Топологические и алгебраические аспекты теории интегрируемых систем: новые направления и приложенияНИР

Topological and algebraic aspects of the theory of integrable systems: new trends and applications

Источник финансирования НИР

грант РНФ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 18 мая 2017 г.-31 декабря 2017 г. Топологические и алгебраические аспекты теории интегрируемых систем: новые направления и приложения
Результаты этапа: (1) Классифицированы с точностью до послойного гомеоморфизма «некомпактные» бифуркации гамильтоновых систем с одной степенью свободы. В предположении конечности числа бифуркационных слоев получен полный инвариант лиувиллевой эквивалентности гамильтоновых систем с одной степенью свободы на некомпактных двумерных многообразиях. (2) Найдены все особенности типа седло-фокус сложности 1 для слоений Лиувилля с компактными слоями в случае систем с тремя степенями свободы. Тем самым проведена классификация с точностью до послойного гомеоморфизма невырожденных особенностей ранга 0 сложности 1 для вполне интегрируемых гамильтоновых систем с тремя степенями свободы. (3) Изучены фокусные особенности лагранжевых расслоений на 4-мерных симплектических многообразиях (известные также как нодальные особенности или торы с перетяжками). Показано, что в отличие от эллиптических или гладких особенностей, существуют гомеоморфные фокусные особенности, не являющиеся диффеоморфными. Получено алгебраическое описание пространства модулей фокусных особенностей с точностью до гладкой эквивалентности и показано, что для тора с двойной перетяжкой это пространство одномерно. Эта конструкция применена для опровержения гипотезы Зунга, утверждающей, что любая невырожденная особенность может быть гладким образом разложена в почти прямое произведение стандартных особенностей. (4) Описана топология слоений Лиувилля интегрируемых биллиардов в обобщенных областях, полученных из компактных плоских областей, ограниченных дугами софокусных эллипсов и гипербол, склейками как вдоль выпуклых, так и вдоль невыпуклых граничных сегментов. Также классифицированы обобщенные интегрируемые биллиарды (т.е. соответствующие обобщенные области указанного типа). (5) Описана (в терминах инварианта Фоменко-Цишанга) топология слоений Лиувилля на трехмерных неособых изоэнергетических многообразиях для следующих интегрируемых задач механики: - интегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли so(4), на любой ее регулярной орбите коприсоединенного представления; - «некомпактных» слоений Лиувилля, возникающих в семействе интегрируемых систем Чаплыгина-Горячева в динамике твердого тела в жидкости (перечислены все возникающие в этих слоениях бифуркации). Построены бифуркационные диаграммы отображения момента, получено описание особенностей отображения момента и изучены другие топологические свойства для следующих интегрируемых систем: - задачи о качении шара Чаплыгина с ротором; - интегрируемых систем на алгебре Ли е(3) с линейным периодическим интегралом; - интегрируемого случая Адлера-ван Мёрбеке на алгебре Ли so(4). (6) Исследован вопрос о существовании «устойчивых» нетривиальных траекторных инвариантов интегрируемых систем с 2 степенями свободы. Изучены непрерывные (т.е. мало меняющиеся при малых интегрируемых возмущениях систем) инварианты таких систем на компактных изоэнергетических 3-мерных многообразиях. Доказано, что всякий непрерывный траекторный инвариант является тривиальным, т.е. может быть выражен в терминах локальных экстремумов функции вращения на одно-параметрических семействах инвариантных торов при условии, что система допускает сечение Пуанкаре рода ноль. (7) Конструкция инвариантов Жордана-Кронекера обобщена на случай конечномерных представлений алгебр Ли. Показана связь инвариантов Жордана-Кронекера с другими естественными инвариантами представлений: структурой стабилизаторов, полиномиальными инвариантами и множеством особых точек. Получены оценки, связывающие минимальные индексы столбцов с количеством алгебраически независимых полиномиальных инвариантов представления и их степенями. Проведен сравнительный анализ двух различных подходов к определению подалгебр Мищенко-Фоменко в алгебрах Ли-Пуассона конечномерных алгебр Ли. Первый подход, общепринятый в алгебраическом сообществе, использует полиномиальные инварианты коприсоединенного представления. Второй основан на понятии формальных инвариантов и позволяет поэтому работать с произвольными алгебрами Ли, не обязательно алгебраическими. В этом смысле второй подход более универсален. Указаны необходимые и достаточные условия, при которых эти два типа подалгебр совпадают, и изучены их инфинитезимальные свойства. Обнаружено, что для некоторых важных геометрических структур, возникающих в проективной и с-проективной дифференциальной геометрии, существует тесная связь с конструкцией метода сдвига аргумента Мищенко-Фоменко. Более того, эту неожиданную связь можно эффективно использовать для решения геометрических задач. Это продемонстрировано в задаче об описании локальных нормальных форм псевдокэлеровых метрик в нулевым тензором Бохнера. Эта задача полностью решена. Кроме того, используя конструкцию сдвига аргумента, удалось построить серию новых примеров псевдоримановых и псевдокэлеровых симметрических пространств. (8) Изучено строение операторов Нийенхейса в окрестностях особых точек (т.е. таких, в которых спектр не является простым). Доказано совпадение левосимметрических алгебр и линейных операторов Нийенхейса. Доказано существование естественной структуры левосимметрической алгебры на касательном пространстве в такой особой точке, где оператор Нийенхейса становится скалярным. Получена классификация всех двумерных левосимметрических алгебр. Для каждой алгебры из полученного списка решен (в гладком случае) вопрос о линеаризуемости оператора Нийенхейса в окрестности точки. В аналитическом случае для двух алгебр полученного списка задача сведена к вопросу линеаризации векторных полей. Достаточное условие линеаризуемости, близкое к необходимому, получено в терминах чисел Брюно. (9) Исследована полулокальная устойчивость особенностей типа седло-седло, а также ее связь с характеристиками круговой молекулы особенности. Получен критерий покомпонентной устойчивости (т.е. устойчивости относительно интегрируемых возмущений некоторого специального вида, названных покомпонентными) для седловых особенностей ранга 0 в случае любого числа степеней свободы. Для каждой из 39 особенностей типа седло-седло сложности 2 выяснено, является ли она покомпонентно устойчивой, и в случае неустойчивости явно указано ее возмущение, расщепляющее особый слой. Получен алгоритм определения возможности расщепления особенности типа седло-седло сложности 2 по ее круговой молекуле. (10) Начато исследование симплектических инвариантов гамильтоновых систем с вырожденными особенностями. Получено описание симплектических инвариантов особых точек интегрируемых систем с одной степенью свободы (вещественно аналитический случай). Получена локальная симплектическая классификация таких особенностей. (11) Начато вычисление инвариантов Жордана-Кронекера для полупрямых сумм простых алгебр Ли с коммутативным идеалом: вычислены инварианты Жордана-Кронекера для алгебр Ли so(n)+(R^n)^k и sp(n)+(R^n)^k, являющихся полупрямыми суммами соответственно алгебр Ли so(n) и sp(n) с k экземплярами пространств их стандартных представлений. Полученные результаты опубликованы в 5 научных статьях в математических журналах, индексируемых базами WoS или Scopus, и представлены на 4 международных конференциях (13 докладов). 3 работы приняты к публикации, 2 работы сданы в печать и опубликованы в архиве (https://arxiv.org). На Механико-математическом факультете Московского Государственного университета работает регулярный семинар «Алгебра и топология интегрируемых систем» по тематике проекта (http://dfgm.math.msu.su/RSF_project.php).

Статьи по НИР

Доклады на конференциях по НИР