Изучение разрешимости неклассических краевых и спектральных задач для уравнений смешанного типаНИР

Studying of solvability of nonclassical boundary and spectral problems for the mixed type equations

Соисполнители НИР

МГУ имени М.В.Ломоносова Координатор

Источник финансирования НИР

грант РФФИ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 12 апреля 2017 г.-31 декабря 2017 г. Изучение разрешимости неклассических краевых и спектральных задач для уравнений смешанного типа-1
Результаты этапа: Изучен вопрос об однозначной обобщенной разрешимости в классе суммируемых с квадратом функций аналогов задач Трикоми и Трикоми-Неймана для параболо-гиперболических уравнений с вырождающейся гиперболической частью и негладкими граничными условиями. Получены априорные оценки решений в пространстве L2 через Lp-нормы правой части уравнения, граничных функций в параболической части и весовую нормы граничной функции в гиперболической части. Изучены вопросы полноты, минимальности и базисности системы корневых функций задачи для оператора Штурма-Лиувилля со спектральным параметром в граничном условии и другим классическим условием третьего рода, а также спектральной задачи для оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом и нелокальным граничным условием Самарского-Ионкина. Для задачи со спектральным параметром в граничном условии установлено, что система собственных функций без любой удаленной образует базис в пространстве Lp,p>1 (при p=2 базис Рисса). Для спектральной задачи для оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом, граничным условием Самарского-Ионкина и аналогичным нелокальным условием для решения построен потенциал из класса L2 при котором эта задача не является почти регулярной (регулярной по Стоуну). Изучен вопрос о применимости принципа экстремума к задаче Трикоми-Неймана и задаче Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в случае, когда эллиптическая часть области – вертикальная полуполоса. На одной стороне полуполосы задается граничное условие первого рода, на другой – граничное условие второго рода.
2 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. Изучение разрешимости неклассических краевых и спектральных задач для уравнений смешанного типа-2
Результаты этапа: Для аналогов задач Трикоми и Трикоми-Неймана для параболо-гиперболических уравнений с вырождающейся гиперболической частью изучены свойства пространства допустимых функций, задаваемых на части границы гиперболической части. Установлено, что вес в весовом пространстве для задания условия на характеристике в гиперболической части уравнения зависит от степени вырождения гиперболического оператора и поведения в окрестности линии вырождения коэффициента при первой производной. Для задачи Трикоми-Неймана получена априорная оценка решения в классе L2 через соответствующие Lp-нормы( в гиперболической части с весом) правой части и начальной функции, а также через норму Соболева-Слободецкого с отрицательным индексом граничной функции в параболической части. В связи с развитием спектрального метода в теории уравнений параболо-гиперболического типа продолжено изучение классической задачи со спектральным и физическим параметрами в граничном условии. Для оператора Щтурма-Лиувилля рассмотрен случай появления кратного собственного значения. Доказано, что при удалении любой собственной функции с простым собственным значением оставшаяся часть системы корневых функций образует базис в пространстве Lp,p>1(базис Рисса при p=2), причем выбор базиса в корневом подпространстве может быть произвольным. Ранее было установлено, что при удалении собственной функции с кратным собственным значением, нельзя для базисности выбрать любую присоединенную. Изучен вопрос о корректности задач Трикоми-Неймана и Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в случае, когда эллиптическая часть области--вертикальная полуполоса. На линии изменения типа задано либо условие склеивания решения по Франклю, либо нелокальное краевое условие, которое связывает значения решения на нижней границе гиперболической области со значениями на линии изменения типа. Задачи в случае склеивания по Франклю редуцированы к соответствующим задачам для оператора Лапласа с наклонной производной. В том и другом случаях окончательно решается вопрос о разложимости граничной функции в ряд по тригонометрической системе со сдвинутой фазой. Рассмотрена задача с наклонной производной с переменным углом наклона для уравнения Гельмгольца в круге. Задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно производной граничного значения искомой функции. доказано, что при определенных условиях на параметр компактный оператор в этом уравнении является сжимающим, что позволяет выписать решение в виде ряда Неймана. Изучена задача о разрешимости и числе решений в различных функциональных пространствах одного сингулярного интегрального уравнения с некарлемановским сдвигом из теории эллиптико-гиперболических уравнений.
3 1 января 2019 г.-31 декабря 2019 г. Изучение разрешимости неклассических краевых и спектральных задач для уравнений смешанного типа-3
Результаты этапа:

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".