ИСТИНА

Проект ставит целью решение нескольких актуальных задач для дифференциальных и общих операторов, которые тесно связаны между собой и в совокупности представляет цельное, масштабное исследование. Основной блок исследований связан с новыми задачами для обыкновенных дифференциальных операторов. Одна из глобальных целей - построение теории обыкновенных дифференциальных операторов (ОДО) с коэффициентами- распределениями (классическая теория работает только с гладкими или суммируемыми коэффициентами). Авторы проекта - родоначальники уже сложившейся теории операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями общего вида. Естественная задача (особенно важная в связи с приложениями для операторов четвертого порядка) - найти условие на коэффициенты - распределения дифференциальных выражений, для которых соответствующие операторы корректно определены, а затем изучить их спектральные свойства

The goal of the project is to solve several actual issues for differential and general operators, which are closely related and together represents a holistic, large-scale study. The main block of research is connected with new problems for ordinary differential operators. One of the global goals is to build the theory of ordinary differential operators (ODOs) with distribution coefficients (the classical theory works only with smooth or summable coefficients). The authors of the project are the founders of the already established theory of Sturm- Liouville operators with distribution potential of arbitrary nature. The natural task (especially important in connection with the applications for operators of the fourth order) is to find the conditions on the distribution coefficients of differential expressions, for which the corresponding operators are correctly defined, and then to study their spectral properties

Проект предполагает исследования по трем крупным направлениям: построению теории ОДО с коэффициентами- распределениями и изучению асимптотических представлений связанных с ОДО, задачам корректного определения операторов с частными производными с коэффициентами-распределениями (что по существу равносильно построению теории мультипликаторов в пространствах типа Соболева с негативным индексом гладкости) и избранным задачам общей теории несамосопряженных операторов, имеющим важные приложения в механике. Конкретная постановка наших задач следующая. 1. Выделить условия на коэффициенты ОДО, замкнутые относительно операции сопряжения, при которых возможно корректное определение соответствующих операторов и возможность их аппроксимации в смысле равномерной резольвентной сходимости классическими ОДО с гладкими коэффициентами. Базовые исследования по этой задаче авторами проекта уже проведены, но по многим элементам (особенно в случае ОДО нечетного порядка) имеется только план доказательства, предстоит выполнить значительную работу для полной подготовки результатов к печати. 2. Получить асимптотические представления для фундаментальных решений резольвентных уравнений ОДО высокого порядка при больших значениях спектрального параметра в канонических областях комплексной плоскости. Получить соответствующие асимптотические представления для фундаментальной матрицы систем первого порядка, ассоциированных с ОДО высокого порядка. Несмотря на более чем 100-летнюю историю этих проблем, асимптотическая теория далека от завершения для случая негладких коэффициентов, тем более коэффициентов-распределений. Достаточно общие результаты в этой теории недавно были получены в рамках предыдущего проекта РНФ и представлены для публикации в «Математический сборник». Однако выявлен только главный член асимптотики, остаток оценен только в форме o(1) при \lambda \to \infty. Ключевой проблемой дальнейшего исследования оказывается выбор функций, контролирующих убывание остатков. Авторы видят, в каком виде надо представить функции, которые контролируют остатки в асимптотических разложениях, чтобы получить квалифицированные оценки остатков в предположении, что коэффициенты дифференциальных выражений принадлежит тем или иным функциональным пространствам. Здесь мы обнаружили красивую связь с теоремами Карлесона-Ханта и ее вариациями для весовых пространств, которые удается применить для наших целей. После построения асимптотической теории мы проведем классификацию краевых задач для ОДО на конечном отрезке. Наиболее важным классом станет класс регулярных и сильно регулярных задач. Для таких задач докажем теоремы о безусловной базисности собственных функций. 3. Получение главного члена асимптотики на бесконечности решений обыкновенных дифференциальных операторов с коэффициентами-распределениями при фиксированных значениях спектрального параметра. Применение полученных формул для нахождения индексов дефекта (фон Неймана и Фредгольма) соответствующих операторов. Ответственный К.А. Мирзоев (с возможным привлечением Н.Н. Конечной). 4. Провести подробные доказательства и опубликовать ранее анонсированные авторами проекта результаты о кривых предельного спектрального графа для несамосопряженных операторов Штурма-Лиувилля с комплексным малым параметров при старшей производной для случая полуоси и оси (для конечного отрезка это сделано). Получить результаты об изменении топологии предельного спектрального графа для PT-симметрических многочленов при вариации коэффициентов многочленов. . 5. Исследование глобальных свойств функций, оценивающих точные значения промежуточных производных, возникающих в задаче о точных контактах вложения. Исследование поведения точек глобального максимума введенных функций. Эта задача является одной из основных при определении точных значений констант вложения. Нахождение точных констант вложения в пространствах Соболева при достаточно общих ограничениях на параметры, определяющие пространства. 6. Получить с помощью спектральной теории ОДО новые формулы для представления некоторых специальных функций интегралами и рядами. 7. Предложить явные алгоритмы восстановления потенциала в обратных задачах Штурма-Лиувилля и Дирака по конечному набору спектральных данных и оценить скорость сходимости при числе данных n \to \infty. 8. Получить точные оценки собственных значений операторов Штурма-Лиувилля для некоторых классов сингулярных и самоподобных весов. Получить формулы следов порядка (-k) для таких операторов и применить их для вычисления первых собственных значений. Ответственные А.М. Савчук и А.С. Иванов. 9. Дать полное описание мультипликаторов для пространств бесселевых потенциалов на торе с негативным индексом гладкости при выполнении определенных условий на показатели гладкости, гельдеровости и размерности пространства. При невыполнении этих условий получить теоремы о точных двусторонних вложениях. Получить первые теоремы о мультипликаторах в пространствах бесселевых потенциалов с весом.

По таким конкретным темам проекта, как корректное определение дифференциальных операторов с коэффициентами-распределениями, восстановление потенциалов в задачах Штурма-Лиувилля и системы Дирака с неклассическим коэффицентами (распределениями) в том числе и по конечному набору спектральных данных, описание пространств мультипликаторов в пространствах Соболева с отрицательным индексом гладкости, члены авторского коллектива были в числе пионеров, инициирующих появление этих тем, а также способствовали их дальнейшему активному развитию. Мультипликаторы для пространств с положительными индексами гладкости исследовались давно, но открытие их важности и изучение для отрицательных индексов было начато в работах Шкаликова и его учеников). По остальным другим темам авторы проекта имеют принципиальные результаты, что подтверждается относительно высоким их цитированием.

1) Рассмотрен одномерный оператор Шрёдингера с растущим на бесконечности потенциалом при наличии квазиклассического малого параметра. В работе А.Ю.Аникина, С.Ю.Доьрохотова и А.А.Шкаликова полученны степенные по малому параметру оценки для остатка разложения гладких и достаточно быстро убывающих функций по точным собственным функциям и по асимптотическим собственным функциям. Для асимптотических представлений собственных функций используется глобальное их представление с помощью функции Эйри. 2) Рассмотрены краевые задачи для уравнений 4-го порядка, порожденные самосопряженными краевыми условиями. Рассмотренные задачи являются обобщениями известных моделей уравнений колебаний балки, стержня и др., возникающих в теории упругости. Ранее отдельно изучались случаи гладких и негладких (разрывных) коэффициентов уравнений. В статье А.А.Владимирова и А.А.Шкаликова результаты получены в общей форме, когда коэффициенты уравнений могут быть даже обобщенными функциями. Основная цель статьи --- прояснить условия, при которых имеется связь между числом нулей решения задачи и индексом инерции соответствующей задачи. Эта связь имеется и подробно изучена для уравнений второго порядка. Известно, что для уравнений четвертого порядка эта связь нарушается, для таких уравнений имеются лишь отдельные результаты частного характера. В статье Вдадимирова и Шкаликова выделен достаточно широкий класс задач, для которых доказано совпадение числа нулей решений с индексом инерции. Кроме того, построены контрпримеры, когда такого совпадения нет. В частности показано, что ряд работ по этой теме (хотя эти работы опубликованы в известных журналах первого квартиля) содержат ошибочные результаты. 3) Изучены спектральные свойства дифференциальных операторов, в представлении которых имеется композиция операторов дифференцирования и инволюции. Пока изучены только дифференциальные операторы первого порядка с инфолюцией. Основной элемент новизны работы состоит в том, что допускаются переменные коэффицикнты-функции в главной части уравнения. Во всех предшествующих работах рассматривались только постоянные коэффициенты, что позволяло использовать стандартные метолы исследования. Выделен класс задач для рассмотренных уравнений и краевых условий, для которых определено понятие регулярности. Доказана теорема о безусловной базисности собственных функций регулярных задач. В случае нарушения условий регулярности построены примеры, когда базисные свойства системы собственных функций нарушаются. Работа опубликована, ее проводили А.А.Шкаликов и аспирант Я.А.Гранильщикова. 4) Изучена задача об асимптотике решений двучленных обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка, а также уравнений высокого порядка, являющихся возмущениями уравнений Эйлера. Допускается, что коэффициенты в слагаемых, являющимися возмущениями, могут быть обобщенными функциями. Это предположение включает случай быстро осциллирующих коэффициентов, изучение которого ранее считалось трудным и проводилось только в частных случаях. Получены эффективные условия на слагаемые—возмущения, гарантирующие сохранение такого же асимптотического поведения решений уравнения при переменной $x\to \infty$, какое имеется для невозмущенного уравнения. . Полученные результаты применены для вычисления индекса дефекта указанных операторов. Работа опубликована, ее проводили К.А.Мирзоев и .А.Шкаликов с привлечением доцента Арктического университета Н.Н.Конечной. 5) А.А.Шкаликовым было введено понятие подчиненных возмущений локального типа. Суть состоит в том, что оценки, выражающие подчинение оператора требуются не на всей области определения невозмущенного оператора, а только на базисных векторах. Такое условие заметно слабее, нежели условия «глобального» подчинения, которые предполагались выполненными в предшествующих исследованиях. В работе В.Н.Сивкина и А.А.Шкаликова получен следуюший результат общего характера. Пусть самосопряженный оператор $T$ имеет порядок $\alpha$, т.е. для его собственных значений выполняются оценки $|\mu_k |\\ geqslant C k^\alpha$, где C=const$. Пусть также оператор – возмущение $B$, таков, что $\|B\varphi_k\| \leqslant b \|mu_k|^p$, где $b= const$, a $p<1$. Тогда при выполнении условия $\alpha^{-1} \leqslant 1-p$ корневые функции возмущенного оператора $T+B$ образуют безусловный базис, возможно, со скобками. 6) Для оператора Штурма-Лиувилля с комплексным степенным потенциалом $cx^\alpha$ доказана полнота его собственных функций в пространстве $L_2(0,+\infty)$ при выполнении условия $|\arg c|<\theta_1(\alpha)$. Из результатов Лидского-Шкаликова-Савчука результат о полноте собственных функций получается при условии $|\arg c|<\theta_0(\alpha) =2\pi\alpha (\alpha+2)^{-1}$. Участнику гранта С.Н.Туманову удалось расширить границу для значений постоянной $c$, показать, что $t_1 > t_0$, и провести оценку разности $t_1 –t_0$ снизу. Статья опубликована в Jour. Differential Equations. 7) Получены формулы для сумм рядов вида $\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{P_n(k)}$, где P_n(x) - произвольный многочлен степени не меньше 2 с вещественными коэффициентами такой, что P_n(k) отличен от 0 при любом целом k. Эти формулы представлены как значения в точке (0,0) функции Грина самосопряжённой задачи, порождённой дифференциальным выражением $l_n[y]=P_n\left( i\frac{d}{dx}\right) y$ и периодическими и анти периодическими граничными условиями. Таким образом, эти суммы непосредственно выражаются через значения легко конструируемых элементарных функций. Результаты получены и опубликованы в 2022 году К.А.Мирзоевым и Т.А.Сафоновой. 8) Найдены новые представления для значений дзета-функции Римана в нечётных точках и родственных с ними чисел и их некоторых линейных комбинаций в виде кратных числовых рядов, в т.ч. в виде рядов типа Морделла-Торнхейма. Результаты получены и опубликованы К.А.Мирзоевым и Т.А.Сафоновой. 9) Найдены представления производящих функций для значений дзета-функции Римана в нечётных точках и родственных с ними чисел в терминах определённых интегралов от тригонометрических функций, зависящих от параметра. В частности, получены новые интегральные представления для дигамма-функции (логарифмической производной от гамма-функции) Эйлера . Возникающие интегралы таковы, что их можно вычислить в терминах гипергеометрических рядов 3F2 и 4F3 при некоторых значениях параметров и z=1. Кроме того, если параметр является правильной рациональной дробью, то они сводятся к интегралам от R(sin x, cos x), где R - дробно-рациональная функция двух переменных, и явно вычисляются. При этом получаются разнообразные аналоги теоремы Гаусса о значениях дигамма-функции Эйлера в рациональных точках и, в частности, новые представления для постоянных Каталана и Апери в виде пределов некоторых числовых последовательностей. Результаты получены и опубликованы К.А.Мирзоевым и Т.А.Сафоновой. 10) Найдены наилучшие константы в оценках производных функций из пространств Соболева с различными краевыми условиями (периодическими, антипериодическими, краевыми условиями четного порядка, краевыми условиями нечетного порядка, а также с краевыми условиями смешанного порядка). Найдены точные константы вложения пространств W^k_\infty[0;1] в W^n_2[0;1] с указанными краевыми условиями. Исследования проводил И.А.Шейпак. Результаты приняты к печати в журнале «Алгебра и анализ». 11) Исследованы многочлены чебышевского типа (многочлены наилучшего приближения), возникающие в предельных одномерных неравенствах Пуанкаре. Эти многочлены наилучшим образом приближают в равномерной метрике сплайны специального вида на отрезке [-1;1]. Установлена связь значений этих многочленов в точках экстремумов с константами вложения в пространствах Соболева. Исследования проводил И.А.Шейпак, результаты опубликованы в журнале «Математические заметки». 12) Изучена задача о восстановлении потенциала с компактным носителем в многомерном уравнении Шредингера по его амплитуде рассеяния при фиксированной энергии. В борновском приближении эта задача сводится к проблеме восстановления фазы потенциала по абсолютному значению его преобразования Фурье на шаре. Для компенсации недостающей фазовой информации используется метод априорно известных фоновых рассеивателей. Предложена итерационная схема для нахождения потенциала по измерениям одного дифференциального сечения рассеяния, соответствующего сумме неизвестного потенциала и известного фонового потенциала. Эффективность предложенных алгоритмов демонстрирована на численных примерах. 13) Дано полное описание пространств мультипликаторов на торе $\mathbb T^n$ в $n$-мерном пространстве. Пусть $M_{s,p,t,q}$ -- пространства мультипликаторов из пространства бесселевых потенциалов $H_^s_p (\mathbb T^n) $ в пространство $H_^{-t}_q (\mathbb T^n) $. Тогда справедлив следующий важный результат, дающий полное описание пространства мультипликаторов при выполнении условий Соболева на индексы: Пусть $M_{s,p,t,q} = H_^s_p (\mathbb T^n)\cap H_^{-t}_q (\mathbb T^n) $. Условие Соболева н индексы состоит в выполнении следующих двух неравенств:$p\leqslant q’, s-\frac np \geqslant \frac n{q’}$. Исследования проводили А.А.Шкаликов и А.А.Беляев. 14) Проведено исследование спектральных свойств краевой задачи с условиями Дирихле, являющейся моделью колебания сингулярной струны. Плотность массы (весовая функция уравнения) является обобщенной производной n-звенной кусочно-постоянной самоподобной функции P. Параметры самоподобия функции P таковы, что обобщенная производная P' является мультипликатором в пространство Соболева с отрицательным показателем гладкости. Участниками гранта И.А.Шейпаком и Е.Б.Шаровым установлена связь таких задач с матрицами Якоби и обнаружен интересный эффект: в случае некомпактности мультипликатора матрица Якоби становится периодической, что позволяет сказать существенно больше о спектральных свойствах задачи для струны. Выделены два случая: 1) если функция P не убывает, то периодическая матрица Якоби порождает самосопряженный оператор в пространстве последовательностей; 2) если же функция P не является монотонной, то матрица Якоби является симметричной, при этом элементы матрицы, стоящие на диагоналях, соседних с главной, являются чисто мнимыми. Для первого случая показано, что спектр состоит из не более чем (n-1) отрезка непрерывного спектра, в лакунах которого может быть не более (n-2) собственного значения (не более одного в каждой лакуне. Для второго случая показано, что спектр состоит из не более чем (n-1) дуг непрерывного спектра, лежащих в комплексной плоскости и не более (n-2) собственного значения. Есть гипотеза, что и во втором случае спектр сингулярной струны будет вещественным, но это предположение требует дополнительных исследований.