Математические вычислительные технологии в задачах прикладной математикиНИР

Mathematical computational technologies in problems of applied mathematics

Соисполнители НИР

МГУ имени М.В.Ломоносова Координатор

Источник финансирования НИР

госбюджет, раздел 0706 (для тем по госзаданию)

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2021 г.-31 декабря 2021 г. Математические вычислительные технологии в задачах прикладной математики.
Результаты этапа: В 2021 году опубликовано 10 статей (в т. ч. 8 работ индексируемых WoS/Scopus и 2 работы в журналах из списка ВАК). Сделано 11 докладов на всероссийских и международных конференциях. 1) Предложена новая численная схема для приближенного решения уравнений переноса с учетом агрегации, позволяющая в некоторых случаях значительно ускорить расчёты при умеренном снижении точности расчетов. Метод основан на сочетании схемы оценки оператора быстрой агрегации на основе низкоранговой декомпозиции ядра и методов редукции модели; Выполнена демонстрация возможности выполнять вычисления непосредственно в сокращенном виде, без восстановления полного решение. Для уравнений агрегации с циклическими решениями получен алгоритм построения подпространства (характеризуемого своим базисом) на основе известного в литературе метода «снимков». В предлагаемом алгоритме базис строится путём по- следовательного приближения решения на небольших «окнах», на которые разбивается весь рассматриваемый временной интервал. При этом искомый момент времени T не закладывается в алгоритм изначально, а обнаруживается самим алгоритмом на основе наблюдаемой точности аппроксимации 2) Разработана общая математическую модель анализа эволюционной динамики вирусов в пространстве генотипов. Модель, сформулированная с помощью уравнений нелокальной задержки реакции-диффузии, рассматривает вирусную эволюцию внутри инфицированного хозяина под воздействием мутаций, конкуренции клеток-мишеней, перекрестных иммунных ответов и противовирусного лечения. Представлена единая математическая основа, которая позволяет оценивать и прогнозировать влияние ряда процессов на генетические изменения во время вирусных инфекций. Эта работа способствует быстро развивающейся области приложений нелокальных уравнений реакции-диффузии в теории эволюции, экологии, моделировании рака и т. д., А также их математического анализа и нелинейной динамики. 3) Приведен обзор современных методов визуализации искусственных нейронных сетей, включающий методы максимизации активации, атрибуции и визуализации функционала потерь. Кроме непосредственного обзора ключевых алгоритмов для каждой подзадачи визуали- зации, в работе построен подробный перечень релевантных программных пакетов с практиче- скими реализациями алгоритмов и рассмотрены уже представленные в литературе обзорные работы. Как следует из проведенного анализа алгоритмов, программного обеспечения и обзорных работ, научное направление, связанное с визуализацией искусственных нейронных сетей, на сегодняшний день является актуальным и бурно развивающимся. При этом существует ряд потенциальных новых приложений данной методологии в современных задачах по исследованию естественных нейронных сетей и формированию в них памяти и специализации нейронов. 4) Рассмотрен вопрос о существовании гиперсингулярного интеграла на отрезке с особенностью произвольного целого порядка. Показана эквивалентность способов введения гиперсингулярного интеграла в смысле конечной части по Адамару и на основе формального внесения под знак интеграла производной по параметру от сингулярного интеграла Коши, понимаемого в смысле главного значения. Сформулированы достаточные условия существования таких интегралов.
2 1 января 2022 г.-31 декабря 2022 г. Математические вычислительные технологии в задачах прикладной математики.
Результаты этапа: В 2022 году опубликованы 10 статей (в т. ч. 7 работ индексируемых WoS/Scopus и 2 работы в журналах из списка ВАК). Сделаны 10 докладов на всероссийских и международных конференциях. В частности получены следующие основные важные результаты: (1) Аналитически и численно исследован процесс агломерации частиц, возникающие при адвекции и локализованном источнике. Система неоднородна в одном измерении, а именно в направлении адвекции. Процесс характеризуется кинетическими коэффициентами — скоростью адвекции, коэффициентом диффузии и ядром реакции, количественно характеризующим скорость агрегации. Проанализирована упрощенную модель с независимой от массы скоростью адвекции, коэффициентом диффузии и скоростью реакции. Также исследована модель с коэффициентами, зависящими от массы, возникающими в контексте агрегации с седиментацией. Для квазистационарного случая и упрощенной модели получено точное решение для пространственно зависимых плотностей агломератов. Для случая коэффициентов, зависящих от массы, получены новый закон сохранения и теория масштабирования для концентраций частиц различных размеров. Для эффективных вычислений использовались малоранговые матричные аппроксимации, позволяющие моделировать очень большие системы. Численные результаты прекрасно согласуются с предсказаниями полученной теории. (2) С базовых позиций исследованы два основных метода прямого моделирования Монте-Карло для моделирования кинетики агрегации и получено их обобщение для процессов агрегации с фрагментацией (разрушением) при столкновении. Исследованы производительность и точность расширенных методов в сравнении с известным эффективным детерминированным методом конечных разностей, примененным к той же модели. Стохастические методы провалидированы на тестовых задачах и использованы для проверки существования колебательных режимов в кинетике агрегации-фрагментации, недавно обнаруженных в детерминистическом моделировании. Подтверждено возникновение стационарных колебаний плотности в таких системах и продемонстрирована устойчивость колебаний по отношению к флуктуациям и шумам. (3) Развит численный метод решения трехмерных задач фильтрации и абсорбции жидкости в кусочно-однородной среде с помощью граничных интегральных уравнений. Этот метод применяется для моделирования лимфотока в лимфатическом узле. Лимфатический узел рассматривается как кусочно-однородный домен, содержащий пористую среду. Лимфоток описывается законом Дарси. С учетом абсорбции лимфы предложено интегральное представление для полей скорости и давления, где абсорбция лимфы имитирует отток лимфы из лимфатического узла через систему капилляров. Исходная задача сводится к системе граничных интегральных уравнений и дается численный алгоритм решения этой системы. Проведено моделирование для скорости и давления лимфы, а также общий лимфатический поток. Метод проверен сравнением с экспериментальными данными.
3 1 января 2023 г.-31 декабря 2023 г. Математические вычислительные технологии в задачах прикладной математики.
Результаты этапа: Основные исследования велись по 4 направлениям: 1) Исследование возможностей использования тензорных разложяний для сжатия видеоданных 2) Исследовались свойства среднего времени существования конечных систем агрегирующих кластеров. 3) Приложения методов вариационного усвоения данных. 4) Применения и обоснования численных методов на основе интегральных уравнений для решения задач математической физики. Всего в рамках НИР опубликовано 13 публикаций, из них 11 индексируются системами WoS/Scopus, 1 входит в список RSCI и ещё 1 работа опубликована в рецензируемых трудах конференции Графикон 2023. Среди опубликованных работ 4 опубликованы в высокорейтинговых журналах первого квартиля списка WoS или Scopus. В 2023 году сотрудники кафедры ВТМ приняли участие в организации секций конференций "Ломоносовские чтения 2023" и "Тихоновские чтения 2023", на которых были представлены доклады о результатах работы над НИР.
4 1 января 2024 г.-31 декабря 2024 г. Математические вычислительные технологии в задачах прикладной математики.
Результаты этапа: Основные исследования велись по 4 направлениям: 1) Исследование возможностей методов построения тензорных разложений с учётом неотрицательности данных 2) Исследовались возможности применения адаптивных шагов по времени в схемах интегрирования для численного решения кинетических уравнений агрегации. 3) Приложения методов вариационного усвоения данных. 4) Применения и обоснования численных методов на основе интегральных уравнений для решения задач математической физики. Всего в рамках НИР опубликовано 10 статуей, индексируемых системами WoS/Scopus. Подготовлено учебно-методическое пособие "Алгебраические вычисления, тензоры и оптимизация", Среди опубликованных работ 6 опубликованы в журналах первого и второгой квартилей списков WoS/Scopus. В 2024 году сотрудники кафедры ВТМ приняли участие в организации секций конференций "Ломоносовские чтения 2024" и "Тихоновские чтения 2024", организована международная школа-конференция по тензорны методам в математике и задачах ИИ, на которых были представлены доклады о результатах работы над НИР.
5 1 января 2025 г.-31 декабря 2025 г. Математические вычислительные технологии в задачах прикладной математики.
Результаты этапа: Среди опубликованных работ 6 опубликованы в журналах первого и второго уровней Белого Списка научных журналов. В 2025 году сотрудники кафедры ВТМ приняли участие в организации секций конференций "Ломоносовские чтения 2025" и "Тихоновские чтения 2025", организована вторая международная школа-конференция по тензорны методам в математике и задачах ИИ, на которых были представлены доклады о результатах работы над НИР. В 2025 году опубликован учебник Е. Е. Тыртышникова " Матричный анализ и основы алгебры". Кроме того работы велись по четырем направлениям: (1) предложен быстрый численный метод для задачи о восстановлении функции источника в уравнении коагуляции-дробления Смолуховского. Новый метод основан на более ранней работе с более подробным изложением перехода от уравнения коагуляции-дробления к итоговой системе вариационных уравнений и итерационному процессу. В итерационный процесс внедрены алгоритмы на основе матриц малого ранга для снижения сложности вычислений каждой итерации. Использование предлагаемой методологии на практике позволяет ускорить вычисления в тысячи раз без потери точности исходного алгоритма. (2) Представлено блочное расширение обобщенного метода минимальных невязок (GMRES) с новой технологией редукции блока. В отличие от известных на данный момент методов, блок может быть редуцирован не только, когда он выродился, но и при сходимости части невязок с требуемой точностью или в случае, когда невязки становятся линейно зависимы с заданной точностью. Кроме того, метод позволяет продолжать процесс при добавлении новых правых частей. При этом после редукций блока и добавления новых правых частей метод сохраняет компактную форму и низкую сложность. Это позволяет его использовать в случае, когда не все правые части известны заранее. Численные эксперименты подтверждают высокую эффективность метода по сравнению с неблочным расширением GMRES и наивным блочным его обобщением. (3) Предложено расширение малорангового алгоритма Монте-Карло для моделирования процесса агрегации с несколькими источниками частиц. Эта реализация использует малоранговую структуру ядра коагуляции и сокращает количество операций по выбору пар коагулирующих частиц. Подход не требует, чтобы само ядро ​​было малоранговым или имело такое приближение. Вместо этого достаточно использовать вспомогательное малоранговое ядро ​​в качестве мажорантной функции. Сходимость нового метода исследована с использованием известных теоретических решений, дополнительно показано согласие численных распределений размеров частиц с результатами, полученными детерминированным численным методом. (4) Рассмотрены алгоритмы решения задач рассеяния электромагнитных волн в частотной области с применением метода интегральных уравнений, а также с применением модели физической оптики, учитывающей переотражение волн. И в том и в другом случае основные вычислительные затраты как с точки зрения времени расчета, так и с точки зрения потребной машинной памяти связаны с хранением плотных матриц взаимодействия дискретных элементов и выполнением операций с этими матрицами. Анализируются особенности применения метода мозаично-скелетонных аппроксимаций к таким матрицам и возможности этого метода в данном классе задач.

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".

Прикрепленные файлы

№ Имя Описание Имя файла Размер Добавлен