ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
|
Интеллектуальная Система Тематического Исследования НАукометрических данных |
||
Аннотация: Будут рассмотрены две конкретные задачи – изометрические вложения в R^3 локально евклидовых метрик, изометрически погружаемых в стандартную евклидовую плоскость, и бесконечно малые изгибания поверхностей вращения с уплощениями в полюсах. Первая задача уже решена ранее в работах руководителя проекта цилиндрическими вложениями указанных метрик, сейчас же мы хотим искать вложения в виде остальных двух типов развертывающихся поверхностей – конусов и торсов. Во второй части исследование локальной проблемы нахождения бесконечно малых изгибаний окрестности полюса с уплощением сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений с обращением в нуль коэффициента при старшей производной, и у нас есть метод сведения этой проблемы в аналитическом случае к решению диофантового уравнения Пелля, а мы хотим, во-первых, получить признаки жесткости 2-го порядка, во-вторых, через локальное исследование получить признаки жесткости компактной поверхности вращения с двумя полюсами.
We'll consider two problems: isometric embeddings of locally Euclidean metrics in R^3 and infinitesmal deformations of rotational surfaces with flattening at poles.
В первый год планируется: 1) установить существование структуры (а именно, некоторого специального расслоения) «натурального» представления области с л.е. метрикой на стандартной евклидовой плоскости, пригодной для применения идеи упомянутого выше метода изометрического погружения произвольной области евклидовой плоскости в R^3 (С.Н. Михалев, И.Х. Сабитов); 2) будут выписаны необходимые уравнения бесконечно малых изгибаний поверхностей вращения, возможно, с самопересечениями, при минимальных условиях гладкости с локальным исследованием этих уравнений в особых точках, где касательная к меридиану перпендикулярна оси вращения (И.Х. Сабитов).
Поверхностям с л.е. метрикой и б.м. изгибаниям посвящено много работ руководителя проекта с российской стороны. Непосредственно относящиеся к теме проекта разработанные им методы уже описаны в п. 35.4. Предлагаемые украинской группой задачи тоже давно входят в круг научных интересов участников проекта. По уравнению Монжа-Ампера с квадратичной правой частью, когда число переменных равно 2, опубликована статья Ю.А.Аминова с соавторами. Соруководитель проекта с украинской стороны Ю.А. Аминов является одним из основателей современной теории грассманова образа многомерных подмногообразий. Ю.А. Аминовым и В.А. Горькавым опубликовано более 15 статей, посвященных теории грассманова образа. [1] И.Х. Сабитов. О жесткости гофрированных поверхностей вращения // Матем. зам. - 1973. -14, № 4. - с. 517 - 522. [2] И.Х. Сабитов Жесткость 2-го порядка желобов вращения класса // Вестник МГУ, сер. 1. Математика. Механика. - 1975. - 5. - с. 47 - 52 (совместно с Н.Г. Перловой). [3] И.Х. Сабитов. О бесконечно малых изгибаниях желобов вращения.I. // Матем. сборн. - 1975.- 98, № 1.- c. 113 - 129. [4] И.Х. Сабитов. Бесконечно малые изгибания желобов вращения // Тезисы докладов на 6-й Всесоюзн. геометр. конференции. - Вильнюс, 1975.- с. 212. [5] И.Х. Сабитов. Возможные обобщения леммы Минагава-Радо о жесткости поверхности вращения с закрепленной параллелью // Матем. зам.- 1976.- 19,№ 1. - c. 123 - 132. [6] И.Х. Сабитов. О бесконечно малых изгибаниях желобов вращения.II. // Матем. сборн.- 1976.- 99,№ 1.- c. 49 - 57. [7] И.Х. Сабитов. Изометрическое погружение локально-евклидовых метрик в // Cиб. мат. журнал. - 1985. - 26, № 3. - c. 156 - 167. [8] И.Х. Сабитов Исследование жесткости и неизгибаемости аналитических поверхностей вращения // Вестник МГУ, сер. 1. Математика. Механика. - 1986. – 5 .- с. 29 - 36. [9] И.Х. Сабитов. Бесконечно малые изгибания 2-го порядка с уплощением в полюсе // Матем. зам. 1989. - 45, № 1. - с. 28 - 35 (совместно с И. Ивановой-Каратопраклиевой).
1) Показано, что если некоторая данная в одно- или многосвязной области локально-евклидовая (л.-е.) метрика допускает изометрическое погружение в стандартную евклидовую плоскость R^2, то полученная в R^2 область (возможно с самоналожениями или самопересечениями) допускает расслоение T на отрезки прямых, исходящих из одной точки и пересекающих границу области трансверсально или касающихся границы не более чем в одной точке плоскости. Это относится к плану работ на 2012 год. В дополнение к этому доказано, что таким образом структурированная область может быть изометрически вложена в R^3 в виде конической поверхности, на которой отрезки прямых из расслоения T будут образующими. Этот результат относится уже к выполнению плана работ на 2013 год. 2) Даны уравнения и условия на их решения для бесконечно малых (б.м.) изгибаний поверхностей вращения, начиная с минимально допустимой гладкости C^1 как для поверхностей, так и для полей б.м. изгибаний, и до условия их аналитичности. Далее, доказано локальное существование решения и дан алгоритм решения этих уравнений в окрестности полюса поверхности вращения при более широких, чем в известных ранее работах, условиях на внешнее строение поверхности (в частности, в классе C^1 существование решения гарантировано при требовании локальной выпуклости в классе C^2 выпуклость поверхности уже не гарантирует локальную нежесткость в классе деформаций той же гладкости). Эти результаты относятся к выполнению плана работ на 2012 год. В дополнение к этому проведено исследовано жесткости/нежесткости аналитических поверхностей вращения в целом, когда оба полюса поверхности являются точками уплощения, и в этом классе поверхностей доказано, во-первых, что для любой пары порядков уплощений существуют нежесткие поверхности вращения с данными порядками уплощений в полюсах, во-вторых, в аналитическом классе даны признаки жесткости и, соответственно, неизгибаемости таких поверхностей, что в сочетании с ранее известными теоремами руководителя проекта о неизгибаемости поверхностей вращения типа тора дает некоторое довольно обнадеживающие продвижение в доказательстве гипотезы Эйлера о неизгибаемости компактных поверхностей. Эта часть исследований относится уже к выполнению плана работ на 2013 год. Изложенные в этих двух пунктах результаты оформлены соответственно в виде двух статей С.Н. Михалев, И.Х. Сабитов, Изометрические вложения локально-евклидовых метрик в R^3 в виде конических поверхностей, 19 стр. (представлено в журнал «Математические заметки» И.Х. Сабитов Жесткость и неизгибаемость «в малом» и «в целом» поверхностей вращения с уплощениями в полюсах, 32 стр. (представлено в журнал «Математический сборник»
ФТИНТ НАН | Соисполнитель |
грант РФФИ |
# | Сроки | Название |
1 | 2 января 2012 г.-31 декабря 2012 г. | Изометрические погружения метрик и внешне-геометрические свойства поверхностей в пространствах постоянной кривизны |
Результаты этапа: |
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".