ИСТИНА

Проект ставит целью решение нескольких актуальных задач для дифференциальных и общих операторов, которые тесно связаны между собой и в совокупности представляет цельное, масштабное исследование. Основной блок исследований связан с новыми задачами для обыкновенных дифференциальных уравнений и операторов. Одна из глобальных целей – построение асимптотической теории для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и асимптотической теории скалярных уравнений высших порядков с коэффициентами-распределениями. Асимптотическая теория ОДУ имеет более чем 150-летнюю историю и остается незаменимым инструментом в спектральной теории, связанной с ОДУ и теорией краевых задач. Это объясняет актуальность любых новых результатов в этой теории. В процессе работы по гранту 2020 года новыми методами получены новые результаты, которые начинают менять лицо этой теории. Мы работам по двум направлениям в асимптотической теории . Первое глобальное направление – это асимптотики по спектральному параметру, при больших его значениях. Найдены фундаментальные матрицы решений cистем вида $y’ + B(x) y = A\lambda y$ , имеющие специальные асимптотические представления в определенных секторах комплексной $\lambda$-плоскости только при условии интегрируемости функций, составляющих матрицу $B$. (ранее нужные асимптотики были получены при дополнительных условиях гладкости функций $B$). Для систем второго порядка получены $n$ членов асимптотического разложения при минимальных условиях на гладкость коэффициентов. Естественная и важная задача --- получить многочленные асимптотические представления для систем произвольного порядка, а затем для скалярных уравнений высших порядков с коэффициентами-распределениями. Есть и вторая важная задача, к которой ранее не было подходов. Научиться получать асимптотики для случая, когда $A$ является матриц-функцией (всегда предполагалось, что $A$ постоянна и имеет различные собственные значения). В 2021 году мы рассмотрели первый специальный случай непостоянной матрицы $A$ . В этой заявке мы планируем рассмотреть и другие случаи и связать их с изучением уравнений с частными производными (гиперболическими и эллиптическими). Это новое направление, мы предполагаем, что оно окажется широким. Второе направление в асимптотической теории --- находить асимптотические представления решений ОДУ, заданных на оси или полуоси при стремлении переменной $x$ к бесконечности. Мы получили результаты в этом направлении для двучленных ОДУ и двух типов модельных невозмущенных уравнений. В этой заявке мы предполагаем развитие результатов для более общих случаев. Помимо развития асимптотической теории проект предполагает решение отдельных актуальных задач по теории прямых и обратных задач для дифференциальных операторов. Отдельное место занимают два широких направления. Первое --- изучение оператора Шредингера с комплексным потенциалом. Эта тема модная (точнее актуальная) на Западе и мы получили и надеемся получить по этой теме принципиальные результаты, в частности, условия дискретности спектра таких операторов и условия полноты их собственных функций. Второе широкое направление --- изучение спектральных свойств сингулярных струн (теория берет начало от работ М.Крейна) и решение задач о нахождении точных констант в теоремах вложения пространств Соболева (точных констант в неравенствах типа Маркова-Колмогорова-Фридрихса). Здесь обнаруживаются новые красивые связи спектральной теории и теории специальных функций

The project aims to solve several urgent problems for differential and general operators, which are closely related to each other and together represent a whole, large-scale study. The main block of research is related to new problems for ordinary differential equations and operators. One of the global goals is to build an asymptotic theory for systems of ordinary differential equations (ODE) and an asymptotic theory of higher–order scalar equations with coefficients-distributions. The asymptotic theory of ODE has more than 150 years of history and remains an indispensable tool in spectral theory related to ODE and the theory of boundary value problems. This explains the relevance of any new results in this theory. In the process of working on the 2020 grant, new methods have obtained new results that are beginning to change the face of this theory. We are working in two directions in asymptotic theory. The first global direction is the asymptotics of the spectral parameter, with its large values. Fundamental decision matrices are found systems of the form $y’ + B(x) y = A\lambda y$, having special asymptotic representations in certain sectors of the complex $\lambda$-plane only under the condition of integrability of the functions that make up the matrix $B$. (previously, the necessary asymptotics were obtained under additional smoothness conditions of the $B$ functions) For second-order systems, $n$ terms of the asymptotic expansion are obtained under minimal conditions for the smoothness of the coefficients. A natural and important task is to obtain polynomial asymptotic representations for systems of arbitrary order, and then for higher-order scalar equations with coefficients-distributions. There is also a second important task, to which there were no approaches before. Learn how to obtain asymptotics for the case when $A$ is a matrix function (it has always been assumed that $A$ is constant and has different eigenvalues). In 2021, we considered the first special case of a non-constant matrix $A$. In this application, we plan to consider other cases and link them to the study of partial differential equations (hyperbolic and elliptic). This is a new direction, we assume that it will be broad. The second direction in asymptotic theory is to find asymptotic representations of solutions of ODES given on an axis or semi-axis when the variable $x$ tends to infinity. We have obtained results in this direction for binomial ODE and two types of model unperturbed equations. In this application, we assume the development of the results for more general cases. In addition to the development of asymptotic theory, the project assumes the solution of certain topical problems in the theory of direct and inverse problems for differential operators. Two broad directions occupy a separate place. The first is the study of the Schrodinger operator with a complex potential. This topic is fashionable (or rather relevant) in the West and we have received and hope to receive fundamental results on this topic, in particular, the conditions for the discreteness of the spectrum of such operators and the conditions for the completeness of their own functions. The second broad direction is the study of the spectral properties of singular strings (the theory originates from the works of M. Krein) solving problems of finding exact constants in embedding theorems of Sobolev spaces (exact constants in Markov-Kolmogorov-Friedrichs type inequalities). Here new beautiful connections of spectral theory and the theory of special functions are discovered.

1. Как мы говорили, одна из основных тем проекта --- построение теории асимптотических представлений решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений при больших значениях спектрального параметра. В 2023 году речь будет идти о системах второго порядка, это наиболее важный случай, так как содержит в себе систему Дирака, систему телеграфных уравнений и другие системы, возникающие в прикладных задачах. В рамках проекта 2020-го получено многочленные асимптотические представление с явными формулами для матриц-функций при степенях асимптотического разложения. Опубликована статья на эту тему без подробных доказательств и опубликован препринт с подробными доказательствами. Но доказательство технически сложное, а результат рассчитан на широкий круг читателей, что нетрудно усмотреть из истории вопроса.. Поэтому необходимо максимально упростить текст изложения и сделать его более транпорентным перед сдачей его в печать. В этом состоит одно из основных заданий в 2023 году. Здесь нельзя говорить о каких-либо общих известных методах, с помощью которых проводились эти исследования. Скорее можно говорить о новом методе, который получается как результат нескольких трюков. Ответственные А.А.Шкаликов и А.П.Косарев. . 2. Мы продолжаем работу по изучению спектральных свойств операторов, порожденных дифференциальными выражениями, в которых присутствуют члены с композицией оператора дифференцирования и инволюции (в простейшей форме оператора отражения). Новый акцент --- изучение таких операторов с переменными коэффициентами в главной части. Ранее работ для таких операторов (с переменными коэффициентами) не было. Исследованы в рамках прошлого проекта только операторы первого порядка. В 2023 году будет представлен новый, более общий подход к их изучению. Мы покажем, что в регулярном случае такие операторы являются спектральными по Данфорду ( в частности собственные функции обладают свойством безусловной базисности со скобками), а в нерегулярном случае такого свойства нет (ранее негативных результатов не было).. Важно отметить, что новый подход (метод исследования) основан на сведении исследуемой задачи к оператору, порожденному системой дифференциальных уравнений второго порядка, причем гиперболической системе с переменными коэффициентами в главной части, которая ранее рассмотрена в рамках прошлого проекта, а ее исследование будет продолжаться в 2023 году А.А.Шкаликовым и А.П.Косаревым . Ответственные за эту тему --- А.А.Шкаликов и А.П.Косарев. 3. Будут рассмотрены спектральные задачи для уравнений высших порядков с краевыми условиями, зависящими от спектрального параметра. Важное приложение --- задачи для уравнений 4-го порядка о колебаниях стержня. Будут поставлены в соответствие этим задачам линейные операторы в подходящих пространствах. Возникают две категории трудности. Случай, когда линейные формы, определяющие коэффициенты при $\lambda$, линейно независимы и второй случай, когда они линейно зависимы. В 2023 году будет рассмотрен первый случай. Будут построены сопряженные краевые задачи и соответствующие им сопряженные операторы. В терминах сопряженных задач и операторов будет решена задача об отборе «лишних» собственных функций задачи, для того, чтобы оставшиеся собственные функции образовывали полную и минимальную систему или базис. Эти результаты позволят с общих позиций посмотреть на исследования многих авторов, которые рассматривали эти вопросы для задачи Штурма-Лиувилля (в частности, работы академика Е.И.Моисеева и Н.Капустина). Методы исследования существенно используют общие методы и результаты А.А.Шкаликова по краевым задачам с $\lambda$ зависящими краевыми условиями, которые были получены еще в 80-е годы. Ответственные А.А.Шкаликов и В.С.Кобенко. 4. Многие динамические уравнения механики могут быть представлены, как уравнения в гильбертовом пространстве, которые после преобразования Лапласа представляют задачу на спектр для самосопряженного или диссипативного квадратичного пучка операторов. Со времен лорда Кельвина (Томпсона) известны достаточные условия, при которых большие гироскопические силы делают задачу устойчивой, т.е. гарантируют отсутствие собственных значений в открытой правой полуплоскости Академик В.В.Козлов со своими учениками написали несколько работ, в которых в конечномерном случае получили результаты на коэффициенты-матрицы пучка, когда гироскопическая стабилизация невозможна, а именно, появляется, по крайней мере, одно собственое значение в правой полупдоскости. В 2023 году будет подготовлена к печати статья, в которой мы точно укажем оценку (а при дополнительных условиях равенство) для индекса неустойчивости задачи. Методы доказательства будут использовать теорию самосопряженных и диссипативных операторов в пространстве с индефинитной метрикой. Ответственные А.А.Шкаликов и А.Аракчеев. 5. Будет доведена «до ума» задача об описании мультипликаторов в пространствах бесселевых потенциалов с отрицательными индексами гладкости на торе в $n$-мерном пространстве . Эта задача решена в рамках прошлого гранта и опубликован препринт, но авторов не удовлетворяют технически сложные доказательства. Намечены пути, как доказательства упростить. Это будет сделано в 2023 году и статья будет сдана в печать. В основе доказательств лежат теоремы Стрихадса о мультипликаторах с положительными индексами гладкости, теоремы Соболева о вложениях и мультипликативные неравенства, найденные А.А Шкаликовым в 2002 году. Эта задача решена полностью при определенных соотношениях на индексы гладкости, показатели Гельдера и размерности пространства. При остальных соотношениях на индексы и показатели полное описание в терминах пространств бесселевых потенциалов невозможно. Однако будут доказаны теоремы вложения. Результаты по описанию мультипликаторов важны для корректного определения эллиптических операторов с коэффициентами-распределениями, в частности, для оператора Лапласа с сингулярным потенциалом. Ответсвенные А.А.Шкаликов и А.А.Беляев. 6. Будут исследованы константы вложения пространства W^n_\infty[0;1] в пространство W^{n-1}_\infty[0;1]. В 2023 году планируется получить описание функций для A_{n,n-1,\infty} и вычислить точные константы вложения из пространства W^n_\infty[0;1] в пространство W^{n-1}_\infty[0;1]. Ответственные: И.А.Шейпак, Д.Д.Казимиров. 7. Будет подготовлена к печати статья «Конструкция потенциала для оператора Шредингера на оси по заданному замкнутому множеству». Ответственный Г.А.Агафонкин (под руководством И.А.Шейпака). 8. Будут получены новые достаточные (и по существу необходимые) условия для дискретности спектра, а также для компактности резольвенты несекториального оператора Шредингера с комплексным потенциалом на полуоси (Обращаем внимание, что класс операторов с компактной резольвентой уже нежели класс операторов с дискретным спектром). Будет подготовлена к печати статья на эту тему. Ответственный С. Н. Туманов 9. В рамках продолжения гранта 2020-22г. Будут изучаться также обратные задачи. Будет рассмотрена задача восстановления компактного потенциала рассеяния в многомерном уравнении Шредингера по дифференциальному сечению рассеяния (модулю амплитуды рассеяния) при фиксированной энергии. В борновском приближении эта задача сводится к задаче восстановления функции по модулю ее преобразования Фурье. Чтобы компенсировать недостающую информацию, будет использован метод априори известного опорного потенциала. Эта работа есть продолжение статьи члена коллектива В.Н.Сивкина с Р.Г.Новиковым (в рамках сотрудничества МГУ с Polytechnic), выполненной в рамках прошлого гранта и опубликованной в препринте hal-03806616.. На основе препринта была сдана в печать статья в журнал “Inverse Problems”. В 2023 году В.Н.Сивкин планирует самостоятельно изучить вопрос о липшецевой устойчивости в этой задаче. (ранее это не было сделано). Планируется подготовить и сдать в печать соответствующую статью. 10. Будет получен главный член асимптотики решений на бесконечности некоторых дифференциальных уравнений общего вида ( в частности, для возмущенных уравнений Эйлера), порождённых дифференциальными выражениями с «допустимыми» коэффициентами-распределениями в дивергентной форме,. Найденные асимптотические формулы будут применены к исследованию спектральных характеристик (индекс дефекта, характер спектра самосопряжённых расширений) соответствующих дифференциальных операторов. Будет подготовлена к печати статья на эту тему. Ответственный: К.А. Мирзоев (работа будет проводиться совместно с Н.Н.Конечной). 11. Будет продолжены исследования по приложениям спектральной теории операторов к теории чисел. Будет подготовлен материал для статьи о лакунарных рекуррентных соотношениях для многочленов и чисел Бернулли, а также многочленов Эйлера с пропусками длины 4, 6 и 8. Ответственный: К.А. Мирзоев.

Участники проекта имеют большой опыт работы по тематике проекта, подтвержденный публикациями в авторитетных российских и международных журналах, участием в международных конференциях , в том числе и в качестве приглашенных пленарных докладчиков. Участники проекта имеют принципиальные, пионерские результаты в таких областях математики, как теория дифференциальных операторов с коэффициентами-распределениями, теории мультипликаторов в пространствах типа Соболева с негативными индексами гладкости, теории квазиклассических приближений для несамосопряженных задач, общей теории несамосопряженных операторов. Это подтверждается высокими индексами цитирования соответствующих работ. Из 10 участников проекта 6 молодых специалистов (2 студента 6-го курса и 4 аспиранта) возраста 22-26 лет. Несмотря на молодой возраст, все аспиранты имеют уже печатные работы (и не по одной) в авторитетных журналах, а оба студента имеют подготовленные к печати статьи, которые будут опубликованы в 2023 году. Преобладание молодых талантливых специалистов в составе коллектива является большим его достоинством.

На конец 2023 г. планируется получить результаты. 1. Подготовить и сдать в печать статью «Асимптотические представления решений $2\times2$ систем обыкновенных дифференциальных равнений с минимальными условиями на гладкость коэффициентов» . Препринт по этой статье уже имеется, но статья важная , технически сложная и предстоит нелегкая работа по полировке и представлению изложения в удобном для читателя форме. Ответственные А.А.Шкаликов, А.П.Косарев 2. Подготовить и сдать в печать статью «Спектральные свойства дифференциальных операторов с инволюцией с переменными коэффициентами в главной части». Отвественные А.А.Шкаликов, Я.А.Гранильщикова 3. Подготовить и сдать в печать статью «Отбор полных и минимальных систем собственных функций краевых задач со спектральным параметром в граничных условиях». Ответственные А.А.Шкаликов , В.С.Кобенко 4. Подготовить и сдать в печать статью «Квадратичные пучки операторов. Об индексе неустойчивости ». Отв. А.А.Шкаликов (работа будет выполняться совместно со студентом В.Аракчеевым). 5. Подготовить и сдать в печать статью «Мультипликаторы в пространствах бесселевых потенциалов на торе с негативным индексом гладкости» . Препринт по этой статье уже имеется, но статья технически сложная и предстоит нелегкая работа по полировке и представлении изложения в удобном для читателя форме. Кроме того необходимо написать добавление о том, сколь важны полученные результаты в теории уравнений в частных производных (чтобы дать корректное определение дифференциальных операторов с коэффициентами-распределениями). Ответственные А.А.Шкаликов (работа будет проводиться совместно с А.А.Беляевым) 6. Изучить спектральные свойства задачи для сингулярной струны с весом, задаваемым самоподобной функцией, обобщенная производная которой определяет некомпактный мультипликатор в пространстве Соболева с отрицательным показателем гладкости. Подготовить к печати статью на эту тему. Получить описание спектра для немонотонных функций P при условии d>0. Ответственный: И.А.Шейпак (работа будет выполняться совместно с Е.Б.Шаровым). 7. Исследовать константы вложения пространства W^n_\infty[0;1] в пространство W^{n-1}_\infty[0;1]. В 2023 году планируется получить описание функций для A_{n,n-1,\infty} и вычислить точные константы вложения из пространства W^n_\infty[0;1] в пространство W^{n-1}_\infty[0;1]. Ответственные: И.А.Шейпак, Т.А.Гарманова. 8. Подготовить к печати статью «Конструкция потенциала для оператора Шредингера на оси по заданному замкнутому множеству». Ответстсвенный й: Г.А.Агафонкин (под руководством И.А.Шейпака. 9. Получить новые достаточные (и по существу необходимые) условия для дискретности спектра, а также для компактности резольвенты несекториального оператора Шрелингера с комплексным потенциалом на полуоси (Обращаем внимание, что класс операторов с компактной резольвентой уже нежели класс операторов с дискретным спектром). Подготовить к печати статью на эту тему. Ответственный С. Н. Туманов 10. Доказать липшицеву устойчивость бесфазовых данных рассеяния на специальном классе опорных потенциалов в задаче о восстанолении компактного потенциала рассеяния в многомерном уравнении Шредингера по дифференциальному сечению рассеяния (модулю амплитуды рассеяния) при фиксированной энергии. Подготовить к печати статью на эту тему. Ответственный В.Н.Сивкин. 11. Получить главный член асимптотики решений на бесконечности некоторых дифференциальных уравнений общего вида ( в частности, для возмущенных уравнений Эйлера), порождённых дифференциальными выражениями с «допустимыми» коэффициентами-распределениями в дивергентной форме, и применить найденные асимптотические формулы к исследованию спектральных характеристик (индекс дефекта, характер спектра самосопряжённых расширений) соответствующих дифференциальных операторов. Подготовить статью на эту тему. Ответственный: К.А. Мирзоев (работа будет проводиться совместно с Н.Н.Конечной). Продолжить исследования по приложениям спектральной теории операторов к теории чисел. .Подготовить материал для статьи о лакунарных рекуррентных соотношениях для многочленов и чисел Бернулли, также многочленов Эйлера с пропусками длины 4, 6 и 8. Ответственный: К.А. Мирзоев