. | ||
| 3 | 1 января 2019 г.-31 декабря 2019 г. | Изучение постановок и корректной разрешимости многомерных краевых задач для уравнений смешанного типа-2 |
| Результаты этапа: | ||
Прикрепленные к НИР результаты
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".