ИСТИНА

Цель НИР - это проведение фундаментальных исследований в области разработки методов и алгоритмов по следующим основным направлениям. 1. Построение новых разностных схем для дифференциальных уравнений с дробными производными. Актуальность - такие уравнения описывают процессы в средах с фрактальной структурой. Научная значимость - новый подход к построению схем требуемого порядка аппроксимации и к анализу их устойчивости. 2. Разработка новых математических моделей для обратных задач с фазовыми переходами. Актуальность - такие задачи возникают во многих областях, например в теплофизике и механике сплошных сред. Научная значимость - новые подходы к доказательству теорем существования и единственности решений. 3. Развитие ранее предложенного нового численного метода решения обыкновенных дифференциальных уравнений на основе аппроксимаций многочленами наилучшего равномерного приближения. Актуальность - метод предназначен для выполнения высокоточных вычислений для многих прикладных задач, например для задач небесной механики или спутниковой навигации. Научная значимость - применяемый подход позволяет добиться значительного превосходства по сравнению с традиционными методами по вычислительным затратам. 4. Разработка программ по решению обыкновенных дифференциальных уравнений в версиях на языках Фортран, Си и Паскаль с использованием ранее созданных инструментальных средств автоматизации.

The aim of this research work is to perform fundamental studies in the field of development of numerical methods and algorithms to the following main directions. 1. The construction of new difference schemes for fractional differential equations. The actuality of this direction is based on the fact that such equations describe the various processes in anisotropic media. The scientific importance: a new approach is proposed to develop difference schemes of a required approximation order and to analyze their stability. 2. The development of new mathematical models for inverse problems with moving phase boundaries. The actuality is based on the fact that such problems arise in many research fields, for example, in thermophysics and in continuum mechanics with phase transitions. The scientific importance: a new approach is proposed to prove the existence and uniqueness of solutions on the basis of the duality principle. 3. The development of a new numerical method for solving ordinary differential equations on the basis of polynomials of best uniform approximation. The actuality: the method is intended to perform high-precision computations for many applied problems, for example, in the field of celestial mechanics and satellite navigation. The scientific importance: a new approach allows one to achieve significant advantages over the traditional methods in terms of computational cost. 4. The development of new programming tools for automated representation of numerical software from the original programming language to other programming languages. The actuality: such a approach allows one to significantly simplify the portability of numerical software among various computing platforms. The scientific importance: the developed tools are based on context-driven transformations of text information.

Предполагается получить следующие основные результаты. 1. Разработать методы решения дробных эволюционных корректных и некорректных задач. Некорректные задачи предполагается аппроксимировать, используя обобщение метода Бакушинского, предложенного для задач с целой производной. 2. Выполнить анализ устойчивости и дискретной коэрцитивной устойчивости для решений дробных эволюционных уравнений. 3. Разработать алгоритмы для решения дробных полулинейных эволюционных задач и исследовать аппроксимацию устойчивого и неустойчивого многообразий в окрестности гиперболической стационарной точки. 4. Исследовать обратные задачи для дробных уравнений в банаховом пространстве и получить оценки скорости сходимости разностных схем на равномерной и неравномерной сетках в зависимости от гладкости начальных данных и правой части. 5. Доказать однозначную разрешимость в классах Гельдера исследуемых параболических систем общего вида на основе метода Ротэ. Получить априорные оценки для соответствующих нелинейных дифференциально-разностных систем, аппроксимирующих исходные параболические системы и оценить погрешность метода Ротэ (без требований дополнительной гладкости входных данных, которые обычно накладываются методом Ротэ). Установить точные дифференциальные зависимости в математических постановках исследуемых параболических систем.

Последние годы характеризуются интенсификацией исследований по созданию и развитию численных методов и алгоритмов решения задач вычислительной математики, а также по их программной реализации в виде комплексов программ для последующего применения в приложениях. Эффективность применения вычислительной техники в учебном процессе, в научных исследованиях и в других сферах деятельности существенно зависит от того, насколько полно и доступны пользователям ЭВМ адекватные программные средства решения типовых математических и специализированных прикладных задач. Актуальны вопросы организации свободного доступа в рамках сети Интернет к результатам научных исследований, исходным текстам программ, научным публикациям, учебно-методическим материалам, инструментальным программным средствам - все эти компоненты в совокупности образуют научно-образовательные и информационно-вычислительные ресурсы. Особую важность имеет теоретическое исследование задач, связанная с разнообразными прикладными проблемами, такими как интерпретация показаний физических измерительных приборов, геофизических, геологических, астрономических наблюдений, оптимальное управление, исследование структуры химических элементов и их соединений и многие другие. Различные разделы теории этих задач относятся к традиционным разделам численного анализа, таким как теория функций и их приближений, функциональный анализ, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, линейная алгебра и др. К настоящему времени в НИВЦ МГУ получены важные теоретические результаты по решению таких классов задач, нашедшие отражение в большом числе научных публикаций. Выполнен значительный объем работ по программной реализации методов решения задач численного анализа на нескольких алгоритмических языках. Реализованные программные средства и методические материалы помещены в состав Научно-образовательного ресурса НИВЦ МГУ по численному анализу и находятся в свободном доступе в Интернет.

При выполнении этапа 1 предполагается получить следующие основные итоговые результаты. 1. На основе дифференциальных зависимостей между решением и входными данными в нелинейной параболической системе с неизвестным коэффициентом обосновать постановки задач граничного оптимального управления для разных видов финального наблюдения. Установить условия непрерывности и дифференцируемости минимизируемых функционалов через решение сопряженных задач. Доказать однозначную разрешимость сопряженных задач в классе гладких функций и получить явное представление дифференциалов с помощью их решений. 2. На основе дифференциальных зависимостей между решением и входными данными в нелинейной параболической системе с неизвестной функцией источника обосновать постановки обратных задач по определению коэффициента при старшей производной для различных видов дополнительной информации. Доказать применимость метода квазирешений на расширяющихся компактах для построения устойчивых приближенных решений данного класса некорректно поставленных задач. 3. Получить оценки погрешности приближенных решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, представленных в виде частичных сумм смещенных рядов Чебышева. 4. Применить полученные оценки к вычислению решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с наперед заданной точностью. 5. Разработка комплексов программ для решения обыкновенных дифференциальных уравнений методом рядов Чебышева: 1) с заранее заданным разбиением интервала интегрирования на элементарные сегменты; 2) с контролем точности и автоматическим разбиением интервала интегрирования на элементарные сегменты; 3) с использованием различных квадратурных формул Маркова с целью повышения степени эффективности создаваемого математического обеспечения.