ИСТИНА

НИР посвящен: - исследованию актуальных вопросов в геометрической и аналитической теории приближений, а также приложениям для нелинейного анализа, дифференциальных уравнений, теории функций и геометрической оптики; - изучению свойств локальной солнечности и единственности в геометрической теории приближений и применение полученных результатов к задачам геометрической оптики; - исследованию колмогоровских поперечников пересечений конечномерных шаров и их порядков; - оценкам поперечников пересечений весовых классов Соболева; - решению ряда новых задач теории дискрепанса и дисперсии множеств. Наряду с фундаментальной значимостью полученные результаты будут иметь приложения в вычислительной математике, в нелинейном анализе и геометрической оптике.

The project is devoted to: - study of relevant problems in geometric approximation theory and analytic approximation theory, and to applications for nonlinear analysis, differential equations, theory of functions, and geometrical optics; - study of local solarity and unicity in geometric approximation theory and application of the results to geometrical optics problems; - investigation of the Kolmogorov widths of intersections of finite-dimensional balls and evaluation of their orders; - estimates of widths of intersections of weighted Sobolev classes; - solutions of new problems in the discrepancy theory. Along with its fundamental significance, the results obtained will have applications in computational mathematics, nonlinear analysis, and geometric optics.

Изучение взаимосвязи строгой солнечности, связности по Брозовскому-Вегману, ($Bo$)-полноты и сегментной полноты. Будут получены результаты о строгой солнечности ($Bo$)-полных (сегментно полных) множеств. С помощью таких результатов окажется возможным установление строгой солнечности множеств (множеств Колмогорова) через легко проверяемое свойство ($Bo$)-полноты (сегментной полноты). Изучение связности ($Bo$)-полных и сегментно полных множеств. Будет, в частности, установлено, что аппроксимативно компактное ($Bo$)-полное множество имеет связные пересечения с замкнутыми шарами. Получение достаточных и необходимых условий солнечности и строгой солнечности в конечномерных полиэдральных пространствах. Планируется установить инвариантность некоторых аппроксимативно-геометрических свойств множеств при варьировании нормы шара при его по касательным направлениям единичной сферы (случай малых размерностей). Тем самым будет получены просто проверямые условия для установления свойств типа Колмогрова характеризации элементов наилучшего приближения в конкретных пространствах (в частности, в $C(Q)$) или же отсутствие таковых свойств для конкретных приближающих нелинейных множеств. Как известно, свойства типа Колмогорова используются в алгоритмах нахождения наилучшего или почти наилучшего приближения. Получение теорем о локальной солнечности для задач max-аппроксимации в симметричных и несимметричных пространствах. Описание трехмерных пространств, в которых всякое строгое солнце (множество Колмогорова) монотонно линейно связно. Критерий Колмогорова элемента наилучшего приближения часто используется при построении вычислительных процедур построения элементов наилучшего приближения. Полученные теоремы обеспечат в будущем построение алгоритмов вычисления чебышёвских центров множеств. Изучение аппроксимативных свойств множеств в несимметричных пространствах. Получение результатов о связи delta- и gamma-солнечности в полных несимметрично нормированных пространствах. Установление соответствующих свойств позволит использовать классический аппарат геометрической теории приближений в более широком классе пространств. Случай несимметричных конечномерных пространств является важным для изучения двойственной задачи геометрической оптике, и, в частности, будет иметь приложения к уравнению эйконала. Исследование геометрии особых множеств гиперповерхностей в $R^n$. Приложение к задаче описания классических решений уравнения эйконала. Математическое моделирование в задаче многократного отражения. Построение теории дисков Маха как каустики отражений. Это позволит связать многочисленные явления (природные и техногенные), связанные с этой проблематикой. Уточнение существующих оценок ошибок кубатурных формул Коробова на классе функций со смешанной гладкостью при использовании техники оценки дискрепанса множеств типа Коробова при использовании техники В. А. Быковского. Исследование множеств Смоляка (такие множества возникают, в частности, при решения динамических экономических моделей) с точки зрения дискрепанса с фиксированным объемом. Эта актуальная задача многомерной аппроксимации имеет многочисленные приложения в математике и прикладных науках.

И. Г. Царьков решил ряд центральных вопросов о существовании непрерывных выборок из операторов наилучшего и почти наилучшего приближения, а также из множеств чебышёвских и почти чебышёвских центров. Им изучена задача об однозначной непрерывной выборке из многозначных отображений для оператора наилучшего и почти наилучшего приближения в нормированных и несимметрично нормированных пространствах, получена характеризация множеств, обладающих непрерывной выборкой. Полученные результаты им были применены при выводе новых метрико-топологических теорем о неподвижных точках для многозначных отображений (не обязательно выпуклых компактов). При этом значения таких многозначных отображений могли быть некомпактными невыпуклыми множествами И. Г. Царьков получил теорему, уточняющую и частично обобщающую (в случае конечномерных пространств) классическую теорему Майкла о выборке из многозначного полунепрерывного снизу метрического проектора без априорных предположений о выпуклости образов (как в теореме Майкла). И.Г.Царьков доказал, что в конечномерном несимметричном полиэдральном пространстве всякое множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией обладает непрерывной селекцией из этой проекции. Теория непрерывных выборок была успешно обобщена на пространства ограниченных множеств с хаусдорфовой метрикой. И.Г. Царьков получил существенные продвижения в задаче описания всех $C^1$-гладких решений уравнения эйконала (основного уравнения геометрической оптики) на различных областях в $\mathbb R^n$ на основе оригинальных методов геометрической теории приближений. Впервые проявилась значимость геометрической теории приближений в конечномерных пространствах (не обязательно большой размерности).

1. Установлен ряд теорем геометрической теории приближений для несимметрично нормированных пространств. Исследованы множества с непрерывной выборкой из оператора почти наилучших приближений, для таких множеств установлена δ-солнечность, установлено поведение метрической функции. Решена задача о совпадении классов δ- и γ-солнц в несимметричных пространствах. Установлен несимметричный аналог критерия Колмогорова элемента наилучшего приближения в терминах солнц, строгих солнц и α-солнц. Эти результаты опубликованы: А.Р. Алимов, И. Г. Царьков "Некоторые классические задачи геометрической теории приближений в несимметричных пространствах" Матем. заметки, 112:1 (2022), 3–19 / A. R. Alimov, I. G. Tsar'kov, “Some сlassical problems of geometric approximation theory in asymmetricspaces”, Math. Notes, 112:1 (2022), 3–16 (Q2) 2. Ряд классических понятий и утверждений геометрической теории приближений перенесен на случай несимметричных пространств, введены и использованы новые понятия, отражающие специфику несимметричных пространств. В частности, введено понятие Bo-полного множества и доказано совпадение класса таких множеств с классом унимодальных множеств. Для симметризуемого несимметричного рефлексивного (LUR)-пространства показано, что класс замкнутых Bo-связных множеств совпадает с классом унимодальных множеств. Для существенно несимметричных гладких пространств установлена выпуклость замкнутых почти солнц – этот результат также является новым и в симметрично нормированных пространствах. Изучены категорные свойства точек существования и аппроксимативной компактности в несимметричных пространствах специального типа. Эти результаты опубликованы: Alexey R. Alimov, Igor' G. Tsar'kov "Ball-complete sets and solar properties of sets in asymmetric spaces", Results in Mathematics (2022), 77:86 (Q1) 3. Изучены вопросы непрерывности метрической функции и полунепрерывности сверху левой метрической проекции на ограниченно секвенциально лево-компактные множества в несимметричных пространствах. Исследованы взаимосвязи между свойствами аппроксимативной устойчивости и аппроксимативной компактности. Эти результаты опубликованы: И. Г. Царьков "Непрерывность метрической функции и проекции в несимметричных пространствах", Матем. заметки, 111:4 (2022), 606–615;, Math. Notes, 111:4 (2022), 616–623 (Q2)   4. Изучены свойства обобщенных n-ломаных относительно монотонно линейных ограниченно компактных подмножеств пространства C[a,b]. Доказано, что такие множества монотонно линейно связны и являются солнцами. Изучены точки светимости множеств в полиэдральных пространствах, допускающих полунепрерывную снизу выборку из метрической проекции. Построен пример четырехмерного полиэдрального пространства и не B-связного солнца в нем. Этот пример дает решение давно стоящей задачи (с 1974 г.) о связности пересечения солнц с шарами в конечномерных пространствах. Эти результаты опубликованы: И. Г. Царьков, "Солнечность и связность множеств в пространстве C[a,b] и конечномерных полиэдральных пространствах"// Матем. сб., 213:2 (2022), 149–166; I. G. Tsar'kov, “Solarity and connectedness of sets in the space C[a,b] and in finite-dimensional polyhedral spaces”, Sb. Math., 213:2 (2022), 268–282 (Q1) 5. Получены приложения в задаче о гладких (классических) решениях уравнения эйконала. При решении этой задачи было показано, что всякая гиперповерхность, множество особенностей которой есть одномерная кривая, концы которой уходят в бесконечность, может быть только цилиндром, ось симметрии которого и есть эта кривая. Построен алгоритм для каустик отражений от границ разделения сред. Проведено сравнение полученных результатов с реальными изображениями. Эти результаты опубликованы: I.G. Tsar’kov, "Geometry of the singular set of hypersurfaces and the eikonal equation", Russ. J. Math. Phys. 29:2 (2022), 240-248 (Q2) 6. Для равномерно выпуклых несимметричных пространств рассматриваются вопросы, касающиеся непустоты пересечений вложенной системы ограниченных выпуклых замкнутых множеств. Получены плотностные теоремы для множеств точек существования и аппроксимативной единственности замкнутых подмножеств равномерно выпуклых несимметричных пространств. Эти результаты опубликованы: I.G. Tsar’kov "Uniformly and locally convex asymmetric spaces", Russ. J. Math. Phys. 29, 141–148 (2022) (Q2) 7. Изучены аппроксимативные и структурные свойства приближающих множеств в несимметричных пространствах. Исследована связь нового понятия Bo-полноты множества и различных классических структурных характеристик множеств, в частности, получены результаты о связности и линейной связности пересечений таких множеств с замкнутыми или открытыми шарами. В частности, доказано, что Bo-полное чебышёвское множество в несимметричном пространстве Ефимова-Стечкина Bo-связно, т.е. имеет связные пересечения с открытыми шарами. Все рассматриваемые задачи изучаются в несимметрично нормированных пространствах. Эти результаты опубликованы: А. Р. Алимов, И. Г. Царьков “Bo-полные множества и их аппроксимативные и структурные свойства”, Сиб. матем. журн. 63:3 (2022), 500-509 / "Bo-complete sets: Approximative and structural properties", Sib Math J 63, 412–420 (2022) (Q2) 8. Развиты классические понятия и задачи геометрической теории приближений в несимметричных пространствах. Изучена взаимосвязь строгих солнц, множеств в ORL-непрерывной метрической проекцией, унимодальных множеств, Bo-полных множеств и лун. Введены понятия B-солнца и локального B-солнца в несимметричном пространстве (множество называется B-солнцем, если его пересечение с любым замкнутым шаром является солнцем или пусто). Показано, что локально B-солнечное унимодальное множество является строгим солнцем, строится пример чебышёвского множества, не являющегося B-солнцем. Доказывается, что для локального B-солнца в несимметричном пространстве условие ORL-непрерывности (outer radial lower semicontinuity) метрической проекции эквивалентно его строгой солнечности. Установлено, что в несимметричном пространстве P-секвенциально компактное B-солнце является солнцем. Эти результаты опубликованы: A.R. Alimov, I. G. Tsa'rkov "Suns, moons, and Bo-complete sets in asymmetric spaces", Set-Valued and Variational Analysis 30 (2022), 1233–1245 (Q1) 9. Исследованы вопросы солнечности, аппроксимативной компактности, существования и монотонной линейной связности множеств обобщенных дробно-рациональных функций, в пространствах $L^p$ и $C(Q)$. Приведен ряд примеров, показывающих эффективность используемых в работе соответствующих понятий и теорем. Солнечные свойства множества обобщенных дробно-рациональных функций в~пространстве $C(Q)$ доказываются с использованием нового понятия Bo-полноты множеств: замкнутое множество $M$ называется Bo-полным, если для любых $x\in X$ и $r>0$ условие $M_0:=(\Bo(x,r)\cap M) \ne\emptyset$ влечет, что $\barM_0=(M\cap B(x,r))$. Для доказательства свойств существования наилучшего приближения и обобщенной аппроксимативной компактности множеств обобщенных дробно-рациональных функций в пространствах $C(Q)$ и~$L^p$ вводится новое понятие алгебраической полноты и используется аппарат регулярной сходимости по Дойчу. Полученные результаты дают первое существенное продвижение в классических вопросах приближения дробно-рациональными функциями. Эти результаты опубликованы: A. R. Alimov, I. G. Tsa'rkov, "Solarity and proximinality in generalized rational approximation in spaces C(Q) and L^p", Russ. J. Math. Phys. 29:3 (2022), 291–305 (Q2) 10. Получены порядковые оценки колмогоровских поперечников пересечения произвольного семейства шаров пространств l_p^N (с разными p) в пространстве l_q^N, где n \le N/2. Полученный результат является существенным продвижением в "теории приближения конечномерными шарами". Этот результат опубликован: A. A. Vasil'eva, "Bounds for the Kolmogorov Widths of the Sobolev Weighted Classes with Conditions on the Zero and Highest Derivatives", Russ. J. Math. Phys. 29:2 (2022), 249-279 (Q2) 11. Получены порядковые оценки колмогоровских поперечников весовых функциональных классов с ограничениями на старшую и нулевую производные на областях, удовлетворяющих условию Джона. Этот результат опубликован: A. A. Vasil'eva, "Kolmogorov widths of intersections of finite-dimensional balls", Journal of Complexity, 72 (2022), 101649, 15 pp. (Q1) 12. Для равномерно выпуклых несимметричных пространств рассматриваются вопросы о непустоте пересечения вложенной системы выпуклых ограниченных замкнутых множеств. Изучены вопросы плотности множеств точек существования и аппроксимативной единственности в этих пространствах для случая непустых замкнутых подмножеств. Исследованы задачи существования и устойчивости чебышёвских центров, установлена связь понятия γ-солнца со свойством солнечности и свойством существования. Получены достаточные условия радиальной δ-солнечности. Эти результаты опубликованы: И. Г. Царьков, “Равномерно и локально выпуклые несимметричные пространства”, Матем. сб., 213:10 (2022), 139–166 (Q1) 13. Дается характеризация трехмерных банаховых пространств, в которых любое строгое солнце монотонно линейно связно. Именно, показывается, что в трехмерном пространстве X любое строгое солнце монотонно линейно связно если и только если выполнено одно из следующих двух условий: X гладко или единичная сфера пространства X – цилиндр. В качестве приложения получены новые свойства строгих солнц в таких пространствах. Эти результаты опубликованы: A. R Alimov, “Monotone path-connectedness of strict suns”, Lobachevskii Journal of Mathematics, 43:3 (2022), 519–527.