Топологические и алгебраические аспекты теории интегрируемых систем: новые направления и приложенияНИР

Topological and algebraic aspects of the theory of integrable systems: new trends and applications

Источник финансирования НИР

грант РНФ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 18 мая 2017 г.-31 декабря 2017 г. Топологические и алгебраические аспекты теории интегрируемых систем: новые направления и приложения
Результаты этапа: (1) Классифицированы с точностью до послойного гомеоморфизма «некомпактные» бифуркации гамильтоновых систем с одной степенью свободы. В предположении конечности числа бифуркационных слоев получен полный инвариант лиувиллевой эквивалентности гамильтоновых систем с одной степенью свободы на некомпактных двумерных многообразиях. (2) Найдены все особенности типа седло-фокус сложности 1 для слоений Лиувилля с компактными слоями в случае систем с тремя степенями свободы. Тем самым проведена классификация с точностью до послойного гомеоморфизма невырожденных особенностей ранга 0 сложности 1 для вполне интегрируемых гамильтоновых систем с тремя степенями свободы. (3) Изучены фокусные особенности лагранжевых расслоений на 4-мерных симплектических многообразиях (известные также как нодальные особенности или торы с перетяжками). Показано, что в отличие от эллиптических или гладких особенностей, существуют гомеоморфные фокусные особенности, не являющиеся диффеоморфными. Получено алгебраическое описание пространства модулей фокусных особенностей с точностью до гладкой эквивалентности и показано, что для тора с двойной перетяжкой это пространство одномерно. Эта конструкция применена для опровержения гипотезы Зунга, утверждающей, что любая невырожденная особенность может быть гладким образом разложена в почти прямое произведение стандартных особенностей. (4) Описана топология слоений Лиувилля интегрируемых биллиардов в обобщенных областях, полученных из компактных плоских областей, ограниченных дугами софокусных эллипсов и гипербол, склейками как вдоль выпуклых, так и вдоль невыпуклых граничных сегментов. Также классифицированы обобщенные интегрируемые биллиарды (т.е. соответствующие обобщенные области указанного типа). (5) Описана (в терминах инварианта Фоменко-Цишанга) топология слоений Лиувилля на трехмерных неособых изоэнергетических многообразиях для следующих интегрируемых задач механики: - интегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли so(4), на любой ее регулярной орбите коприсоединенного представления; - «некомпактных» слоений Лиувилля, возникающих в семействе интегрируемых систем Чаплыгина-Горячева в динамике твердого тела в жидкости (перечислены все возникающие в этих слоениях бифуркации). Построены бифуркационные диаграммы отображения момента, получено описание особенностей отображения момента и изучены другие топологические свойства для следующих интегрируемых систем: - задачи о качении шара Чаплыгина с ротором; - интегрируемых систем на алгебре Ли е(3) с линейным периодическим интегралом; - интегрируемого случая Адлера-ван Мёрбеке на алгебре Ли so(4). (6) Исследован вопрос о существовании «устойчивых» нетривиальных траекторных инвариантов интегрируемых систем с 2 степенями свободы. Изучены непрерывные (т.е. мало меняющиеся при малых интегрируемых возмущениях систем) инварианты таких систем на компактных изоэнергетических 3-мерных многообразиях. Доказано, что всякий непрерывный траекторный инвариант является тривиальным, т.е. может быть выражен в терминах локальных экстремумов функции вращения на одно-параметрических семействах инвариантных торов при условии, что система допускает сечение Пуанкаре рода ноль. (7) Конструкция инвариантов Жордана-Кронекера обобщена на случай конечномерных представлений алгебр Ли. Показана связь инвариантов Жордана-Кронекера с другими естественными инвариантами представлений: структурой стабилизаторов, полиномиальными инвариантами и множеством особых точек. Получены оценки, связывающие минимальные индексы столбцов с количеством алгебраически независимых полиномиальных инвариантов представления и их степенями. Проведен сравнительный анализ двух различных подходов к определению подалгебр Мищенко-Фоменко в алгебрах Ли-Пуассона конечномерных алгебр Ли. Первый подход, общепринятый в алгебраическом сообществе, использует полиномиальные инварианты коприсоединенного представления. Второй основан на понятии формальных инвариантов и позволяет поэтому работать с произвольными алгебрами Ли, не обязательно алгебраическими. В этом смысле второй подход более универсален. Указаны необходимые и достаточные условия, при которых эти два типа подалгебр совпадают, и изучены их инфинитезимальные свойства. Обнаружено, что для некоторых важных геометрических структур, возникающих в проективной и с-проективной дифференциальной геометрии, существует тесная связь с конструкцией метода сдвига аргумента Мищенко-Фоменко. Более того, эту неожиданную связь можно эффективно использовать для решения геометрических задач. Это продемонстрировано в задаче об описании локальных нормальных форм псевдокэлеровых метрик в нулевым тензором Бохнера. Эта задача полностью решена. Кроме того, используя конструкцию сдвига аргумента, удалось построить серию новых примеров псевдоримановых и псевдокэлеровых симметрических пространств. (8) Изучено строение операторов Нийенхейса в окрестностях особых точек (т.е. таких, в которых спектр не является простым). Доказано совпадение левосимметрических алгебр и линейных операторов Нийенхейса. Доказано существование естественной структуры левосимметрической алгебры на касательном пространстве в такой особой точке, где оператор Нийенхейса становится скалярным. Получена классификация всех двумерных левосимметрических алгебр. Для каждой алгебры из полученного списка решен (в гладком случае) вопрос о линеаризуемости оператора Нийенхейса в окрестности точки. В аналитическом случае для двух алгебр полученного списка задача сведена к вопросу линеаризации векторных полей. Достаточное условие линеаризуемости, близкое к необходимому, получено в терминах чисел Брюно. (9) Исследована полулокальная устойчивость особенностей типа седло-седло, а также ее связь с характеристиками круговой молекулы особенности. Получен критерий покомпонентной устойчивости (т.е. устойчивости относительно интегрируемых возмущений некоторого специального вида, названных покомпонентными) для седловых особенностей ранга 0 в случае любого числа степеней свободы. Для каждой из 39 особенностей типа седло-седло сложности 2 выяснено, является ли она покомпонентно устойчивой, и в случае неустойчивости явно указано ее возмущение, расщепляющее особый слой. Получен алгоритм определения возможности расщепления особенности типа седло-седло сложности 2 по ее круговой молекуле. (10) Начато исследование симплектических инвариантов гамильтоновых систем с вырожденными особенностями. Получено описание симплектических инвариантов особых точек интегрируемых систем с одной степенью свободы (вещественно аналитический случай). Получена локальная симплектическая классификация таких особенностей. (11) Начато вычисление инвариантов Жордана-Кронекера для полупрямых сумм простых алгебр Ли с коммутативным идеалом: вычислены инварианты Жордана-Кронекера для алгебр Ли so(n)+(R^n)^k и sp(n)+(R^n)^k, являющихся полупрямыми суммами соответственно алгебр Ли so(n) и sp(n) с k экземплярами пространств их стандартных представлений. Полученные результаты опубликованы в 5 научных статьях в математических журналах, индексируемых базами WoS или Scopus, и представлены на 4 международных конференциях (13 докладов). 3 работы приняты к публикации, 2 работы сданы в печать и опубликованы в архиве (https://arxiv.org). На Механико-математическом факультете Московского Государственного университета работает регулярный семинар «Алгебра и топология интегрируемых систем» по тематике проекта (http://dfgm.math.msu.su/RSF_project.php).
2 19 февраля 2018 г.-31 декабря 2018 г. Топологические и алгебраические аспекты теории интегрируемых систем: новые направления и приложения
Результаты этапа: (1) Описана (в том числе в терминах инвариантов Фоменко-Цишанга) топология слоений Лиувилля для следующих интегрируемых биллиардов и их обобщений. Исследован новый класс интегрируемых биллиардов – биллиард в «книжке», которая представляет собой двумерный клеточный комплекс, склеенный из нескольких экземпляров плоской области, ограниченной дугами софокусных квадрик, вдоль соответствующих выпуклых граничных сегментов. Для любой невырожденной бифуркации торов Лиувилля интегрируемой гамильтоновой системы (3-атома) дано алгоритмическое построение биллиардной книжки, в изоэнергетическом многообразии которой возникает такая бифуркация. Для геодезического потока в поле сил упругого потенциала на двумерном эллипсоиде описана топология слоения Лиувилля (т.е. вычислен инвариант Фоменко-Цишанга — меченая молекула) для всех неособых изоэнергетических 3-мерных многообразий в зависимости от длин полуосей эллипсоида и коэффициента упругости. В результате получены не встречавшиеся ранее инварианты Фоменко-Цишанга, а также обнаружены эквивалентности уже известным случаям динамики твердого тела. Выяснено, что изменение формы поверхности (эллипсоид, параболоид) и характера силы (упругая, гравитационная) приводит к появлению новых меченых молекул. Начато исследование топологии 3-мерных изоэнергетических многообразий биллиардных книжек. В частности, была построена биллиардная книжка, изоэнергетическое многообразие которой гомеоморфно произвольному линзовому пространству L(n,k). (2) Исследованы симплектические инварианты интегрируемых гамильтоновых систем с вырожденными особенностями. Изучены симплектические инварианты каспидальных (параболических) особенностей интегрируемых систем. (3) Проведена классификация целочисленных аффинных 3-мерных многообразий, которые могут возникать как базы лагранжевых расслоений (без особенностей) на компактных симплектических многообразиях размерности 6. Описаны все полные целочисленные аффинные структуры на компактных трёхмерных многообразиях с точностью до конечнолистного накрытия. Получен полный список целочисленных аффинных структур на трёхмерном торе и компактных трёхмерных нильмногообразиях. (4) Вычислены инварианты Жордана-Кронекера для полупрямых сумм простых алгебр Ли с коммутативным идеалом. В частности, проведены вычисления для полупрямых сумм простых неособых вещественных алгебр Ли с несколькими экземплярами пространств их стандартных представлений в случаях алгебр sl(n)+(R^n)^k и gl(n)+(R^n)^k, когда k>n-1 или n кратно k. Вычислены инварианты Жордана-Кронекера для многих представлений классических групп Ли. (5) Исследованы общие алгебраические свойства бипуассоновых векторных пространств. Изучены свойства их группы автоморфизмов и билагранжевых подпространств. Показано, что билагранжев грассманиан как алгебраическое многообразие является приводимым и может содержать неприводимые компоненты малой размерности. Это означает, что геометрия билагранжева грассманиана оказалась гораздо более сложной, чем ожидалось нами ранее. Это, в частности, приводит к выводу о том, что исследования следует сосредоточить на анализе структуры неприводимой компоненты максимальной размерности. Сформулирована гипотеза о разложении неприводимой компоненты лагранжева грассманниана максимальной размерности на орбиты группы автоморфизмов. Получен критерий продолжимости биизотропного подпространства до билагранжева в бипуассоновом пространстве. Для алгебр Ли gl(n) и so(n) исследована полнота бикоммутативного набора полиномов малых степеней, получаемого при помощи алгебраического оператора Нийенхейса-Соколова-Одесского на этих алгебрах. (6) Проведена классификация супер-интегрируемых гамильтоновых систем Бертрана. Под системой Бертрана понимается натуральная механическая система на двумерном конфигурационном многообразии вращения (возможно, с «экваторами»), все ограниченные решения которой периодичны и хотя бы одно из них не является круговым. Исследована связь между классом бертрановых систем и другими классами систем типа Бертрана (сильно бертрановых, локально-бертрановых и т.п.). А именно: показано, что сильно бертрановы системы (классифицированные Перликом и Дарбу) образуют тощее подмножество в множестве бертрановых систем, а бертрановы системы (классифицированные Е.Кудрявцевой и Д.Федосеевым в рамках проекта) образуют в свою очередь тощее подмножество в множестве локально-бертрановых систем. Описаны свойства локально-бертрановых систем и «чисто бертрановых» систем (классификации которых пока неизвестны). (7) Получена классификация гамильтоновых систем с полными потоками на некомпактных двумерных многообразиях с точностью до топологической сопряжённости. В частности, показано, что любая гладкая функция, стремящаяся к бесконечности, может быть реализована как функция времени движения вдоль гамильтонова потока вблизи выколотой особой точки. Начато исследование некомпактных особенностей интегрируемых гамильтоновых систем с 2 степенями свободы. (8) Продолжено исследование топологии слоений Лиувилля для конкретных интегрируемых систем с 2 степенями свободы: Для семейства интегрируемых систем Чаплыгина-Горячева в динамике твердого тела в жидкости опубликована статья С.С. Николаенко с полным описанием топологии «некомпактных» слоений Лиувилля на неособых изоэнергетических многообразиях (в терминах аналога инварианта Фоменко-Цишанга). В частности, перечислены все возникающие в этих слоениях бифуркации. Для системы Ковалевской на алгебре Ли so(3,1) построены бифуркационные диаграммы в случае нулевой постоянной площадей, т.е. для тех регулярных орбит коприсоединенного действия, которые не изучались ранее. Также описаны невырожденные особенности, содержащие точки ранга 0 данной системы. Было обнаружено, что некоторые такие особенности на орбитах с нулевой постоянной площадей «расщепляются» на две особенности меньшей сложности на (близких) орбитах с ненулевой постоянной площадей. Начато исследование топологии неособых 3-мерных изоэнергетических многообразий, возникающих в случае Ковалевской на алгебре Ли so(4). Также начато вычисление инварианта Фоменко-Цишанга (полного инварианта слоения Лиувилля на 3-мерных изоэнергетических многообразиях с точностью до послойного гомеоморфизма) для изоэнергетических многообразий системы Ковалевской на алгебре Ли so(3,1). (9) Продолжено изучение строения операторов Нийенхейса в особых точках. Описаны нормальные формы операторов Нийенхейса в окрестности алгебраически регулярных особых точек. Описаны нормальные формы нильпотентных операторов Нийенхейса, удовлетворяющих уравнению А^3=0. Решена проблема линеаризации для диагональной лево-симметрической алгебры. Обнаружена многомерная серия «невырожденных» (т.е. линеаризуемых) в аналитическом случае лево-симметрических алгебр. Описаны нормальные формы согласованных пар (риманова метрика, оператор Нийенхейса) в окрестностях функционально невырожденных особых точек.

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".