| 1 |
16 мая 2022 г.-31 декабря 2022 г. |
Смешанные вероятностные модели: аналитические и асимптотические свойства, методы статистического анализа и применения 2022 |
| Результаты этапа: В данном пункте приведен перечень основных результатов, полученных в рамках выполнения проекта в 2022 году.
1. Предложено многомерное распределение, обобщающее «двойственное» к многомерному распределению Стьюдента. Это распределение возникает как предельное в предельных теоремах для многомерных геометрических случайных сумм. Показано, что это распределение имеет тяжелые хвосты и в то же время наследует многие свойства многомерного нормального распределения.
2. В задаче сравнения распределений предложен непрерывный аналог понятия дефекта, позволяющий строить количественные оценки точности нормальной аппроксимации, учитывающие «тяжесть хвостов» распределений слагаемых.
3. В терминах дзета-метрики Золотарева получены оценки скорости сходимости в законе больших чисел для смешанных пуассоновских случайных сумм. Получены оценки геометрической устойчивости распределений Миттаг-Леффлера и Линника. Поскольку распределения Миттаг-Леффлера и только они являются геометрически устойчивыми распределениями, сосредоточенными на неотрицательной полуоси, а распределения Линника и только они являются симметричными геометрически устойчивыми распределениями, тем самым получены очень существенные обобщения ранее известных оценок геометрической устойчивости показательного распределения (частного случая распределения Миттаг-Леффлера).
4. Найдено значение точной верхней грани отношения третьего нецентрального абсолютного момента к центральному при каждом значении нормированного (квадратным корнем из второго момента) математического ожидания и указано экстремальное (двухточечное) распределение. Построена более удобная оценка найденного экстремума в виде дробно-рациональной функции, уступающая в точности значению экстремума отношения нормированных третьих абсолютных моментов (ляпуновских дробей) не более 10% равномерно по всем возможным значениям нормированного первого момента. Построены уточненные оценки для разности характеристической функции центрированной и нормированной суммы независимых одинаково распределенных случайных величин с конечными вторыми моментами и стандартной нормальной характеристической функцией в терминах дроби Линдеберга и абсолютного значения усеченного третьего алгебраического момента, позволившие уточнить значения констант в неравенствах типа Эссеена-Розовского для одинаково распределенных случайных величин.
5. Дано описание предельных распределений для многомерных случайных сумм с общим многомерным индексом суммирования с многомерным геометрическим распределением. Эти распределения используются для построения многомерных семейств распределений с тяжелыми хвостами.
6. Предложено исследовать новый вид дигамма-распределения, представляющего собой масштабную (мультипликативную) смесь обобщенных гамма-распределений. Предложено расширить область применения байесовских моделей баланса за счет рассмотрения интегральных факторов, имеющих вид случайных сумм. Доказано обобщение классической теоремы Реньи для структурных распределений с параметром масштаба, представляющее собой теорему переноса с нулевым центрированием. Доказана асимптотическая теорема о сходимости распределений нормированных интегральных индексов баланса к дигамма-распределению, дающая возможность исследовать сбалансированность сложных систем на больших интервалах времени и предельное поведение функций специального вида от двумерных статистик, построенных по выборкам случайного объема.
7. Реализован метод скользящего разделения смесей для задачи оценивания распределений случайных коэффициентов уравнения Ланжевена, проведено его тестирование на реальных пространственно-временных данных. Исследована возможность применения метода эмпирических характеристических функций в задаче разделения смесей многомерных дисперсионных гамма-распределений. Реализованы методы разделения конечных смесей нормальных законов, основанные на минимизации невязки между теоретическим и эмпирическим распределениями. Предложены алгоритмы адаптивного выбора узлов сетки на последовательных итерациях сеточного ЕМ-алгоритма.
8. Впервые предложено использование моментных характеристик вероятностных моделей данных и «связанных» компонент метода скользящего разделения смесей в качестве нетривиальных признаков для эффективного расширения признакового пространства в задачах обучения рекуррентных нейронных сетей. |
| 2 |
1 января 2023 г.-31 декабря 2023 г. |
Смешанные вероятностные модели: аналитические и асимптотические свойства, методы статистического анализа и применения 2023 |
| Результаты этапа: В рамках этапа 2023 года получены следующие ключевые научные результаты:
Доказаны общие двусторонние неравенства, связывающие вероятность больших уклонений масштабных смесей с аналогичными вероятностями для смешиваемого и смешивающего распределений. Из этих неравенств вытекает, что определяющее значение для степени тяжести хвостов смешанного распределения имеет не столько число атомов, сколько границы носителя смешивающего распределения. Поэтому асимптотическое поведение хвостов конечной смеси нормальных законов совпадает с аналогичным поведением смешиваемого нормального распределения. Упомянутые неравенства позволяют проследить возрастание тяжести хвостов смеси по мере стремления границ носителя смешивающего распределения к бесконечности.
Доказан аналог неравенства Берри-Эссеена для пуассоновских случайных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин с конечными третьими моментами, устанавливающий верхнюю оценку точности нормальной аппроксимации последних в дзета-метриках порядка 1<=s<=3 в терминах нецентральных ляпуновских дробей третьего порядка.
Получены оценки равномерной и дзета-метрик порядка 1<=s<=3, включая метрику Канторовича (s=1) точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских случайных сумм в терминах центральных ляпуновских дробей третьего порядка с мультипликативной константой, учитывающей возможную малость значений нормированного математического ожидания случайных слагаемых.
Для нового двойственного семейства распределений найдены числовые характеристики в явном виде. Все распределения, как для исходного, так и для двойственного семейства являются эллиптически контурированными. Для оценки их параметров найдена некоторая система уравнений. Исследованы свойства полученных оценок. В частности, доказана их состоятельность и асимптотическая нормальность.
Рассмотрено асимптотического поведения оценок параметров дигамма-распределения в условиях априори неизвестного объема выборки с помощью модифицированного метода моментов, основанного на логарифмических кумулянтах дигамма-распределения, получаемых при помощи преобразования Меллина. Доказаны аналоги центральной предельной теоремы для оценок характеристического показателя и параметров формы и масштаба дигамма-распределения. Показано, что при случайном объеме выборки, стремящемся по вероятности к бесконечности, предельные законы представляют собой масштабные смеси нормального распределения, в которых смешивающие распределения получаются как предельные для нормированного случайного объема выборки.
Получены явные выражения для моментов случайных величин с несимметричными квази-степеннЫми нормальными распределениями. Показано, что несимметричные квази-степеннЫе нормальные распределения могут использоваться в прикладных задачах в качестве асимптотических аппроксимаций наблюдаемых статистических закономерностей. С этой целью доказана теорема переноса для случайных сумм в схеме серий, в которой несимметричные квази-степеннЫе нормальные распределения выступают в качестве предельных. При этом полученные условия сходимости являются необходимыми и достаточными.
Показано, что обобщенное распределение Стьюдента допускает представление в виде масштабной смеси нормальных законов, что позволяет в довольно простой предельной схеме сформулировать и доказать предельные теоремы для статистик, построенных по выбркам случайного объема (в частности, для случайных сумм), в которых обобщенное распределение Стьюдента выступает в качестве предельного закона. Установлена его связь с распределениями типа Парето, в частности, с обобщенным распределением Ломакса, которое является распределением степени абсолютной величины с обобщенным распределением Стьюдента. Доказаны такие свойства обобщенного распределения Стьюдента и обобщенного распределения Ломакса как безграничная делимость и идентифицируемость. Доказаны предельные теоремы для случайных сумм и экстремальных порядковых статистик в выборках случайного объема, в которых обобщенное распределение Стьюдента, обобщенное распределение Ломакса, обобщенное распределение Бэрра и распределение Снедекора–Фишера являются предельными. Соответствующие условия сходимости являются необходимыми и достаточными. Построены асимптотические разложения для распределения экстремальных порядковых статистик в выборках из распределения Бэрра. Найдены асимптотические разложения для распределения экстремальных порядковых статистик в выборках из такого распределения, введены понятия гарантированного уровня и предложен способ сравнения гарантированных уровней, основанный на аналоге понятия дефекта, хорошо известного в статистике. Рассмотрены ситуации, в которых объем выборок может быть случайным. Доказаны общие неравенства, связывающие хвосты масштабных смесей с хвостами смешивающих распределений в предположении равенства нулю среднего значения смешиваемого закона. |
| 3 |
1 января 2024 г.-31 декабря 2024 г. |
Смешанные вероятностные модели: аналитические и асимптотические свойства, методы статистического анализа и применения 2024 |
| Результаты этапа: |
