![]() |
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
Интеллектуальная Система Тематического Исследования НАукометрических данных |
||
Системы нелинейных уравнений с дополнительными ограничениями - естественная схема для описания, анализа и решения широких и важных классов вариационных задач. Дополнительные ограничения возникают естественным образом как часть самой модели, либо требуются для анализа или методов решения получаемых задач. Основная цель этого проекта состоит в развитии аналитических и численных средств для систем негладких уравнений с ограничениями и задач оптимизации, имеющих неизолированные решения. К естественным источникам таких задач, для которых характерна неизолированность решений, относятся задачи поиска обобщенного равновесия Нэша, задачи оптимизации с комплементарными ограничениями, другие классы задач оптимизации с распадающимися ограничениями, а также квазивариационные неравенства. Для частного случая гладких уравнений без ограничений хорошо известно, что их множества решений могут содержать тощие подмножества так называемых критических решений, которые существенно ухудшают поведение ньютоновских и других методов, и в то же время, оказываются устойчивыми по отношению к широким классам возмущений. Природа и последствия этого феномена на данный момент достаточно хорошо исследованы. Однако, для уравнений с ограничениями, негладких уравнений, и особенно для постановок задач комбинирующих эти проблемные свойства, понимание этих эффектов находится в начале своего становления, и развитие этого понимания относится к основным целям проекта. С указанной целью тесно связана задача использования понимания таких аналогов критических решений для улучшения поведения ньютоновских методов. Представляется, что это возможно либо за счет подавления тенденции сходимости к таким решениям, либо ускорения сходимости к ним. Последнее становится особенно нетривиальным в контексте глобализации сходимости, поскольку глобализованный алгоритм должен асимптотически наследовать характер сходимости базового локального алгоритма, чтобы средства ускорения могли дать эффект. Наконец, еще одной основной целью проекта является применение разрабатываемых теоретических и численных средств к упомянутым выше специальным классам задач.
Systems of nonlinear equations with additional constraints provide a natural framework for tackling wide and important classes of variational problems. Additional constraints arise naturally as a part of the modeling paradigm, or may be required by needs of the analysis or solution techniques. Our main concern in this project is to develop analytical and numerical tools for constrained systems of nonsmooth equations and optimization problems with nonisolated solutions. Among the natural sources of such problems with intrinsically nonisolated solutions are generalized Nash equilibrium problems, mathematical problems with complementarity constraints, other classes of disjunctive optimization problems, as well as quasivariational inequalities. For the particular case of smooth and unconstrained equations, it is well known that their solution set may contain a thinsubset of critical solutions, which strongly degrade the performance of Newton-type and other methods while being stable against large classes of perturbations. The nature and consequences of these phenomena are well-understood. However, for constrained equations, nonsmooth equations, and even more for problem settings combining these features, understanding these effects is still in its beginning, and belongs to the main objectives of this project. A strongly related objective is to use the understanding of those counterparts of critical solutions in order to improve the performance of Newton-type methods. This seems possible either by avoiding convergence to such solutions, or by accelerating convergence to them. The latter becomes specially challenging in the context of globalization of convergence, as the globalized algorithm must asymptotically inherit the convergence pattern of the basic local algorithm for acceleration techniques to take effect. Finally, a further main objective is to apply the theoretical and numerical techniques being developed in this project to special problem classes mentioned above.
1. Результаты об особых свойствах устойчивости тощих подмножеств решений негладких (полугладких; кусочно гладких; с липшицевыми производными) нелинейных уравнений с ограничениями. Распространение таких результатов с гладких уравнений без ограничений на указанные выше более общие постановки позволит иметь дело с качественно более широкими классами вариационных задач, включая те, которые успешно используются для моделирования современных приложений в различных областях науки и практики. 2. Результаты о специальных свойствах сходимости ньютоновских методов вблизи специальных решений негладких уравнений с ограничениями, образующих указанные выше специальные классы. Распространение понимания феномена притяжения ньютоновских методов к критическим решениям и соответствующего особого характера сходимости должно привести к результатам об асимптотическом наследовании этого характера глобализованными ньютоновскими методами, что в итоге приведет к обоснованию способов ускорения сходимости (экстраполяция, оверрелаксация) в контексте глобализации сходимости. 3. Средства ускорения сходимости, в том числе техники непосредственной модификации двойственных приближений, а также способы глобализации сходимости алгоритмов, снабженных такими средствами, предназначенные для подавления сходимости к критическим решениям систем, характеризующих различные концепции стационарности для вариационных задач и задач оптимизации с ограничениями-неравенствами. Эффективные способы глобализации сходимости методов Левенберга-Марквардта и LP-Newton, а также их комбинаций для систем Каруша-Куна-Таккера с неединственными множителями, возникающих из задач оптимизации, в том числе негладких. 4. Приложения указанных выше результатов к конкретным важным классам задач с неизолированными решениями, включая комплементарные системы возникающие из задач поиска обобщенного равновесия Нэша, задач оптимизации с комплементарными ограничениями, с ограничениями на разреженность, и других распадающихся задач оптимизации. Указанные классы задач в настоящее время привлекают исключительное внимание, в частности, по причине их многочисленных и разнообразных приложений.
Коллективом ранее получены и опубликованы в ведущих международных журналах следующие результаты, непосредственно относящиеся к тематике данного проекта. 1. Условия локальной квадратичной сходимости методов Левенберга-Марквардта и LP-Newton для кусочно-гладких уравнений с ограничениями и комплементарных систем. 2. Глобализация сходимости методoв LP-Newton и Левенберга-Марвардта (в том числе в совместных работах руководителя и исполнителя проекта). 3. Результаты о притяжении ньютоновских методов к особым решениям гладких нелинейных уравнений с ограничениями (в том числе в совместных работах руководителя и исполнителя проекта), с приложениями к комплементарным задачам. 4. Результаты о притяжении ньютоновских методов к особым решениям кусочно-гладких нелинейных уравнений, с приложениями к комплементарным задачам. 5. Способ подавления сходимости прямо-двойственных ньютоновских методов к критическим множителям Лагранжа посредством модификации двойственных приближений. 6. Результаты о принятии полного шага методом Ньютона с одномерным поиском для нелинейных уравнений вблизи критических решений. Ускорение сходимости глобализованных ньютоновских методов к критическим решениям. 7. Характеризации локальных липшицевых оценок расстояния до множеств решений негладких уравнений с ограничениями.
МГУ имени М.В.Ломоносова | Координатор |
грант РНФ |
# | Сроки | Название |
1 | 1 января 2024 г.-31 декабря 2024 г. | Анализ и численные методы для негладких уравнений и задач оптимизации с неизолированными решениями |
Результаты этапа: | ||
2 | 1 января 2025 г.-31 января 2025 г. | Анализ и численные методы для негладких уравнений и задач оптимизации с неизолированными решениями |
Результаты этапа: |
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".