Разработка теории и программного обеспечения для задач вычислительной математики и ее приложенийНИР

Development of the theory and software for problems of computational mathematics and its applications

Источник финансирования НИР

госбюджет, раздел 0110 (для тем по госзаданию)

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2021 г.-31 декабря 2021 г. Разработка теории и программного обеспечения для задач вычислительной математики и ее приложений
Результаты этапа: Развитие техники и технологии приводит к необходимости использования более точных и сложных математических моделей и, как следствие, необходимости решения новых и всё более математически и вычислительно сложных оптимизационных задач. В задаче управления подвижными объектами в конфликтной среде решена задача оптимизации траектории выведения космического аппарата с опорной на целевую орбиту со сбросом дополнительного топливного бака и разгонного блока в атмосферу. Разработан алгоритм построения оптимальной траектории уклоняющегося объекта при интервальном ограничении на модуль скорости в задаче уклонения от обнаружения по гидроакустическому полю. Даны новые постановки задач оптимального управления по критерию скрытности, разработаны алгоритмы и программные модули для решения этих задач. В настоящее время управление космическим аппаратом посредством только реактивных двигателей большой тяги (БТ) не позволяет доставить к планете-цели удовлетворительную массу полезного груза. Использование же лишь двигателей малой тяги (МТ) позволяет доставить массу полезного груза, значительную по сравнению с аппаратом, управляемым одними только двигателями БТ. Но при этом время ухода космического аппарата от Земли и торможения у планеты–цели становится велико, может составить большую часть времени перелёта и стать критическим в смысле отказоустойчивости всей системы. Использование на космическом аппарате комбинации двигателей большой и малой тяги сочетает в себе достоинства как манёвров с БТ (малое время перелёта), так и манёвров с МТ (большая масса полезной нагрузки), позволяет избежать вышеуказанных недостатков и в итоге реализовать доставку необходимой полезной массы за приемлемое время. Разрабатываемая методика может найти применение при дальнейшем освоении Солнечной системе, основанным на перспективной экономически целесообразной комбинированной тяге космических аппаратов. В 2021 году завершен очередной этап работы по решению задач оптимизации траекторий экспедиции к Фобосу с последовательным управлением космического аппарата двигателями большой и малой тяги. Продолжено исследование задачи выведения спутника на целевую орбиту со сбросом дополнительного топливного бака и разгонного блока в атмосферу. Решена задача перелёта с управлением КА двигателем большой тяги. Для системы $\Sigma$ обобщенных однородных уравнений от нескольких переменных в малых коразмерностях получены точные полиномиальные оценки. Так, в коразмерности 2 обобщенная типовая размерность не превышает квадрата суммы максимальных порядков системы $\Sigma$ (по каждой однородной переменной), причем найден пример, где эта оценка достигается. В общем случае для однородного идеала оценка обобщенной типовой размерности дважды экспоненциальная по $\tau$ (где $\tau$ -- коразмерность идеала, $e$ -- максимальный порядок входящих в $\Sigma$ уравнений): $O(e^{2^{\tau-1}})$. Доказана верхняя оценка старшего коэффициента характеристического многочлена градуированного идеала кольца обобщенных многочленов. Рассматриваемые задачи относятся, с одной стороны, к классическим нерешенным проблемам дифференциальной алгебры, а с другой стороны к компьютерной алгебре и представляют интерес в связи с открытием ряда алгоритмов, реализованных в программном коде, позволяющем проверять многие гипотезы. В настоящее время для задачи распознавания диффракционных картин активно используются последние достижения в области компьютерного зрения. Наиболее часто для задач классификации применяются свёрточные нейронные сети. Построены нейронные сети типа VGG и Residual и было произведено сравнение их эффективности в задачах классификации дифракционных изображений белка. Как правило, большинство свёрточных нейронных сетей состоит из 2 частей: из части для выделения признаков и из классификатора, причём основные отличия находятся в части для выделения признаков. Создан эффективный алгоритм проверки существования n-подквазигрупп. На данный момент на основе конечных квазигрупп построено значительное количество шифров, хэш-функций, алгоритмов электронной подписи и других криптографических примитивов. Также интересны и структуры более высокой арности - n-квазигруппы при n>2. Одним из криптографически важных свойств n-квазигрупп является `бедная' структура n-подквазигрупп (подмножеств, сохраняемых n-квазигрупповой операцией). Наличие нетривиальных n-подквазигрупп нежелательно, так как может привести к вырождению операции с всего универсума на универсум n-подквазигруппы. При этом, в ряде случаев n-подквазигруппы порядка 1, т.е. `неподвижные точки', считаются допустимыми.В работе П.~И.~Собянина, `Об алгоритме проверки наличия подквазигруппы в квазигруппе' (Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 23. 2019. с. 79–84) предложен прямой алгоритм проверки существования подквазигрупп с помощью построения замыканий всех элементов квазигруппы. В работах членов НИР - Доклад `Deciding cryptographically important properties of finite quasigroups' (Устный). Авторы: Galatenko A.V., Pankratiev A.E., Staroverov V.M. 4th international Moscow conference “Computer Algebra” CCAS 2021, Moscow, Россия, 28-29 июня 2021. - Галатенко А.В., Панкратьев А.Е., Староверов В.М. `Эффективность проверки существования n-подквазигрупп' в журнале Интеллектуальные системы. Теория и приложения (ISSN 2075-9460), издательство [б.и.] (М.), 2021. том 25, № 4, с. 104-107 предлагается эффективный алгоритм проверки существования n-подквазигрупп на основе понятия `система представителей'. Основной идеей алгоритма является проверка существования нетривиального замыкания только для определенных отдельных элементов n-квазигрппы (для системы представителей), что является достаточным для решения поставленной задачи. Доказываются теоремы о корректности алгоритма, о времени работы построенного алгоритма и о его пространственной сложности. Результаты численных экспериментов подтверждают эффективность предложенного подхода. Разработаны подпрограммы на C++ для численного моделирования фильтрационной задачи при высоких скоростях потока с отклонением от закона Дарси. Разработаны подпрограммы на C++ для численного моделирования поверхностных сетей сбора продукции с учетом температурных эффектов. Разработаны подпрограммы на C++ для численного выделения горизонтов и разломов по сейсмическим данным с помощью машинного обучения. Проведено исследования оптимальных параметров алгоритмов. Продолжена зазработка методов построения геолого-гидродинамических модели на системах с распределенной памятью. Исследованы методы построения сетки с разломами, методы дискретной интерполяция и фациального анализа. Методы реализованы в виде библиотек на С++. Предложены методы проведения многовариантных расчетов геолого-гидродинамических моделей на системах с распределенной памятью. Методы реализованы в виде библиотек на С++. В задаче прогнозирования физико-химических свойств М-графов (молекулярных графов) построены индивидуальные нейронные сети для трех-четырех обучающих выборок химических структур, обладающих биологической активностью, с высокой прогностической способностью. Разработана методики дизайна архитектуры нейронных сетей на RBF-нейронах для реализации обобщенных деревьев решений в задаче «структура-свойство» и ее практическая проверка. Практическая значимость – нейронные сети с высокой предсказательной способностью могут быть обучены на выборках небольшого объема, что крайне важно на практике при поиске количественных корреляций структура--активность (QSAR). Для моделирования колебаний холодной плазмы с учетом электрон-ионных соударений в нерелятивистском случае предложены и обоснованы алгоритмы высокой точности. Высокая точность достигается как за счет использования аналитических решений на траекториях частиц, так и за счет достаточной гладкости решения при численном интегрировании задач Коши. В качестве практического приложения проведено моделирование известного эффекта опрокидывания многопериодных релятивистских колебаний. Показано, что при увеличении коэффициента соударений наблюдается замедление процесса опрокидывания вплоть до его полной ликвидации. Аналитически и численно исследовано влияние неоднородности плотности на опрокидывание ленгмюровских колебаний плазмы в плоской одномерной геометрии. Показано, что опрокидывание ленгмюровских колебаний в неоднородной плазме происходит в результате образования, быстрого нарастания и обращения в бесконечность максимума плотности электронов, расположенного вне плоскости, относительно которой осциллируют электроны. Исследована зависимость времени опрокидывания ленгмюровских колебаний от размера неоднородности плазмы и показано, что опрокидывание происходит тем быстрее, чем больше градиент плотности и напряженность начального электрического поля. Для моделирования колебаний холодной плазмы как в нерелятивистском случае, так и с учетом релятивизма, предложены и обоснованы численные алгоритмы высокой точности. Спецификой подхода является использование лагранжевых переменных для приближенного решения задачи, сформулированной изначально в эйлеровых переменных. Основной результат представлен теоремами о сходимости предложенных алгоритмов относительно малых параметров дискретизации независимых эйлеровых переменных. Численные эксперименты наглядно иллюстрируют полученные теоретические результаты. В частности, проведено моделирование известного эффекта опрокидывания плазменных колебаний и подтверждено, что он имеет характер градиентной катастрофы. Цифровая образовательная платформа (ЦОП) объединяет широкий диапазон самых разных возможностей, интегрируя в себе не только разнообразные педагогические программные продукты, цифровые образовательные среды (ЦОС), системы и комплексы, но и является многофункциональной системой для автоматизации управления всем учебным процессом. ЦОП является современным образовательным решением, прорывным развитием МООК систем применением гибридных методов обучения и динамических образовательных траекторий. Мировые тенденции в области цифровизации образования требуют переноса существенной доли образовательного процесса в цифровые образовательные среды с автоматической проверкой выполненных слушателями заданий. Обратная сторона автоматической верификации – это использование обучающимися чужих решений в своих ответах, выдавая их за свои. Рассмотрена задача автоматической и полуавтоматической детекции заимствований на примере сдачи решений в практикумах по программированию. В качестве подхода к исследованию был выбран путь построения предиктивных моделей вероятности заимствования. Были проведены исследования применимости методов глубинного машинного обучения к решению задачи выявления заимствования,а также рассмотрен ряд эвристических методик, призванных улучшить точность и расширить рамки использования построенных глубоких моделей. Цифровая экономика ставит широкий круг задач перед производством, наукой, образованием и другими областями деятельности человека. Особое внимание уделяется цифровой трансформации образования, при которой происходят глубинные преобразования учебного процесса, внедряются гибридные формы обучения, при которой упор делается на использование предметных цифровых образовательных сред. Цифровое управление университетом не может полностью интегрировать цифровые образовательные среды в образовательный процесс. Для этого требуется создавать отдельные образовательные платформы, которые включают межпредметные связи различных цифровых образовательных сред в единый образовательный процесс.Рассмотрены вопросы и методы интеграции различных цифровых образовательных сред в образовательную платформу Мирера с сохранением и возможным расширением функционала, доступного для студентов и преподавателей. Приводятся и разбираются примеры подключения образовательных систем с их особенностями и функциональными возможностями.
2 1 января 2022 г.-31 декабря 2022 г. Разработка теории и программного обеспечения для задач вычислительной математики и ее приложений
Результаты этапа: В задаче моделирования холожной плазмы исследовано влияние внешнего магнитного поля на нерелятивистские цилиндрические плазменные колебания. С целью численного моделирования нелинейной волны построена схема метода конечных разностей второго порядка точности типа Мак-Кормака. Показано, что при учете внешнего магнитного поля ленгмюровские колебания трансформируются в медленную необыкновенную волну. Аналитически и численно исследовано влияние внешнего постоянного магнитного поля на плоские нерелятивистские плазменные верхнегибридные колебания. Получены необходимые и достаточные условия для существования гладкого решения задачи. Проанализированы различные подклассы решений задачи, на которых допускается редукция числа уравнений. Построены вычислительные алгоритмы в лагранжевых и эйлеровых переменных. Построена математическая модель влияния аксиального тока в плазме на цилиндрические нерелятивистские нелинейные колебания. Результатом согласованного взаимодействия электромагнитных полей и частиц является трансформация плазменных колебаний в нелинейную бегущую волну. Для инициализации плазменных колебаний предложен метод построения недостающих начальных условий на основе решения линейной задачи в виде интегралов Фурье- Бесселя. С помощью схемы метода конечных разностей второго порядка точности проведено численное моделирование бегущей волны. Показано, что скорость волны увеличивается с ростом силы тока, что способствует выносу энергии из первоначальной области локализации колебаний. Исследованы нестационарные уравнения неклассической теории функционально-градиентных оболочек. Для некоторых типов начально-краевых условий решение задачи выписано в явном виде методом Фурье, а энергетическим методом доказаны априорные оценки. Аналогичные результаты получены для стандартных разностных схем. Для линейной системы уравнений в частных производных, приближенно описывающей для нестационарного вязкого баротропного газа динамику малых возмущений в окрестности состояния покоя получено аналитическое представление решения, исследована асимптотика скорости выхода на стационар. Для уравнение типа Бюргерса с полиномиальной нелинейностью и нулевыми краевыми условиями предложен комбинированный итерационный алгоритм аппроксимации устойчивого многообразия, начальное приближение для которого строится аналитическим методом и имеет квадратичную точность. Для решения задачи космодинамики в обозначенной постановке была разработана методика с использованием следующих методов: поэтапное решение задач в постепенно усложняющейся постановке, продолжение решения по параметру, решение систем линейных и нелинейных уравнений, численное интегрирование и дифференцирование, метод стрельбы, градиентные методы, принцип Лагранжа, принцип максимума Понтрягина. Установлен аналог классической теоремы Банаха--Мазура об универсальности пространств C C[0,1] и [0,1]^a для несимметрично нормированных пространств и пространств с несимметричной метрикой. Введено новое понятие алгебраической полноты для различных классов обобщенных дробно-рациональных функций в пространствах $C(Q)$ и $L^p(Q)$. Основываясь на этом понятии, получены серьезные продвижения в вопросах существовании и единственности обобщенного дробно-рационального приближения, устойчивости и монотонной связности в задачах обобщенной дробно-рациональной аппроксимации, получены приложения к задачам вычислительной математики. Получено описание трехмерных банаховых пространств, в которых любое строгое солнце монотонно линейно связно, Для вязкого теплопроводного газа в случае двух пространственных переменных была построена новая неявная разностная схема. Алгоритм схемы является последовательным: на очередном временном слое сначала ищутся сеточные функции плотности и скорости как решения одной СЛАУ, а затем ищется сеточная функция температуры. Разностное решение всегда существует и единственно. Было проведено сравнение двух неявных разностных схем для вязкого баротропного газа. Первая схема аппроксимирует систему дифференциальных уравнений, записанную для функций плотности и скорости, а вторая для логарифма плотности и скорости. Проведенные численные эксперименты показали работоспособность предложенного алгоритма. Разработаны подпрограммы на C++ для асинхронной параллельной записи результатов для процесса решения систем нестационарных дифференциальных уравнений в частных производных на кластерных системах. Равершена разработка подпрограммы на C++ для численного вычисления сейсмической инверсии с помощью машинного обучения. Продолжена разработка методов построения геолого-гидродинамических модели на системах с распределенной памятью. Планируется исследовать и реализовать на С++ методы создания локальных измельчений расчетной сетки, методы построения трехмерных сеток и расчета компонент связности свойств на сетках. Методы реализованы в виде библиотек на С++. Разработаны подпрограммы на C++ для моделирования геологических тел (построение поверхностей тел и создание аппроксимирующих сеток). Реализованы на С++ алгоритмы построения преобразования, выпрямляющего пространство на момент осадконакопления, для построения структурной модели, как этап построения геологической сетки. Предложен численный метод решения системы граничных интегральных уравнений плоской теории упругости в областях с кусочно-аналитической границей и конечным числом угловых точек, основанный на применении семейства составных квадратурных формул на сгущающихся сетках. Доказана экспоненциальная скорость сходимости метода относительно числа узлов применяемой квадратурной формулы. Рассмотрена первая краевая задача плоской теории упругости в области с коечным числом угловых точек. Задаче поставлена в соответствие система граничных интегральных уравнений теории потенциала. Был исследован вопрос об эффективном вычислении приближенного решения исходной краевой задачи на основе приближенного решения системы граничных интегральных уравнений. Развитие техники и технологии приводит к необходимости использования более точных и сложных математических моделей и, как следствие, необходимости решения новых и всё более математически и вычислительно сложных оптимизационных задач. В 2022 году продолжалось исследование численных методов решения оптимизационных задач и, в частности, траекторных задач оптимизации перелетов космических аппаратов. Было продолжено исследование задачи выведения спутника на целевую орбиту со сбросом дополнительного топливного бака и разгонного блока в атмосферу. Решена задача перелёта с управлением КА двигателем большой тяги и проведены параметрические исследования. Также в 2022 году был завершён основной этап проекта ext-value, реализующего технологию численно-аналитического дифференцирования - одного из вариантов автоматического дифференцирования. Проект реализован в виде включаемого файла С++ и выложен в открытый доступ для свободного использования.
3 1 января 2023 г.-31 декабря 2023 г. Разработка теории и программного обеспечения для задач вычислительной математики и ее приложений
Результаты этапа: Исследования по теории и численному анализу уравнений холодной плазмы весьма актуальны и вызывают интерес в мировом научном сообществе. Предполагается продолжить работу в этом направлении, используя аналитические, асимптотические и численные методы. Предложены новые методы расчёта для задачи двухфазного течения и для упруго-пластической задачи. Проведена серия расчётов на реальных объектах. Решена задача по численному моделированию двухфазных течений и решена упруго-пластическая задача с внешними силами, возникающими в результате фильтрации. Оценки для коэффициента искусственной вязкости позволят построить схему с переменным коэффициентом, в зависимости от гладкости получаемого сеточного решения, существенно не искажающую точное решение. Полученные результаты являются основой для решения задач глобальной стабилизации неустойчивого течения Куэтта, а также аппроксимации глобального аттрактора соответствующей полудинамической системы. Предложена новая математическая модель динамики SARS-CoV-2 in vitro, которая включает в себя явное моделирование внутриклеточных событий, таких как истощение клеточных ресурсов, необходимых для производства вируса. Модель также явно учитывает врожденный иммунный ответ. Получен ряд новых результатов геометрической теории приближений в несимметрично нормированных пространствах непрерывных функций с несимметричным весом. Получен ряд свойств, характеризующих строгие протосолнца (множества Колмогорова) в таких пространствах. Исследованы классические задачи max-аппроксимации в нормированных и несимметрично нормированных пространствах. Впервые изучены задачи max-аппроксимации для не обязательно замкнутых множеств в симметричных и несимметричных пространствах. B частности, доказано max-$\delta$-солнечность множества $M$,обладающего непрерывной выборкой из оператора почти max-наилучшего приближения в симметричных и несимметричных пространствах. Все полученные результаты являются новыми, соответствуют мировому уровню и дают новый аппарат в изучении аппроксимации абстрактных и конкретных множеств с приложениями к задачам вычислительной математике, нелинейному анализу, теории многозначных отображений и ряду задач естествознания. Решен ряд актуальных задач геометрической теории приближений.
4 1 января 2024 г.-31 декабря 2024 г. Разработка теории и программного обеспечения для задач вычислительной математики и ее приложений
Результаты этапа: Предложен оригинальный способ оптимизации вычислений при моделировании опрокидывания плазменных колебаний. Способ носит комбинированный характер. Предложена тестовая задача для известного "`метода частиц в ячейке"' (PIC), позволяющая отслеживать индивидуальные погрешности на каждом этапе вычислительной реализации метода. Построена тестовая задача, моделирующая нелинейные ленгмюровских колебания, возбуждаемые коротким мощным лазерным импульсом. Для различных вариантов метода "`частиц-в-ячейке"' (PIC) получены аналитические оценки погрешности, возникающей при сборке заряда от макрочастиц в центры ячеек. Для кинетической модели плазмы, базирующейся на уравнениях Власова -- Ампера, построена новая неявная разностная схема. Новизна заключается в вычислительной эффективности, как у явной схемы (т.е. без использования итераций), при наличии безусловной устойчивости, как у неявной схемы. Полученные результаты в направлении семантической сегментации в 94.84 % по метрике IoU с высокой скоростью работы гарантируют качественное построение сегментационных масок. Это в дальнейшем позволит строить точную карту местности, необходимую для полноценной навигации мобильного автономного робота. Для построения карты местности возможно использование сочетания таких методов как SLAM и глубокого обучения с подкреплением. Для линейных уравнений гипотеза Жане совпадает с обобщенной гипотезой Жане и доказана Д.Джонсоном (1978). Для нелинейных УЧП гипотеза Жане остается открытой. Хотя, как теперь доказано, для них не выполняется обобщенная гипотеза Жане, неизвестно, выполняется ли обобщенная гипотеза Жане, если в ее формулировке степень размерностного многочлена компоненты пересечения допустить равным m-2. Все полученные результаты в области геометрические свойства чебышёвских множеств являются новыми, соответствуют мировому уровню и дают новый аппарат в изучении аппроксимации абстрактных и конкретных множеств с приложениями к задачам вычислительной математике, нелинейному анализу, теории многозначных отображений и задачам естествознания. Решен ряд актуальных задач теории приближений, получены приложения об устойчивости min- и max-приближения, важные для вычислительной математики. Решена задача по численному моделированию двухфазных течений и решена задача по численному моделированию конверсии метана водяным паром. Полученные результаты по глобальной стабилизации являются основой для решения задач неустойчивого течения Куэтта, а также аппроксимации глобального аттрактора соответствующей полудинамической системы. Результаты исследований по приближенному нахождению максимального бруса представлены на пленарном докладе на IV Всероссийской конференции с международным участием Математика в медицине. Новосибирск. 1-4 декабря 2024г. Полученные результаты позволили успешно решать описанные прикладные задачи. Направления дальнейших исследований связаны прежде всего с автоматическим подбором размеров бруса. Нейросетевая модель турбулентности была разработана с использованием библиотеки torch и пакета OpenFOAM. Оценка эффективности показала, что нейросетевая модель работает на два порядка быстрее и позволяет повысить точность в 3,5 раза. Различные центральности, а также кластерный коэффициент Уоттса-Строгаца и среднее кратчайшее расстояние (для свойства малого мира) обычно считаются для выявления внутренних характеристик построенной сети. Данные результаты свидетельствуют о том, что не только между этими числовыми метриками существуют связи, но также доказывается связь и между самим коэффициентом Уоттса-Строгаца и средним кратчайшим расстоянием для широкого класса графов.
5 1 января 2025 г.-31 декабря 2025 г. Разработка теории и программного обеспечения для задач вычислительной математики и ее приложений
Результаты этапа:

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".