|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
Интеллектуальная Система Тематического Исследования НАукометрических данных |
||
Изучение разрешимости неклассических краевых и спектральных задач для уравнений смешанного типаНИР
Studying of solvability of nonclassical boundary and spectral problems for the mixed type equations
- Руководитель НИР: Капустин Н.Ю.
- Ответственный исполнитель: Холомеева А.А.
- Участники НИР: Моисеев Е.И., Моисеев Т.Е., Полосин А.А.
- Подразделение: Кафедра функционального анализа и его применений
- Срок исполнения: 12 апреля 2017 г. - 31 декабря 2019 г.
- Номер договора (контракта, соглашения): 17-01-00847_а
- Номер ЦИТИС: АААА-А17-117041250006-7
- Тип: Фундаментальная
- Приоритетное направление научных исследований: Дифференциальные уравнения и математическая физика
- ПН России: Информационно-телекоммуникационные системы
- Направление технологического прорыва России: Стратегические информационные технологии
-
Рубрики ГРНТИ:
- 27.31.15 Общая теория дифференциальных уравнений и систем уравнений с частными производными
- 27.29.19 Краевые задачи и задачи на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений
-
Ключевые слова:
обобщенное решение, уравнение смешанного типа, спектральная задача, априорная оценка, сингулярное интегральное уравнение, краевая задача, классическое решение, уравнение эллиптического типа, задача со спектральным параметром, уравнение лаврентьева-бицадзе
classical solution, generalized solution, spectral problem, a problem with a spectral parameter, mixed type equation, lavrent'ev-bitsadze equation, a priori estimate, boundary value problem, singular integral equation, elliptic equation -
Описание:
В рамках работ по проекту планируется сделать следующее. Изучить вопрос применимости принципа экстремума к задаче Неймана-Трикоми и задаче Геллерстедта, затем распространить полученные результаты на случай склеивания по Франклю на линии изменения типа уравнения. Спектральным методом найти решение краевой задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в случае, когда эллиптическая часть области – вертикальная полуполоса. На одной стороне полуполосы задается первое краевое условие, на второй – второе краевое условие, на характеристике задается ненулевое краевое условие. Выписать решение такой задачи Трикоми в виде биортогонального ряда. Получить интегральное представление решения задачи, указанной в предыдущем пункте, с условиями склеивания решения по Франклю на линии изменения типа уравнения. Изучить вопрос об однозначной обобщенной разрешимости в классе L2 аналогов задач Трикоми и Трикоми-Неймана для параболо-гиперболических уравнений с вырождающейся гиперболической частью и негладкими краевыми условиями. Получить априорные оценки решений в пространстве L2 через Lp-нормы правой части уравнения и граничных функций в параболической части и весовые нормы граничной функции в гиперболической части. Изучить свойства соответствующих функциональных пространств для допустимых граничных функций, задаваемых на характеристике в гиперболической части. Доказать теоремы о приближении гладкими функциями элементов пространств допустимых функций на границе гиперболической части. Изучить асимптотическое поведение спектра и свойства собственных функций задач для эллиптических операторов с неклассическими краевыми условиями. Изучить вопрос о связи этих задач с соответствующими задачами для уравнений смешанного типа.
-
Abstract:
Within the framework of the project, the following is planned. To study the question of the applicability of the extremum principle to the Neumann-Tricomi problem and the Gellerstedt problem, then extend the results obtained to the case of the Franck gluing on the line of change of the type of the equation. By the spectral method, find the solution of the boundary value problem for the Lavrent'ev-Bitsadze equation in the case when the elliptic part of the domain is a vertical half-strip. On one side of the half-strip the first boundary condition is given, on the second - the second boundary condition, on the characteristic the non-zero boundary condition is given. Write out the solution of such a Tricomi problem in the form of a biorthogonal series. Obtain an integral representation of the solution of the problem indicated in the previous subsection with the conditions for pasting together the solution according to Franck on the line of variation of the type of the equation. To study the question of a unique generalized solvability in the class L2 of the analogues of the Tricomi and Tricomi-Neumann problems for parabolic-hyperbolic equations with degenerate hyperbolic part and nonsmooth boundary conditions. Obtain a priori estimates of the solutions in the space L2 through the Lp-norms of the right-hand side of the equation and the boundary functions in the parabolic part and the weight norms of the boundary function in the hyperbolic part. To study the properties of the corresponding function spaces for admissible boundary functions defined on a characteristic in the hyperbolic part. Prove theorems on the approximation by smooth functions of elements of spaces of admissible functions on the boundary of a hyperbolic part. To study the asymptotic behavior of the spectrum and the properties of the eigenfunctions of problems for elliptic operators with nonclassical boundary conditions. To study the connection between these problems and the corresponding problems for mixed-type equations.
-
Планируемые результаты:
В рамках работ по проекту планируется получить следующие результаты. Будет изучен вопрос о применимости принципа экстремума к задаче Неймана-Трикоми и задаче Геллерстедта. Полученные результаты будут распространены на случай склеивания по Франклю на линии изменения типа уравнения. Спектральным методом будет построено решение краевой задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в случае, когда эллиптическая часть области – вертикальная полуполоса. На одной стороне полуполосы задается первое краевое условие, на второй – второе краевое условие, на характеристике задается ненулевое краевое условие. Решение такой задачи Трикоми будет выписано в виде биортогонального ряда. Будет получено интегральное представление решения задачи, указанной в предыдущем пункте, с условиями склеивания решения по Франклю на линии изменения типа уравнения. Будет изучен вопрос об однозначной обобщенной разрешимости в классе L2 аналогов задач Трикоми и Трикоми-Неймана для параболо-гиперболических уравнений с вырождающейся гиперболической частью и негладкими краевыми условиями. Будут получены априорные оценки решений в пространстве L2 через Lp-нормы правой части уравнения и граничных функций в параболической части и весовые нормы граничной функции в гиперболической части. Будут изучены свойства соответствующих функциональных пространств для допустимых граничных функций, задаваемых на характеристике в гиперболической части. Будут доказаны теоремы о приближении гладкими функциями элементов пространств допустимых функций на границе гиперболической части. Будет изучено асимптотическое поведение спектра и свойства собственных функций задач для эллиптических операторов с неклассическими краевыми условиями. Будет изучена связь этих задач с соответствующими задачами для уравнений смешанного типа.
-
Научный задел:
Е.И. Моисеевым и его учениками разработан спектральный метод решения краевых задач для уравнений смешанного типа. В совместных работах Е.И. Моисеева и его ученика из Ирана М. Могими [1-3] изучалась полнота собственных функций задач Геллерстедта, Трикоми и Неймана-Трикоми для вырождающегося уравнения смешанного типа. В совместных работах Е.И. Моисеева и другого его аспиранта из Ирана, Н. Аббаси, [4-6] изучались полнота собственных функций задачи Франкля с условием нечетности, базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности, полнота и базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием нечетности и с разрывом градиента решения, базисность собственных функций одной обобщенной газодинамической задачи Франкля, базисность собственных функций одной обобщенной газодинамической задачи Франкля с нелокальным условием четности и с разрывом градиента решения. В работе [7] решена задача Неймана-Трикоми, когда эллиптическая часть области является полуполосой, с условием склеивания Франкля на линии изменения типа уравнения. Получено интегральное представление решения. В совместной работе 2016 г. А.Н. Зарубина и А.А. Холомеевой ([8]) исследована краевая задача для уравнения смешанного типа с оператором Лаврентьева– Бицадзе в главной части и переменным отклонением аргумента в младших членах. Построено общее решение уравнения. Доказана теорема единственности без ограничения на величину отклонения. Найдены в явной форме интегральные представления решений в областях эллиптичности и гиперболичности. В работе 2016 г. Е.И. Моисеева и Т.Н. Лихоманенко [9] найдены собственные значения и собственные функции задачи Трикоми с наклонной линией изменения типа. Доказаны полнота и базисность этих функций в эллиптической части области.
- Добавил в систему: Холомеева Анна Андреевна
Соисполнители НИР
| МГУ имени М.В.Ломоносова | Координатор |
Источник финансирования НИР
| грант РФФИ |
Этапы НИР
| # | Сроки | Название |
| 1 | 12 апреля 2017 г.-31 декабря 2017 г. | Изучение разрешимости неклассических краевых и спектральных задач для уравнений смешанного типа-1 |
| Результаты этапа: Изучен вопрос об однозначной обобщенной разрешимости в классе суммируемых с квадратом функций аналогов задач Трикоми и Трикоми-Неймана для параболо-гиперболических уравнений с вырождающейся гиперболической частью и негладкими граничными условиями. Получены априорные оценки решений в пространстве L2 через Lp-нормы правой части уравнения, граничных функций в параболической части и весовую нормы граничной функции в гиперболической части. Изучены вопросы полноты, минимальности и базисности системы корневых функций задачи для оператора Штурма-Лиувилля со спектральным параметром в граничном условии и другим классическим условием третьего рода, а также спектральной задачи для оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом и нелокальным граничным условием Самарского-Ионкина. Для задачи со спектральным параметром в граничном условии установлено, что система собственных функций без любой удаленной образует базис в пространстве Lp,p>1 (при p=2 базис Рисса). Для спектральной задачи для оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом, граничным условием Самарского-Ионкина и аналогичным нелокальным условием для решения построен потенциал из класса L2 при котором эта задача не является почти регулярной (регулярной по Стоуну). Изучен вопрос о применимости принципа экстремума к задаче Трикоми-Неймана и задаче Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в случае, когда эллиптическая часть области – вертикальная полуполоса. На одной стороне полуполосы задается граничное условие первого рода, на другой – граничное условие второго рода. | ||
| 2 | 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. | Изучение разрешимости неклассических краевых и спектральных задач для уравнений смешанного типа-2 |
| Результаты этапа: Для аналогов задач Трикоми и Трикоми-Неймана для параболо-гиперболических уравнений с вырождающейся гиперболической частью изучены свойства пространства допустимых функций, задаваемых на части границы гиперболической части. Установлено, что вес в весовом пространстве для задания условия на характеристике в гиперболической части уравнения зависит от степени вырождения гиперболического оператора и поведения в окрестности линии вырождения коэффициента при первой производной. Для задачи Трикоми-Неймана получена априорная оценка решения в классе L2 через соответствующие Lp-нормы( в гиперболической части с весом) правой части и начальной функции, а также через норму Соболева-Слободецкого с отрицательным индексом граничной функции в параболической части. В связи с развитием спектрального метода в теории уравнений параболо-гиперболического типа продолжено изучение классической задачи со спектральным и физическим параметрами в граничном условии. Для оператора Щтурма-Лиувилля рассмотрен случай появления кратного собственного значения. Доказано, что при удалении любой собственной функции с простым собственным значением оставшаяся часть системы корневых функций образует базис в пространстве Lp,p>1(базис Рисса при p=2), причем выбор базиса в корневом подпространстве может быть произвольным. Ранее было установлено, что при удалении собственной функции с кратным собственным значением, нельзя для базисности выбрать любую присоединенную. Изучен вопрос о корректности задач Трикоми-Неймана и Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в случае, когда эллиптическая часть области--вертикальная полуполоса. На линии изменения типа задано либо условие склеивания решения по Франклю, либо нелокальное краевое условие, которое связывает значения решения на нижней границе гиперболической области со значениями на линии изменения типа. Задачи в случае склеивания по Франклю редуцированы к соответствующим задачам для оператора Лапласа с наклонной производной. В том и другом случаях окончательно решается вопрос о разложимости граничной функции в ряд по тригонометрической системе со сдвинутой фазой. Рассмотрена задача с наклонной производной с переменным углом наклона для уравнения Гельмгольца в круге. Задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно производной граничного значения искомой функции. доказано, что при определенных условиях на параметр компактный оператор в этом уравнении является сжимающим, что позволяет выписать решение в виде ряда Неймана. Изучена задача о разрешимости и числе решений в различных функциональных пространствах одного сингулярного интегрального уравнения с некарлемановским сдвигом из теории эллиптико-гиперболических уравнений. | ||
| 3 | 1 января 2019 г.-31 декабря 2019 г. | Изучение разрешимости неклассических краевых и спектральных задач для уравнений смешанного типа-3 |
| Результаты этапа: Изучен вопрос о корректности задач Трикоми-Неймана и Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в случае, когда эллиптическая часть области--вертикальная полуполоса. На линии изменения типа задано либо условие склеивания решения по Франклю, либо нелокальное краевое условие, которое связывает значения решения на нижней границе гиперболической области со значениями на линии изменения типа. Задачи в случае склеивания по Франклю редуцированы к соответствующим задачам для оператора Лапласа с наклонной производной. В том и другом случаях окончательно решается вопрос о разложимости граничной функции в ряд по тригонометрической системе со сдвинутой фазой. Рассмотрена задача с наклонной производной с переменным углом наклона для уравнения Гельмгольца в круге. Задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно производной граничного значения искомой функции. доказано, что при определенных условиях на параметр компактный оператор в этом уравнении является сжимающим, что позволяет выписать решение в виде ряда Неймана. Изучена задача о разрешимости и числе решений в различных функциональных пространствах одного сингулярного интегрального уравнения с некарлемановским сдвигом из теории эллиптико-гиперболических уравнений. Для аналога задачи Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с вырожденной гиперболической частью получены априорные оценки, на основании которых изучен вопрос о гладкости обобщенного L2 решения с негладкими граничными функциями и правой частью уравнения. Для задачи со спектральным параметром в граничном условии из теории параболо-гиперболических уравнений построено решение спектральной задачи без спектрального параметра в граничном условии для определения функций биортогонально сопряженной системы. Доказана разрешимость краевой задачи для уравнения Гельмгольца в полукруге с граничными условиями первого и второго рода на граничных радиусах и условием в виде наклонной производной на граничной дуге полукруга. Доказана разрешимость задачи Геллерстедта для уравнения Гельмгольца с наклонной производной на границе эллиптической части с переменным углом наклона. | ||
Прикрепленные к НИР результаты
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".