ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
|
Интеллектуальная Система Тематического Исследования НАукометрических данных |
||
Цели очередного годичного этапа, связь с основной задачей проекта: Общая цель проекта – изучение вопросов изометрических погружений метрик , в первую очередь, вопросы их существования и единственности полученных или данных многоугольников, многогранников и поверхностей при различных предположениях на их свойства. В соответствии с этим в 2011 предполагается продолжить изучение конфигурационных пространств и изгибаний многоугольников при сохранении их индекса, исследование $p$-параметрических многогранников с точки зрения их комбинаторного строения и изгибаемости при малых значениях $p$, изометрические преобразования поверхностей при инвариантности средней кривизны (т.е. вопрос о парах Бонне), явное построение и исследование многочленов объема для некоторых конкретных классов многогранников.
The general aim of the project is a study of problems of isometric immersions of given metrics, in the first place the questions of existence and unicity of obtained or given polygons, polyhedra and surfaces under the different assumptions to their properties. So in 2011 year we suppose to continue the study of configuration spaces and bendings of polygons keeping their index constant, the investigation of p-parametric polyhedra from the point of view of their combinatorial structure and bendability for small values of p, isometric deformations of surfaces with invariant mean curvature, an explicit form of volume polynomials for sme concrete classes of polyhedra.
Ожидаемые в конце 2011 года научные результаты: Предполагается: 1) будут получены некоторые необходимые или достаточные условия для возможности наложения (т.е. с использованием непрерывной и с сохранением длин сторон деформации) данного многоугольника на изометричный ему локально выпуклый многоугольник с параллельным исследованием конфигурационных пространств рассматриваемых многоугольников; 2) будет описано строение комбинаторно 0- или 1-параметрических многогранников при некоторых возможных ограничениях на их топологический род; 3) новые признаки неизгибаемости многогранников; 4) установление существования или отсутствия пар Бонне для новых классов поверхностей; 5) новые интегральные равенства для компактных поверхностей с пустой/непустой границей; 6) новые алгебраические и геометрические свойства многочленов для объема многогранников.
Основной состав коллектива уже давно работает по тематике проекта, поэтому у участников проекта есть несколько десятков статей, посвященных метрической геометрии поверхностей и многогранников. В нижеприводимый список работ членов коллектива мы включили только некоторые статьи за последние 7-8 лет, непосредственно относящиеся к теме проекта. Наиболее интересными среди них нам представляются работы [1] (в которой доказано существование и единственность канонического многочлена для объема многогранников рода 0), [2] (в которой дано алгоритмическое решение вопроса об изометрической реализации разверток в виде многогранников общего положения), [3] (в которой введено понятие p-параметрических многогранников), [6] (в которой дается алгоритм изометрической реализации всех разверток многогранников топологического типа сферы), [7] (в которой дано доказательство отсутствия вложенных изгибаемых многогранников с числом вершин меньше 9), [8] (в которой дано описание однопараметрических многогранников топологического типа сферы). Все эти результаты оригинальны, а методы решения (в основном использование методов синтетической геометрии, теории алгебраческих функций и компьютерной алгебры) не имеют аналогов. Список относящихся к теме проекта работ приводится в тексте заявки
Из результатов, полученных за три года, можно выделить следующие: 1) для C^1-гладких линейчатых поверхностей с локально-евклидовой (л.-е.) метрикой решены две основные проблемы, остававшиеся открытыми с конца 70-х годов: дан аналитический критерий принадлежности C^1-гладкой поверхности классу нормальных развертывающихся поверхностей в смысле Шефеля с описанием их горловой линии и доказано, что такие поверхности являются поверхностями ограниченной внешней кривизны в смысле Погорелова; 2) предложен метод получения новых интегральных равенств для компактных поверхностей, который позволил обобщить формулы Гаусса-Бонне, Минковского, Бляшке и Герглотца и дать короткое доказательство инвариантности интегральной средней кривизны изгибаемой компактной поверхности; 3) дан простой признак изгибаемости изометрических погружений плоского тора в трехмерную сферу; 4) теория изометричных поверхностей с общей средней кривизной (так называемых пар Бонне) распространена на поверхности с минимальной С^2-гладкостью и в этом классе доказано отсутствие пар Бонне для поверхностей рода g= 0 и троек Бонне для поверхностей рода g>0 с получением некоторых необходимых/достаточных признаков отсутствия для них пар Бонне; 5) выведено уравнение, решение которого позволяет найти в круге л.-е. метрику с данной геодезической кривизной края с последующим его применением для конформного отображения круга на заданную область; 6) дана качественная картина разрешимости некорректной краевой задачи Маркушевича с алгоритмом ее решения в случаях ее разрешимости; 7) дано описание комбинаторного строения алгоритмически 0- и 1-параметрических многогранников рода 0 с установлением неизгибаемости некоторых классов вложенных многогранников; 8) доказана неизгибаемость погруженных в R^3 подвесок рода g>0 и погруженных в R^n, n>2, пирамид; 9) доказано равенство нулю коэффициентов при 7-й и 6-й степенях в многочлене для объема октаэдров Брикара 3-го типа и получены формулы алгебраической зависимости длин ребер таких октаэдров; 10) в теории изгибаний плоских многоугольников с самопересечениями начато рассмотрение нового круга задач, связанных с исследованием областей конфигурационного пространства многоугольника с требованием постоянства в этих областях определенных топологических, комбинаторных и метрических характеристик многоугольников (например, сохранение индекса, числа самопересечений, локальной выпуклости и т.д.) и получены примеры для анализа постановки задач. В числе опубликованных работ упомянем монографию [1] и обзорные статьи [5], [10], [11] и [15]
грант РФФИ |
# | Сроки | Название |
3 | 1 января 2011 г.-31 декабря 2011 г. | Метрическая и комбинаторная геометрия кривых, поверхностей и многогранников |
Результаты этапа: |
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".