ИСТИНА

Целью проекта является разработка новых методов исследования фундаментальных проблем теории динамических систем, к которым относятся изучение их симметрий и связанных с ними алгебраических, топологических и геометрических структур, классификация вполне интегрируемых систем (т.е. систем с достаточно богатыми симметриями), а также приложения к задачам геометрии, алгебры и механики.

The main goal of the project is to work out and develop new methods for studying fundamental problems in the theory of dynamical systems such as analysing their symmetries and related algebraic, topological and geometric structures, classification of completely integrable systems (i.e., systems with sufficiently many symmetries), including applications in geometry, algebra and mechanics. It is worth noticing that nowadays the theory of integrable systems spreads far away from the classical setting limits and includes, along with analysis of finite-dimensional systems integrable in traditional sense, the study of various aspects of the integrability phenomenon itself. Our project combines the both points of view.

(1) Важным объектом изучения в теории интегрируемых систем является лагранжево слоение с особенностями (слоение Лиувилля), естественным образом возникающее на фазовом пространстве любой такой системы. Используя топологические инварианты этих слоений (инварианты Фоменко-Цишанга и бифуркационные комплексы), можно эффективно анализировать устойчивость положений равновесия и периодических траекторий, а также описывать различные режимы движения и переходы между ними, что часто позволяет избежать громоздких вычислений. Помимо топологических характеристик слоений Лиувилля и их особенностей, в теории интегрируемых систем особую роль играют симплектические инварианты. Именно они важны при переходе от классической задачи к квантовой и могут оказаться полезным для изучения феномена зеркальной симметрии. В контексте качественной теории конечномерных интегрируемых систем симплектические инварианты интересны тем, что они удивительным образом содержат в себе практически всю информацию о топологии системы, однако эта информация находится в «закодированном» виде, и мы ставим своей задачей обнаружить и описать эти взаимосвязи. Исследование топологических и симплектических инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем и развитие новых методов для их вычисления – одно из основных направлений наших исследований. Особое внимание будет уделено нескольким принципиально новым темам: изучению класса структурно устойчивых особенностей, в том числе вырожденных и многомерных, систем с некомпактными слоями и методам исследования топологии алгебраически интегрируемых систем, основанным на разделении переменных. (2) В последнее десятилетие топологические биллиарды стали одним из наиболее активно изучаемых объектов в теории интегрируемых систем. Они представляют собой класс кусочно-гладких динамических систем, обладающих рядом необычных свойств, существенно отличающих их от обычных гладких систем и требующих развития новых методов их описания и изучения. С аналитической точки зрения, однако, эти системы довольно просты и помогают при интерпретации и визуализации различных топологических феноменов. Одним из важных наблюдений последних лет стало то, что двумерные биллиарды реализуют сложные системы физики, механики и геометрии. Это означает, что многие эффекты, наблюдаемые в сложных и трудно поддающихся анализу проблемах физики и механики, наглядно и эффективно моделируются системами на подходящих «биллиардных книжках», составленных из нескольких плоских листов, ограниченных дугами софокусных квадрик. Биллиардные книжки будут одним из основных объектов исследования в рамках Проекта 2020. Нашей основной целью будет поиск ответов на два общих вопроса. Какие слоения Лиувилля могут быть реализованы на биллиардных книжках, а какие – заведомо нет? Можно ли предложить эффективный алгоритм для биллиардного моделирования наперед заданного слоения в целом или его отдельных бифуркаций? Вторая цель – вычисление топологических инвариантов интегрируемых биллиардных систем с потенциалом. (3) За три года работы над Проектом 2017 был совершен существенный прорыв в изучении операторов Нийенхейса, т.е. полей эндоморфизмов с нулевым кручением Нийенхейса, имеющих многочисленные приложения в различных областях (включая бигамильтонову механику, системы гидродинамического типа и теорию левосимметрических алгебр и лиевых пучков). Предложена содержательная программа исследований в этом направлении. Нашей задачей является изменение традиционной точки зрения на операторы Нийенхейса как вспомогательный инструмент для других областей математики и построение полноценной геометрии Нийенхейса с развитием ее приложений. В новой исследовательской программе основное внимание будет уделено глобальным аспектам и изучению особенностей. Среди задач, которыми мы собираемся заниматься, наиболее интересными и нетривиальными являются исследования особых точек операторов Нийенхейса (включая проблемы линеаризации и устойчивости) и топологических препятствий к существованию таких операторов на компактных многообразиях. (4) Хорошо известно, что одним из скрытых механизмов интегрируемости гамильтоновых систем является условие бигамильтоновости, т.е. наличие пучка согласованных пуассоновых структур. Эти структуры представляют самостоятельный предмет исследования, если понимать интегрируемость как общий фундаментальный феномен, объединяющий многие разделы современной математики. Методы и конструкции теории бигамильтоновых систем активно используются для исследования различных алгебраических объектов. Например, классический метод сдвига аргумента, предложенный А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко для построения интегрируемых гамильтоновых систем на алгебрах Ли, недавно был успешно использован для определения нового типа инвариантов конечномерных алгебр Ли и их представлений, так называемых инвариантов Жордана-Кронекера. Мы планируем продолжить исследования в этом направлении, в частности, разработать методы вычисления этих инвариантов и доказать или опровергнуть обобщенную гипотезу Мищенко-Фоменко о существовании полиномиальных биинтегрируемых систем на произвольной конечномерной алгебре Ли. Еще одной темой этого направления будет построение общей теории бипуассоновых векторных пространств и изучение алгебраических свойств билагранжева грассманиана.

За три года работы над проектом его участниками были получены интересные результаты и развиты новые методы, которые в свою очередь привели к новым постановкам задач и даже к новым направлениям исследований. Мы собираемся продолжать исследования по нескольким направлениям: • симплектические и топологические инварианты интегрируемых систем, • топологические биллиарды, • геометрия Нийенхейса, • алгебраические аспекты теории бигамильтоновых систем. Все они связаны с изучением топологических и алгебраических свойств интегрируемых систем с разных точек зрения.

(1) Описаны локальные симплектические инварианты для лагранжевых слоений с особенностями в вещественно-аналитическом случае. В терминах топологии локальной особенности и ее комплексификации найдены условия, при выполнении которых верно следующее утверждение о локальных симплектических инвариантах: две локальные особенности (возможно, вырожденные) послойно симплектоморфны тогда и только тогда, когда между ними существует послойный диффеоморфизм, сохраняющий локальные переменные действия. (2) Для слоений Лиувилля на двумерном симплектическом многообразии получено описание всех полулокальных невырожденных особенностей, для которых верно следующее утверждение о полулокальных симплектических инвариантах: две полулокальные особенности послойно симплектоморфны тогда и только тогда, когда между ними существует послойный диффеоморфизм, сохраняющий переменные действия. (3) Найдены достаточные условия для существования и «жесткости» относительно малых интегрируемых возмущений («скрытой») торической симметрии полулокальной особенности лагранжева слоения, где размерность тора не меньше ранга особенности. Обнаружены торические симметрии для нескольких бесконечных серий вырожденных локальных особенностей. В качестве приложения доказана структурная устойчивость простейших вырожденных особенностей - параболических особенностей с резонансами - в вещественно-аналитическом случае. Классифицированы все гамильтоновы действия k-мерного тора вблизи особой орбиты на симплектическом 2n-мерном многообразии, и доказана "жесткость" нормальных форм этих действий относительно малых возмущений. Доказана эквивариантная версия теоремы Вея (1978) о локальной симплектической нормальной форме невырожденных особенностей. (4) Построен пример интегрируемой биллиардной книжки такой, что ее изоэнергетическая поверхность гомеоморфна связной сумме линзовых пространств и прямых произведений окружности и сферы. Предложен алгоритм реализации произвольного f-графа биллиардными книжками. (5) Исследована топология слоения Лиувилля плоских биллиардов, снабженных гуковским центральным потенциалом и ограниченных дугами софокусных эллипсов и гипербол. Приведены примеры систем динамики твердого тела, лиувиллево эквивалентных данным биллиардным системам. Исследована топология слоения Лиувилля плоского интегрируемого биллиарда в эллипсе с полиномиальным потенциалом четвертого порядка. Для всех значений параметров потенциала построены бифуркационные диаграммы и вычислены инварианты Фоменко-Цишанга. (6) Для любой невырожденной седловой особенности ранга 0 типа прямого произведения, построен интегрируемый биллиард, слоение Лиувилля которого содержит особый слой того же типа. (7) Разработан алгоритм определения топологического типа невырожденных 3-мерных особенностей ранга 1 лиувиллевых слоений алгебраически интегрируемых гамильтоновых систем по формулам, выражающим фазовые переменные через переменные разделения. Получен полный список типичных 3-мерных особенностей ранга 1, которые могут возникать в алгебраически интегрируемых системах. (8) Описаны все параболические особенности ранга 1 системы Ковалевской и обоснована их структурная устойчивость. (9) Начато изучение топологии слоений Лиувилля для типичных бифуркаций ряда параболических особенностей ранга 1 для систем с 2 степенями свободы, зависящих от одного параметра. Изучены случаи резонанса порядков 1, 2 и 4. Разработаны новые методы для топологической классификации слоений Лиувилля с седловыми особенностями на 4-мерных многообразиях. Полностью исследованы некоторые модельные примеры. (10) Продолжалась активная работа над созданием геометрии Нийенхейса, новой области математики, находящейся на стыке дифференциальной геометрии, математической физики и алгебры. (а) Изучены gl-регулярные операторы Нийенхейса и дано их локальное описание. Доказано существование системы координат, в которой оператор приводится к достаточно простой канонической форме (так называемые первая и вторая компаньон-формы). В размерности два найдены явные нормальные формы для таких операторов и обнаружены топологические препятствия к их существованию на замкнутых поверхностях. Доказана «гипотеза о дискриминанте», которая, говоря неформально, утверждает, что страты дискриминантного множества характеристического многочлена остаются инвариантными при возмущениях жордановой клетки в классе операторов Нийенхейса. (б) Описаны нормальные формы структур Пуассона-Нийенхейса в окрестности дифференциально невырожденных точек. (в) Обнаружена неожиданная связь между двумя различными областями геометрии: теорией проективно эквивалентных метрик и теорией согласованных бесконечномерных скобок Пуассона гидродинамического типа. А именно, доказано, что пара проективно эквивалентных метрик, одна из которых плоская, естественным образом задает пару таких скобок. Предложены два способа построения большого семейства согласованных пуассоновых структур по паре геодезически эквивалентных метрик (одна из которых является плоской). Показано, что нетривиальное полиномиальное семейство согласованных пуассоновых структур гидродинамического типа размерности n+2, связанное с многомерными обобщениями уравнений KdV, является единственным и определяется парой проективно эквивалентных метрик. (11) Завершена теоретическая работа по классификации gl-регулярных алгебр Новикова. (12) Исследованы общие алгебраические свойства бипуассоновых пространств и билагранжева грассманиана. (13) Начато исследование полных наборов полиномов в инволюции на полупрямых суммах классических алгебр Ли с несколькими экземплярами пространства стандартного представления на биинволютивность. Особый интерес представляет случай алгебры Ли gl(4)+(R^4)^2. Это один из первых нетривиальных примеров, для которого пока не удалось проверить обобщенную гипотезу Мищенко-Фоменко. Для данной алгебры Ли был построен полный набор функций в инволюции. Было показано, что данный набор не является набором в биинволюции. (14) Исследована интегрируемость геодезических потоков на трехмерных многообразиях, допускающих SL(2,R) геометрию в смысле Терстона. Основными примерами таких многообразий являются факторы M = Γ \ PSL(2,R), где Γ⊂PSL(2,R) – это кофинитная фуксова группа. Показано, что соответствующее фазовое пространство T*M содержит две открытых области с интегрируемым и хаотическим поведением с нулевой и положительной энтропией соответственно. По результатам исследований участниками проекта сделано 19 докладов на десяти международных математических конференциях, шесть работ опубликованы в arxiv.org, одна статья опубликована и шесть статей приняты к печати в реферируемых математических журналах, индексируемых базами Web of Science и Scopus, четыре статьи сданы в печать (две из них в ведущие международные математические Q1-журналы). На Механико-математическом факультете Московского Государственного университета работает регулярный семинар «Алгебра и топология интегрируемых систем» по тематике проекта (http://dfgm.math.msu.su/RSF_project.php). В рамках этого семинара в октябре 2020 в Московском университете участниками проекта были проведены заседания конференции «Ломоносовские чтения-2020» https://math.msu.ru/node/1457 Слайды и видеозаписи докладов доступны на сайте Проекта. Подготовлен и прочитан миникурс «Геометрия Нийенхейса» (Октябрь 2020, Московский университет, Россия), основанный на новых результах участников проекта, с акцентом на задачи, включенные в проект, и их естественные продолжения. Видео и слайды лекций можно посмотреть по ссылке: https://drive.google.com/drive/folders/1xBj3sMRz6TDir2VdZoaNEOkuyylhrlCE Организована и проведена конференция Miniworkshop «Nijenhuis Geometry» (18 February 2020, Loughborough University, UK), https://www.lboro.ac.uk/departments/maths/news-events/conferences-workshops/nijenhuis-geometry/ . Результаты проекта представлены следующими информационными ресурсами в сети Интернет: Статьи в архиве: https://arxiv.org/abs/1903.06411 (2019) https://arxiv.org/abs/1903.04603 (2019) https://arxiv.org/abs/2007.09506 (2020) https://arxiv.org/abs/2001.04851 (2020) https://arxiv.org/abs/2009.07802 (2020) https://arxiv.org/abs/1906.07958 (2020) https://arxiv.org/abs/2008.01067 (2020) Статьи, опубликованные в открытых источниках: https://reader.elsevier.com/reader/sd/pii/S0926224520301157? token=ED8AEE1271F08BF195C0C0CABFD14EACB5EB3ACFC1716D21AADDC9C36C01DF0DCA9222BC399BD99774AE219155E77C2D Информация о наших исследованиях в средствах массовой информации: https://aif.ru/society/science/matematiki_mgu_sovmestno_s_zarubezhnymi_uchenymi_sozdali_novuyu_geometriyu https://tass.ru/sci/6815279 https://www.gazeta.ru/science/news/2019/04/12/n_12858217.shtml http://newspacetechnologies.ru/?p=3949