Фундаментальные проблемы, возникающие при анализе прикладных стохастических моделей сложной структурыНИР

Fundamental problems arising in the analysis of applied stochastic models of complex structure

Источник финансирования НИР

грант РФФИ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 12 января 2020 г.-31 декабря 2020 г. Фундаментальные проблемы, возникающие при анализе прикладных стохастических моделей сложной структуры
Результаты этапа: Полученные за период, на который предоставлен грант, результаты с описанием методов и подходов, использованных при реализации проекта (описать, уделив особое внимание степени оригинальности и новизны) Целью проекта явился анализ стохастических моделей сложной структуры, среди которых в рамках проекта (по-видимому, впервые) рассмотрены непрерывные по времени многотипные ветвящиеся случайные блуждания по многомерным решеткам. Актуальность рассмотрения такой достаточно общей модели ветвящихся случайных блужданий интересна как с точки зрения развития новых фундаментальных подходов в теории стохастических процессов, так и возможного применения при описании распространения эпидемий и в генетике. В этом направлении получены уравнения для производящих функций в общей постановке (любая частица может производить произвольное число потомков каждого типа), на основе удается получить уравнения для моментов, а при некоторых предположениях установить зоны перемежаемости поля частиц, характеризующиеся нерегулярностью роста моментов. Особое внимание в этом направлении в работах Ю. К. Макаровой, Д. М. Балашовой и Е. Б. Яровой уделено ветвящемуся случайному блужданию с двумя типами частиц. Это объясняется тем, что в данном случае возникает ряд точно решаемых уравнений для моментов численностей частиц. Представим, что в начальный момент времени в каждой точке решетки находилось одинаковое число частиц первого и второго типов, которые осуществляют симметричное неприводимое однородное по пространству случайное блуждание по многомерной решетке с различными коэффициентами диффузии. В каждой точке решетки закон размножения и гибели частиц описывается критическим ветвящемся блужданием с двумя типами частиц. Установлено, что если в основе процесса лежит возвратное случайное блуждание с легкими хвостами, то выжившие частицы обоих типов при больших временах будут образовывать «кластеры» вблизи положения частицы-прародительницы, причем установлена зависимость расстояния между кластерами и размерностью решетки. Эта ситуация является достаточно интересной для приложений и соответствует случаю, когда предельное распределение поля частиц не характеризуется своими моментами. С помощью подобных моделей с конечным числом начальных частиц может быть проиллюстрирована ситуация, связанная с распространением эпидемий. В этом случае частицы первого типа представляют собой инфицированные особи, а частицы второго типа — особи с выработанным иммунитетом. Предполагается, что в начальный момент времени имеется одна инфицированная особь, которая может заражать неинфицированные особи. Для инфицированных и неинфицированных особей вычислены моменты и их асимптотическое поведение для численностей частиц каждого типа в точках решетки. Кроме того, изучен эффект перемежаемости для инфицированных частиц, описанный в терминах моментов. В.А. Куценко предложено использовать ветвящиеся случайные блуждания для описания эволюции популяции, которая начинается с носителя аутосомной условно-летальной мутации. Для описания распределения мутантного аллеля использованы однотипные ветвящиеся случайные блуждания. Модель эволюции мутантного и немутантного аллелей представлена в терминах многотипных ветвящихся случайных блужданий. Модифицикация предложенной модели с учетом процесса рекомбинации позволила описывать летальные мутации в половых хромосомах. Для ветвящихся случайных блужданий с одним центром генерации частиц на решетке и случайным блужданием с тяжелыми хвостами (на переходные интенсивности случайного блуждания накладывается условие, приводящее к бесконечной дисперсии скачков) выявлена ненулевая критическая точка для интенсивности источника ветвления во всех целочисленных размерностях, при превышении которой наблюдается экспоненциальный рост численностей частиц. В работе Н.А. Рытовой и Е.Б. Яровой завершено изучение асимптотического поведения всех целочисленных моментов для критического и докритического ветвящегося случайного блуждания с тяжелыми хвостами. Техника доказательств основана в этом случае на применении тауберовых теорем и обобщения леммы Ватсона на многомерный случай, полученной участниками гранта. На основе ветвящихся случайных блужданий с конечным числом центров генерации частиц и тяжелыми хвостами продолжено исследование немарковских моделей с двумя состояниями: первое — объединяет центры генерации частиц, второе — объединяет состояния, в которых размножение невозможно. Такие модели рассмотрены в работах Г.А. Попова и Е.Б. Яровой. C использованием метода моментов доказаны предельные теоремы для немарковских моделей ветвящихся блужданий в неоднородной среде. Установлен ряд новых результатов для поведения процесса вблизи критической поверхности (слабо надкритический случай). Подход с использованием функций Грина позволил получить функциональную предельную теорему для числа возвращений случайного блуждания по многомерной решетке в начало координат. В рамках гранта рассмотрены стохастические модели, возникающие в теории массового обслуживания, в частности, сети Джексона с ненадежными приборами. Сети Джексона являются одним из фундаментальных объектов в теории массового обслуживания и используются для широкого круга приложений в области транспорта, производства, информатики и социальных сетей. В связи с этим результаты, касающиеся их асимптотического поведения, представляют практический интерес. В первый год реализации проекта доказана теорема об аппроксимации с вероятностью единица на бесконечном горизонте многомерного процесса длин очередей диффузионным процессом, известным в литературе как отраженное броуновское движение в положительном ортанте. Отметим, что полученный результат является обобщением на случай ненадежных приборов соответствующих теорем в работе Чена и Яо (H. Chen, D. D. Yao, Fundamentals of Queueing Networks, Springer, New York, 2001), причем аппроксимация доказана для любого соотношения коэффициентов загрузки узлов, а не только для условий высокой загрузки, как это было сделано для сходимости в пространстве D в классической работе Реймана (M. I. Reiman, “Open queueing networks in heavy traffic”, Mathematics of Operations Re- search, 9:3, (1984), 441–458). При доказательстве сильной аппроксимации использовалось развитие метода Чена и Яо, предложенного в книге H. Chen, D. D. Yao, Fundamentals of Queueing Networks, Springer, New York, 2001. Перенести технику этой работы на случай ненадежных приборов удалось при помощи полученных участником проекта Е. Баштовой (в соавторстве с А. Шашкиным) результатов о сильном принципе инвариантности для процессов накопления с точным порядком скорости сходимости. Данный результат, в частности, является обобщением основного результата работы Merlevède, F., Rio, E. (2015). Strong approximation for additive functionals of geometrically ergodic Markov chains. Electron. J. Probab., 2015, V. 20, N. 14, p. 1–27. Следствием полученной аппроксимации являются закон повторного логарифма в классическом виде и в форме Чорге-Ревеса. Эти результаты подготовлены к публикации и представлены в ArXiv со ссылкой на грант: E.Bashtova, A.Shashkin Strong Gaussian approximation for cumulative processes arXiv:2006.09583; E.Bashtova, A.Shashkin Strong Gaussian approximation for cumulative processes with heavy tails. arXiv:2007.15481. Одна из основных задач, поставленных в рамках проекта, — отыскание условий стохастической ограниченности процессов, описывающих операционные характеристики широкого круга моделей массового обслуживания. Эта проблема решалась в предположении, что случайные процессы, определяющие функционирование системы, обладают свойством регенерации или обновления. В основе анализа два обстоятельства — сходимость регенерирующих процессов к стационарным и возможность синхронизации независимых регенерирующих потоков при некоторых условиях. Строится вспомогательная система, в которой всегда есть требования для обслуживания, и определяются условия, при которых выходящий из вспомогательной системы регенерирующий поток синхронизируется с потоком, входящим в основную систему. Тогда процесс, характеризующий качество функционирования системы, является функционалом на траекториях регенерирующего потока со стационарными приращениями. Это позволяет определить условия стабильности на основе классических методов теории восстановления, а также подходов, разработанных в последние годы участниками проекта. Доказаны условия стабильности многоканальных систем обслуживания с неоднородными приборами, в которых процесс, определяющий моменты поломок и восстановлений отдельных приборов — регенерирующий. Это предположение означает возможную зависимость моментов поломок и восстановлений отдельных приборов, что существенно обобщает класс изученных систем с ненадежными приборами. Для решения поставленных задач были использованы методы теории вероятностей и случайных процессов, методы теории дифференциальных уравнений. Доказательство многих предельных теорем основано на построении мажорирующих систем, случайной замене времени, а также применяется каплинг и синхронизация процессов, предложенные в работах Л.Г. Афанасьевой и ее учеников. Например, для систем с одновременным обслуживанием одного требования несколькими приборами строится вспомогательная система, в которой всегда есть требования для обслуживания. При некоторых естественных предположениях существуют общие точки регенерации потока, выходящего из этой системы и потока входящего в основную систему. На этой основе удается провести асимптотический анализ систем с одновременным обслуживанием в достаточно общих предположениях. Отметим, что в рамках проекта системы с регенерирующим входящим потоком рассмотрены по трем причинам. Во-первых, в приложениях описывающий систему, процесс при некоторых естественных условиях оказывается классическим регенерирующим процессом (Asmussen 2003, Thorisson 2000), если входящий поток регенерирующий. Это позволяет использовать теоремы теории восстановления для асимптотического анализа систем. Во-вторых, класс регенерирующих потоков весьма широк и включает основные фундаментальные потоки теории очередей. Наконец, регенерирующие потоки имеют ряд полезных свойств, позволяющих исследовать многие прикладные модели (Афанасьева Л.Г., Баштова Е,Е,, 2014). Основным объектом наших исследований является определение условий, при которых процесс, описывающий функционирование модели, стохастически ограничен. Заметим, что эта проблема изучается с середины прошлого века для простейших моделей типа GI|GI|1(Kiefer and Wоlfowitz, 1955), для GI|GI|m (Loynes, 1962). Как показано Sadowsky (1995), предложенный подход не может быть использован для систем с неоднородными приборами. В работе Sadowsky (1995) условие стабильности изучается на основе теории марковских цепей Harris и работ Малышева и Меньшикова (1982), Meyn и Tweedie (2009), Georgiadis и Szpakowsky (1992) и ряда других ученых. Предложенный в рамках проекта метод состоит в построении вспомогательной системы и формулировании условия, при котором выходящий из вспомогательной системы поток не зависит от входящего в основную систему и является регенерирующим. В некоторых предположениях эти два потока синхронизируются, что позволяет применять предельные теоремы теории восстановления для асимптотического анализа широкого круга моделей, важных как с прикладной, так и теоретической точек зрения. Новизна доказанных в проекте теорем в том, что они позволяют находить условия стабильности систем сложной структуры, например, с ненадежными и неоднородными приборами, систем с повторными вызовами, систем, в которых одному требованию необходимо несколько приборов, систем в тандеме и упомянутых выше иерархических сетей Джексона. Исследование систем обслуживания, в которых в моменты освобождений системы от требований прибор на случайное время становится полностью или частично недоступным, началось еще с семидесятых годов прошлого века. В последнее время системам этого класса уделяется особенно большое внимание, поскольку эти модели хорошо описывают функционирование многих реальных объектов в самых различных областях, таких как технические предупреждения чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера, связанного с функционированием компьютерных и коммуникационных систем, производственных и строительных объектов и др. В англоязычной литературе для такой частичной или полной временной недоступности прибора принят термин — vacation. В литературе на русском языке общепринятого термина нет. Чаще всего применяют один из следующих терминов: каникулы, прогулки, профилактика. Мы используем выражение — перерыв в работе прибора, считая, что перерывы могут начинаться в моменты, когда либо система освобождается от обслуживания всех имеющихся в системе требований, либо по завершении предыдущего перерыва, если в системе нет требований. Таким образом, процесс, определяющий моменты возникновения перерывов, зависит от состояния системы, и эти моменты не прерывают обслуживание. В этом основное отличие моделей с перерывами от интенсивно изучаемых в теории очередей систем с прерываниями обслуживания, возникающими в любой момент (в англоязычной литературе – interruption). При этом обычно процесс прерываний и восстановлений работы прибора описывается альтернирующим процессом восстановления. Системы обслуживания с перерывами привлекали внимание многих исследователей, а сама идея перерывов впервые обсуждалась в работе Levy, Y и Yechiah, N (1975). Достаточно полный и содержательный обзор моделей с перерывами дан в статьях Doshi, B.T. (1990), Takagi, H (1991) и в книгах Takagi, H (1994), Tian, N b Tian, N и Zhang, G (2006). В последующие годы основное внимание многих исследователей посвящено моделям, которые мы называем системами с задержками. В англоязычной литературе они определяются либо как системы “with server timeout” (см. например, Oliver C. Ibe, 2015), либо как системы “with close-down time” (см. например, Zhisheng Nin and etc., 2001). Насколько нам известно, устоявшегося термина в русскоязычной литературе пока нет, и мы будем использовать термин «задержка». Существует большое количество вариантов моделей с задержками в зависимости от поведения требований, ограничений на число требований в системе (системы с конечным буфером) (см. например, Zhisheng Nin and others, 2009). Наша основная прикладная задача – рациональная организация технической эксплуатации зданий на основе вероятностно-статистических методов. Можно выделить две основные функции по техническому обслуживанию жилищного фонда: - работы по осмотру состояния жилых зданий, профилактическому техническому обслуживанию и ремонтным работам; - работы по устранению аварийных ситуаций и удовлетворению заявок жильцов на устранение различных неисправностей. Мы будем называть эти работы и соответствующие вызовы экстренными. Цель управляющей компании (УК) – с одной стороны, не допускать образования слишком большой очереди из экстренных вызов, а с другой, - выполнить все планируемые работы по профилактическому техническому обслуживанию. Для решения поставленной проблемы мы предложили две модели с перерывами M_1 и M_2 систем обслуживания с пуассоновским входящим потоком X с параметром λ экстренных вызовов и различными условиями на задержку и перерыв. Модель M_1 рассмотрена нами в следующих предположениях. Времена ремонта экстренных поломок – независимые экспоненциальное распределенные величины с параметром ν и средним b=ν^(-1). В момент, когда бригада (или прибор) освобождается от обслуживания заявок первого типа, начинается период случайной задержки ζ, распределение которой экспоненциально с параметром α. Если за время задержки поступает экстренный вызов, то она обрывается и начинается обслуживание вызова. В противном случае, после задержки начинается перерыв η, т.е. профилактический ремонт. Его продолжительность – случайная величина с функцией распределения F(x) и преобразованием Лапласа-Стильтеса f(s)=∫_0^∞▒〖e^(-sx) dF(x)〗. В течение перерыва в обслуживании в систему продолжают поступать требования, но они не обслуживаются, а образуют очередь. При этом поток поступлений Y может отличаться от X, поскольку нетерпеливые клиенты могут уходить из системы или некоторые клиенты направляются на обслуживание в другие центры. После завершения перерыва есть две возможности. Первая – система остается свободной, т.е. Y(η)=0. Тогда начинается новая задержка. Вторая – в систему за время перерыва поступили требования. Тогда начинается обслуживание, так что система функционирует в стандартном режиме вплоть до момента освобождения прибора, когда начинается новая задержка и т.д. Пусть q(t) – число требований в ней (т.е. экстренных вызовов) в момент t. Первый результат – условие стабильности процесса q(t) . Если EY(η)<∞,Eη<∞,ρ=λb<1, то существует P(z)=lim┬(t→∞)⁡〖∑_(j=0)^∞▒〖z^j P(q(t)-j)〗=lim┬(t→∞)⁡〖Ez^(q(t)) 〗 〗 Функция P(z) выражается в явном виде через функцию v(z,t)=Ez^(Y(t)) ∥ (η>t) и параметры λ,b,α. Доказательство опирается на метод каплинга, теорему Колмогорова-Прохорова, предельные теоремы для регенерирующих процессов и ряд довольно сложных оценок. В предположении, что существует второй момент EY^2 (η), дифференцируя выражение для P(z) и полагая z=1, находим формулу для математического ожидания числа требований в системе Eq в стационарном режиме. Рассмотрены различные примеры, в частности, ситуация, когда все требования, поступающие за период задержки, приходят в ее конце. Это предположение является основным в модели M_2 , которая в определенном отношении обобщает M_1. Случайные величины, определяющие время обслуживания и продолжительности задержек, имеют в M_2 произвольное распределение, а не экспоненциальное, как в M_1 . При этом распределение Y(η) может также быть произвольным, но основное предположение относительно Y позволило найти операционные характеристики модели M_2 в явном виде. В основе доказательств также метод каплинга и предельные теоремы теории восстановления. Рассмотрев еще одну вспомогательную систему, когда все требования приходят в начале перерыва, мы получили оценки сверху для числа требований в системе в стационарном режиме. Перейдем к прикладной проблеме – организации эксплуатации инженерных систем жилых зданий. Предположим, что УК имеет две главные задачи: устранение аварийных ситуаций и проведение профилактических ремонтов и осмотров. При этом накладываются ограничения на среднее число ожидающих экстренных вызовов и выполнение плана по профилактическим работам. Используя модель M_1 или M_2, мы получаем ограничения на параметры системы, при которых первое из упомянутых условий выполнено. Чтобы проверить второе условие, необходимо знать асимптотическое распределение числа профилактических ремонтов за достаточно большое время. Пока это сделано для средних значений, а более точное асимптотические результаты предполагается получить в следующем году. Еще раз отметим, что основная новизна предлагаемых моделей в том, что процесс, описывающий поступление экстренных вызовов на перерыве имеет произвольный характер, что позволяет рассматривать весьма широкий круг моделей для решения прикладных задач. Одним из направлений, заявленных в проекте, является изучение стохастических систем типа input-output, возникающих в теории страхования и теории запасов, которые описываются заданием входного и выходного процессов, а также горизонта планирования, т.е. предполагается, что система функционирует в течение конечного (или бесконечного) промежутка времени длины T. В рамках первого года реализации проекта найдено распределение состояния системы в любой момент времени t, принадлежащий горизонту планирования, и исследованы условия эргодичности системы в предположении, что хотя бы один из процессов входа и выхода является случайным. Также исследовано предельное (стационарное) распределение и получены необходимые и достаточные условия его существования для широкого класса процессов входа и выхода. В рамках проекта Е.В. Булинская занималась исследованием новых математических моделей страхования. Как известно, современный период в развитии актуарных наук характеризуется рассмотрением сложных эволюционных систем и применением продвинутых математических методов. Кроме того, в последнее десятилетие широкое распространение получили системы с дискретным временем. Это вызвано тем, что во многих случаях они более точно описывают реальную ситуацию. С другой стороны, они могут служить хорошим приближением для процессов с непрерывным временем. Поскольку модели страхования принадлежат к input-output типу, то при надлежащей интерпретации процессов, подаваемых на вход системы и выходящих из нее, появляется возможность переходить к моделям, возникающим в других приложениях теории вероятностей, таких как теория запасов, финансы, теория очередей, динамика популяций и др. Поэтому результаты, полученные для моделей страхования найдут приложение и в других областях. Очевидно, что цель любого исследования, связанного с приложениями – добиться оптимизации функционирования рассматриваемой системы. Для этого применяются различные управляющие воздействия. Когда речь идет о страховании, то наиболее часто применяются перестрахование и сострахование, инвестиции, банковские займы и дивиденды. Е.В. Булинской был изучен ряд новых моделей с непрерывным и дискретным временем. Согласно плану работы на первый год было произведено исследование системы с дискретным временем, использующей пропорциональное перестрахование и банковские займы. Наличие банковских займов отличает данную модель от предшествующих, связанных с пропорциональным перестрахованием, например, Jasulewicz and Kordecki (2015) и целого ряда других работ. Более того, в них в основном речь шла об изучении вероятности разорения, т.е. использовался надежностный подход. Основным отличием проводимых Е.В. Булинской исследований является применение стоимостного подхода. Это позволило доказать, что при естественных предположениях о процентных ставках оптимальная политика банковских займов характеризуется неубывающей последовательностью критических чисел. Если капитал компании меньше этого критического числа, то берется заем, поднимающий его до указанного уровня, в противном случае не делается ничего. Доказательство проводилось с использованием метода динамического программирования. Таким образом, установлен один из запланированных на первый год результатов. Изучено также предельное поведение капитала при увеличении горизонта планирования. Доказаны усиленный закон больших чисел и центральная предельная теорема. Проведено исследование устойчивости модели к малым возмущениям распределений поступающих требований клиентов на возмещение страховой компанией понесенных ими убытков. Применялись вероятностные метрики, широко изученные в работах В.М. Золотарева, С. Рачева и других ученых. Аналогичные результаты получены и для моделей с непропорциональным перестрахованием. Следовательно, уже начаты некоторые исследования, запланированные на второй год реализации проекта. Отметим, что проводились также исследования в рамках надежностного подхода. Так, для дискретной дуальной модели риска изучена связь вероятности разорения с некоторыми важными стохастическими порядками распределений поступающей прибыли (доклад на конференции ICSM-5 в Москве). Получен и второй результат, запланированный Е.В. Булинской на первый год реализации проекта. Он относится к моделям с непрерывным временем и связан с выплатой дивидендов. Хорошо известно, что современные страховые компании в подавляющем большинстве являются акционерными обществами. Это означает, что в отличие от обществ взаимного страхования, сосредоточенных на возмещении убытков страхователей, они имеют двойственный характер. Их первая задача – это возмещение убытков, а вторая – выплата дивидендов акционерам. Обычно в качестве целевой функции, которую надо максимизировать, выбирают ожидаемые дисконтированные дивиденды Q (u, L), выплачиваемые до момента разорения (u начальный капитал, L стратегия выплаты дивидендов). В докладе на конференции в Петрозаводске была рассмотрена модификация классической модели Крамера-Лундберга с выплатой дивидендов. Предполагалось, что распределение размеров поступающих требований имеет плотность вида $P(y)e^{-y}$, где P(y) –полином степени m. Использование результатов работ Albrecher, Thonhauser (2009) и других позволило установить, что оптимальным является использование барьерной стратегии выплат. А для нахождения оптимального барьера необходимо решить интегро-дифференциальное уравнение, которое удается свести к дифференциальному степени m+2. В заключение подчеркнем, что все полученные результаты в рамках являются новыми, сопоставимы с мировым уровнем развития науки в этих областях, а во многом и опережают его.
2 1 января 2021 г.-31 декабря 2021 г. Фундаментальные проблемы, возникающие при анализе прикладных стохастических моделей сложной структуры
Результаты этапа: Полученные за период, на который предоставлен грант, результаты с описанием методов и подходов, использованных при реализации проекта (описать, уделив особое внимание степени оригинальности и новизны) Многотипные ветвящиеся процессы в неслучайных и случайных средах изучались многими авторами, среди которых отметим Б.А. Cевастьянова и представителей его школы В.А. Ватутина, В.И. Афанасьева, Е.Е. Дьяконову. Добавление в системы частиц их возможного перемещения может значительно усложнить исследование. Одна из таких моделей с диффузией частиц была рассмотрена Б.А. Севастьяновом в 1958. Достаточно полную библиографию см. в работе З. Ши (Shi} (2015). В проекте такого типа модели рассматриваются в более широких предположениях, в частности, отличительной особенностью рассматриваемых в проекте моделей является некомпактность фазового пространства. В рамках проекта (по-видимому, впервые) рассмотрены многотипные ветвящиеся случайные блуждания c непрерывным временем. Исследование ветвящихся случайных блужданий по многомерным решеткам со случайными интенсивностями размножения и гибели частиц использует методы теории случайных возмущений самосопряженных операторов, развитые в работах Я.Б. Зельдовича, С.А. Молчанова, Ю. Гертнера, С. Альбеверио, Л. Богачева, а также участников гранта и других авторов. Большинство результатов, полученных для ВСБ в случайных средах, являются асимптотическими. В то же время изучение ВСБ на конечных интервалах времени представляется сложной и актуальной задачей, которая, насколько нам известно, ранее не исследовалась. В связи с этим, основная цель численного моделирования, проведенного в рамках проекта, заключалась в демонстрации возможности подтверждения результатов, предсказанных теоретически, за конечное время. Аналогичная задача рассматривалась Е. Ермишкиной и Е. Яровой для ВСБ в неслучайных средах. Первый шаг в подобном исследовании ВСБ в случайных средах был предпринят В.Куценко и Е. Яровой, которым удалось показать наличие эффекта перемежаемости в случайных средах на конечных временных интервалах и ввести способ его численной оценки. В рамках проекта применялись методы теории вероятностей, случайных процессов, преобразование Фурье, преобразование и метод Лапласа, тауберовы теоремы, методы теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, методы спектральной теории операторов и обобщении леммы Ватсона на многомерный случай, полученной участниками гранта А. Рытовой и Е. Яровой. 1.Ветвящиеся случайные блуждания играют ключевую роль в моделировании эволюционных процессов с рождением и гибелью частиц в зависимости от структуры среды. Исследовано ветвящееся случайное блуждание по многомерной решетке с конечным числом источников трех типов: в источниках первого типа частицы могут размножаться и гибнуть, но при этом симметричность блуждания не нарушается, в источниках второго типа происходит нарушение симметричности блуждания, а в источниках третьего типа (псевдо-источниках) невозможна генерация частиц, но при этом нарушается симметричность блуждания. Предполагается, что интенсивности ветвления в источниках могут быть произвольными и в начальный момент времени в системе находилась одна частица. Основное внимание уделяется анализу спектральных характеристик оператора, описывающего эволюцию среднего числа частиц как в произвольной точке, так и на всей решетке. Полученные результаты обеспечивают явные условия для экспоненциального роста числа частиц без каких-либо предположений о дисперсии основного случайного блуждания (cм. статью Yarovaya E., Balashova D., Khristolubov I. ``Branching Walks with a Finite Set of Branching Sources and Pseudo-sources’’ в сборнике Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, серия Shiryaev A.N., Samouylov K.E., Kozyrev D.V. (eds) Recent Developments in Stochastic Methods and Applications. ICSM-5 2020, издательство Springer International Publishing AG (Cham, Switzerland), том 371, с. 144-163). Как известно, ветвящиеся случайные блуждания с экспоненциальным ростом численностей частиц в каждой точке решетки называются надкритическими. В теории ветвящихся случайных блужданий по многомерным решеткам, одним из основных объектов исследования является численность частиц в точках решетки, которая во многом зависит от случайного блуждания частиц, лежащего в основе процесса. Особую роль случайное блуждание начинает играть, когда рост численностей частиц отличается от экспоненциального. В связи с этим особое внимание было уделено изучению распределения времени пребывания случайного блуждания в точке решетки, из которой начался процесс. Вопросы, связанные с изучением случайных блужданий, поднимались в классических работах Ф. Спицера, П. Ревеса, В. Феллера, К. Чжуна, И. Гихмана, А. Скорохода, Д. Дарлинга, М. Каца и многих других авторов. Одной из основных характеристик случайного блуждания является свойство возвратности. Для изучения этого свойства важно иметь представление о распределении времени пребывания процесса в произвольной области фазового пространства случайного блуждания. В рамках проекта доказаны функциональные предельные теоремы о распределении времени пребывания процесса в точке многомерной решетки при определенной нормировке в двух предположениях: для конечной дисперсии скачков случайного блуждания и в достаточно общем предположении, приводящем к бесконечной дисперсии скачков. На основе полученных результатов для возвратного симметричного случайного блуждания с источником размножения и гибели частиц в начале координат доказаны функциональные предельные теоремы о численности частиц, посетивших источник. Эти результаты опубликованы в совместной работе А. Апарина, Г. Попова, Е. Яровой, “О распределении времени пребывания случайного блуждания в точке многомерной решетки”, Теория вероятн. и ее примен., 66:4 (2021), 657–675. 2. Перейдем к ветвящемуся случайному блужданию с марковским ветвящимся процессом в каждой точке решетки (однородная ветвящаяся среда). Предполагается, что в начальный момент времени в точках решетки находится по одной частице, и в процессе ветвления частица может произвести произвольное число потомков. Для критического ветвящегося процесса (интенсивность рождения частиц в каждой точке решетки равна интенсивности гибели) в случае невозвратного случайного блуждания по решетке доказана сходимость распределения поля частиц к предельному стационарному распределению. Показано отсутствие перемежаемости в зоне |x - y| = O(√t), где x-y --- пространственная координата, а t --- время, в предположении суперэкспоненциально легких хвостов случайного блуждания и надкритичности ветвящегося процесса в точках решетки. Эти результаты будут представлены в статье Д. М. Балашова, Е. Б. Яровая, “Структура популяции частиц для ветвящегося случайного блуждания в однородной среде”, Ветвящиеся процессы и смежные вопросы, Сборник статей. К 75-летию со дня рождения Андрея Михайловича Зубкова и 70-летию со дня рождения Владимира Алексеевича Ватутина, Труды МИАН, 316, МИАН, М., 2022 (в печати). 3. Пусть в каждой точке решетки закон размножения и гибели частиц описывается критическим ветвящимся блужданием с двумя типами частиц и в начальный момент времени в каждой точке решетки находится одинаковое количество частиц обоих типов. Выявлен эффект пространственной кластеризации частиц на решетке. если в основе процесса лежит возвратное случайное блуждание с легкими хвостами, т.е. выжившие частицы обоих типов образуют кластеры вблизи положения начальной частицы, причем установлена зависимость расстояния между кластерами и размерностью решетки. Эта ситуация является достаточно интересной для приложений и соответствует случаю, когда предельное распределение поля частиц не характеризуется своими моментами. Д. Балашовой разработаны численные алгоритмы для описания кластеризации соответствующего процесса. Результаты доложены на международных конгрессах и конференциях в 2021 году. 4. Перейдем к модели ветвящегося случайного блуждания, в котором интенсивности размножения и гибели частиц в точках решетки предполагаются случайными (случайная среда) и процесс начинается с одной частицы. Для ветвящихся случайных блужданий в случайных средах характерно влияние редких флуктуаций, поэтому осредненное описание, типичное при классическом подходе, не всегда адекватно. В частности, для процессов в случайных средах характерно возникновение нерегулярных структур с выраженной неоднородностью пространственного распределения, т.е. так называемой «перемежаемости». На основе результатов моделирования удалось показать, что эффект перемежаемости может наблюдаться, а его параметры оценены в случайных средах даже на конечных временных интервалах. Эти результаты представлены в cтатье В. Куценко, Е. Яровой ``Моделирование процессов с генерацией и транспортом частиц в случайной среде’’, опубликованной в Трудах конференции ``Математические основы информатики и информационно-коммуникационных систем’’, Тверь, ТвГУ, Россия, 3-8 декабря 2021, стр.177-185. 5. Проведен анализ асимптотического поведения моментов численностей частиц в ветвящемся случайном блуждании с двумя типами частиц, где каждая из начальных частиц может произвести произвольное число потомков, как первого, так и второго типа, и бесконечным числом начальных частиц. Основные результаты посвящены исследованию производящей функции и предельного поведения моментов субпопуляций, порождаемых одной частицей каждого типа. На основе разработанных подходов предложена модель, которая может иллюстрировать распространение эпидемии. В этой модели рассматриваются два типа частиц: инфицированные и с иммунитетом. В начальный момент есть одна инфицированная частица, которая может ``производить’’ новые зараженные частицы и частицы с иммунитетом. Здесь основными результатами являются изучение предельного поведения моментов численностей частиц каждого типа в точках многомерной решетки. Кроме того, установлен эффект ``перемежаемости’’ для инфицированных частиц в надкритическом ветвящемся процессе в каждой точке решетки. Предельная кластеризация частиц позволяет объяснить некоторые эффекты распространения эпидемий. Результаты частично доложены Ю.Макаровой, Д. Балашовой и Е. Яровой. 6. Полученные в рамках проекта фундаментальные результаты для многотипных ветвящихся случайных блужданий были применены для изучения модели эволюции популяции при наличии эпистатических летальных аллелей. Представлена модель, описывающая эволюцию летальных и нелетальных аллелей, основанная на двухтипных ветвящихся случайных блужданиях по многомерным решеткам. Модель изучалась в терминах субпопуляций частиц, генерируемых одной частицей каждого типа, расположенной в каждой точке решетки. Получены дифференциальные уравнения для производящих функций и факториальных моментов для субпопуляций частиц. Для первых моментов получены точные решения для случаев, значимых в генетическом контексте. Изучено асимптотическое поведение для первых моментов распределения частиц в точках решетки для случайного блуждания с конечной дисперсией скачков. Результаты представлены в статье Ю. Макаровой, В. Куценко и Е. Яровой ``On Two-Type Branching Random Walks and Their Applications for Genetic Modelling’’ в сборнике Recent Developments in Stochastic Methods and Applications, серия Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, издательство Springer International Publishing AG (Cham, Switzerland), том 371, с. 255-268. Д. Балашовой предложена математическая модель функционирования зародышевого центра лимфатической системы. Эта модель также строится в терминах многотипных ветвящихся случайных на дискретной решетке. Типы частиц соответствуют следующим типам В-лимфоцитов: центробласты, центроциты, плазматические клетки и ячейки памяти. Координаты решетки соответствуют нуклеотидным представлениям рецепторов В-клеток. Для соответствующих типов частиц получены уравнения для математических ожиданий локальных чисел частиц и исследованы их решения. 7-8. В рамках проекта Л. Афанасьевой и Е. Баштовой изучалась m-канальная система массового обслуживания с повторными вызовами и системы с необходимостью обслуживания одного требования случайным числом приборов. Такие системы имеют сложную структуру в силу зависимости потоков, формирующих очередь. Для систем с необходимостью обслуживания одного требования случайным числом приборов установлено условие стабильности и оказалось, что оно зависит от распределения времени обслуживания, а не только от его среднего значения. Предполагалось, что в системах с повторными вызовами имеется m идентичных приборов. Если в момент поступления требования есть хотя бы один свободный прибор, то требование немедленно начинает обслуживаться. Если же все приборы заняты, то оно отправляется на так называемую орбиту, откуда повторяет попытки попасть на обслуживание. Предполагается, что входящий поток заявок является регенерирующим. Рассмотрено две модели, различающиеся правилами формирования повторных вызовов с орбиты. В первой модели (M1) поток запросов с орбиты - пуассоновский с интенсивностью, зависящей от количества требований на орбите. Во второй модели (M2) запросы с орбиты поступают через независимые одинаково распределенные интервалы. Если в момент запроса есть свободный прибор, а на орбите есть требования, то одно из них отправляется на обслуживание. Ранее в рамках проекта были установлены условия стохастической ограниченности процессов, описывающих операционные характеристики этих систем. Основная задача, решаемая в этом году в данном направлении, - асимптотический анализ систем с повторными вызовами в условиях высокой загрузки. При доказательстве теорем использовались модифицированный метод синхронизации и подходы, разработанные для доказательств теорем о сильной гауссовской аппроксимации. Установлен аналог сильного принципа инвариантности Штрассена (с точным порядком скорости сходимости) для количества требований в перегруженной системе. Представленные теоремы об аппроксимации с вероятностью единица процесса длины очереди имеют разнообразные следствия, такие как, например, сходимость в пространстве Скорохода и закон повторного логарифма. Эти теоремы позволят в дальнейшем, на основе наблюдения количества требований в системе, получить состоятельную оценку асимптотической дисперсии, строить доверительные интервалы и проверять гипотезы о величине коэффициента загрузки, что является важным для приложений. Кроме того, разработанные подходы использовались при асимптотическом анализе надежности системы с резервными элементами и восстанавливающим прибором. Получено распределение времени рабочего состояния системы и его асимптотика, когда элементы быстро восстанавливаются или высоконадежны. 9. Системы с перерывами в обслуживании (в англоязычной литературе “vacation queue”) начали изучаться с середины 70-х годов прошлого века. За последние годы интерес к этим системам особенно возрос, что, в первую очередь, связано с обширными приложениями в самых различных областях. Предложено много новых моделей. Например, системы, в которых в перерыве прибор может работать, но в другом режиме (так называемая «схема работающего перерыва»), а также модели с различными типами перерывов или возможностью их обрыва и многие другие. Сначала мы рассмотрели классическую модель S , но в весьма общих предположениях относительно поведения прибора в течение перерывов. А именно, процесс Y, определяющий число требований в системе в течение перерыва, и его продолжительность η имеют произвольное распределение, но они независимы для различных перерывов. Как показали дальнейшие исследования, выбирая процесс Y и продолжительность η некоторым специальным способом, можно свести изучение многих моделей, например, с задержками перерывов или их прерываниями, к исследованию системы S. Для системы S изучаются два процесса: q(t) – число требований в системе в момент t и n(t) - число завершенных перерывов к этому моменту. В предположении, что входящий поток требований вне перерывов – пуассоновский, а времена обслуживания имеют произвольное распределение, находится необходимое и достаточное условие стабильности процесса q. Далее на основании метода каплинга и предельных теорем для регенерирующих процессов получена формула для производящей функции предельного распределения q(t) . Дифференцирование полученной формулы позволяет найти математическое ожидание числа требований в системе в стационарном режиме. Рассмотрено несколько примеров. В частности, наложив на поведение системы в перерыве, т.е. на (Y,η), те или иные условия, можно получить ранее изучаемые в литературе модели и сравнить полученные и уже известные формулы. Это было сделано, что подтвердило корректность полученных результатов, на основании которых исследованы три модели с задержками. Задержка означает, что перед началом возможного перерыва выделяется случайное время ζ и, если за это время не пришли требования, то начинается перерыв. В противном случае он отменяется. Получены формулы для предельного распределения и математического ожидания числа требований в системе при произвольном распределении времени ζ для всех трех моделей. Заметим, что модели этого класса возникают из приложений в связи с ситуациями, когда необходимо время для подготовки перерыва или для консультаций по его организации. Г. Афанасьевым проведен асимптотический анализ процесса n(t), определяющего число завершенных перерывов к моменту t, при t→∞. С этой целью для процесса q(t) вводится последовательность точек регенерации таким образом, что нормирующие коэффициенты в предельных теоремах для n(t) находятся в терминах моментов этих периодов регенерации и процесса (Y,η). Полученные результаты применены к оценке эффективности работы управляющей компании (УК) жилых зданий. Учитываются две важнейшие задачи УК – предупредительные инспекции и ремонты и устранение внезапных поломок технического оборудования. При этом требования – это запросы на экстренное устранение поломок, а перерыв – это профилактический ремонт. Предложен подход к оптимизации деятельности УК с позиции ценового критерия. 11-12 Для сетей Джексона в прошлом году в рамках проекта были доказаны теоремы об аппроксимации с вероятностью единица (на бесконечном горизонте) вектора длин очередей отраженным броуновским движением в ортанте. В этом году были рассмотрены такие статистические задачи, как оценка матрицы ковариаций и проверка гипотезы о перегруженности узла. Заметим, что в реальности маловероятна ситуация, чтобы внешний входящий и поток внутрисистемной маршрутизации были известны отдельно. Поэтому для статистического анализа мы предполагаем, что для каждого прибора известны следующие данные: общий входящий поток (включая оба потока: внешний и маршрутизированные с других приборов), длина очереди, времена поломок и восстановления. Матрица маршрутизации считается известной или уже оцененной. Поскольку каждый прибор функционирует как одноканальная система обслуживания, то зная входящий поток, длину очереди, времена поломок и ремонта, можно вычислить времена обслуживания. В 2021 году доказаны теоремы о состоятельном оценивании асимптотической матрицы ковариаций. Применен метод локального усреднения и теоремы о сильной аппроксимации вектора длин очередей, полученные в 2020 году в рамках проекта. Доказанные теоремы позволяют сконструировать критерий для идентификации перегруженных узлов на основе наблюдения вектора длин очередей и обобщения алгоритма моделирования многомерного отраженного броуновского движения (Blanchet, Murthy, 2018) на случай произвольной матрицы ковариаций. 13-14. В 2021 г. Е. Булинской продолжено исследование стохастических моделей типа "вход-выход" (input-output). Как известно, такие модели пригодны для изучения систем (или процессов), возникающих в различных прикладных областях, где требуется использование вероятностных методов. Это могут быть такие области как страхование или финансы, управление запасами или регулирование водохранилищ, обслуживание клиентов или организация производства, медицина или развитие различных популяций и др. Поскольку вероятностные методы в страховании начали применяться гораздо раньше, чем в других областях, изложение ведется в терминах моделей страхования. Однако использование другой интерпретации входящих и выходящих процессов позволяет переходить к другой прикладной области. Хорошо известно, что цель любого исследования, связанного с приложениями - добиться оптимизации функционирования рассматриваемой системы. Для этого применяются различные управляющие воздействия. Когда речь идет о страховании, то наиболее часто используются перестрахование и сострахование, инвестиции, банковские займы и дивиденды. Был изучен ряд новых моделей с непрерывным и дискретным временем. Согласно плану работы на второй год было произведено исследование системы с дискретным временем, использующей непропорциональное перестрахование и банковские займы. Наличие банковских займов отличает данную модель от предшествующих (например, Q.Tang, G.Tsitsiashvili, 2004), или недавно появившейся (Jianming Xia, 2021). Предполагается, что требования в систему (страховую компанию) поступают периодически через равные промежутки времени и задаются последовательностью независимых одинаково распределенных неотрицательных случайных величин, обладающих плотностью и конечным математическим ожиданием. В каждый из периодов используется однотипный договор непропорционального перестрахования risk excess of loss (эксцедент убытка по риску) с уровнем собственного удержания а. Премии, получаемые страховщиком и перестраховщиком, подсчитываются по принципу среднего, причем нагрузка у перестраховщика больше, чем у непосредственного страховщика. В начале каждого периода (до поступления требования на выплату страхового возмещения) возможно взять в банке заем под процентную ставку b1. Если же поступившей страховщику премии М, имевшегося у него в начале периода капитала и сделанного займа недостаточно для выплаты возмещения, возможен экстренный заем под большую процентную ставку b2 для покрытия возникшего дефицита. Задача нахождения оптимальной политики банковских займов решена в рамках стоимостного подхода. А именно, в качестве целевой функции рассматриваются средние дисконтированные издержки за конечное число периодов, связанные со взятием займов. Их и требуется минимизировать. Для решения задачи используется метод динамического программирования, разработанный Р. Беллманом и модифицированный в работах проф. Е.В. Булинской и ее учеников. Установлено, что оптимальное поведение поведение носит пороговый характер, т.е. существует неубывающая последовательность критических уровней yn таких, что если размер капитала компании на первом шаге n-шагового процесса меньше указанного уровня, то капитал увеличивается до него с помощью займа, в противном случае ничего не делается. Доказано, что существует такая постоянная, которая ограничивает эти критические числа сверху. Она является корнем некоторого уравнения. В случае М=0 эта постоянная является пределом yn при неограниченном росте n. Это позволяет построить асимптотически оптимальную политику, зависящую только от единственной постоянной. Асимптотическая оптимальность означает, что средние издержки в единицу времени при такой политике совпадают с аналогичным средним при использовании оптимальной политики. А это дает возможность найти асимптотически оптимальную политику в случае неполной информации относительно распределения поступающих страховых требований, что является еще одной задачей, решенной в текущем году. Для изучаемой модели доказаны предельные теоремы, касающиеся асимптотического поведения капитала страховой компании при неограниченном росте горизонта планирования. А именно, доказан усиленный закон больших чисел, который позволил установить достаточные условия на параметры модели, при которых страховая компания разоряется с вероятностью 1, а также условия, при которых капитал компании неограниченно возрастает. Доказанная центральная предельная теорема для капитала страховой компании при использовании оптимального управления позволит оценить необходимые страховые нагрузки и наилучший уровень собственного удержания для обеспечения бесперебойного функционирования компании. Еще одно направление исследований --- это анализ устойчивости изучаемой модели по отношению к малым возмущениям основного распределения, фигурирующего в задании модели, т.е. распределения поступающих требований. Исследование проводились с использованием вероятностных метрик, введенных в работах В.М.Золотарева, его ученика С.Рачева и развитых в работах многих исследователей в России и за рубежом. При рассмотрении вышеописанной модели использовалась метрика Канторовича-Вассерштейна. Доказано, что если расстояние между двумя распределениями мало в указанной метрике, то разность между соответствующими целевыми функциями мала в равномерной метрике Колмогорова. Для дуальной модели с дискретным временем изучалось поведение вероятности разорения. Дуальность наглядно означает, что меняются местами входящий и выходящий процессы, т.е. предполагается, что расходы описываются с помощью детерминированного процесса (в нашем случае линейного), а доходы задаются последовательностью независимых одинаково распределенных (целочисленных) неотрицательных случайных величин. Использование результатов работы (Palmowski Z. et al. 2018) позволило найти явный вид вероятности разорения (как функции от начального капитала) путем решения системы разностных уравнений. А это дало возможность сравнить вероятности разорения в предположении, что распределения доходов упорядочены с помощью некоторых стохастических порядков. Были рассмотрены стохастическое доминирование, выпуклый порядок (т.е. порядок стоп-лосс, дополненный равенством средних) и два порядка, относящиеся к левым и правым хвостам распределений, введенные в работе (Mulero J. et al. 2017). Аналогичные результаты установлены для совместной работы нескольких компаний, участвующих в некотором проекте в определенных долях. (Это в работе Risks Ordering and Reliability of Some Applied Probability Systems, DCCN 2021 Proceedings 167-172) В) Исследование новых дивидендных стратегий также производилось в работах Е.В.Булинской в текущем году (New dividend Strategies 3 глава в книгеи статья в журнале MCAP - Булинская, Шигида). Изучены 2 дивидендные стратегии. Так, для классической модели Крамера-Лундберга при выполнении условиячистого дохода (net profit condition) и экспоненциальности поступающих требований изучена барьерная стратегия с парижской задержкой. Это означает, что дивиденды выплачиваются только если капитал компании после пересечения барьера останется выше него фиксированное заранее время h>0. В отличие от работы (Dassios and Wu, 2009) в качестве целевой функции рассматриваются ожидаемые издержки до парижского разорения (как и в предыдущей работе Bulinskaya, Shigida, 2018). Поскольку полученное выражение для целевой функции достаточно сложное, для нахождения оптимального барьера (максимизирующего целевую функцию) был использован метод численного моделирования. Это помогло доказать единственность оптимального барьера и разработать алгоритм его подсчета. Для дуальной модели Крамера-Лундберга, которая может возникать в страховании жизни (см. классические учебники Buhlman, 1970, Gerber, 1979) или при изучении венчурных компаний (Bayraktar and Egami, 2008) была рассмотрена пороговая стратегия. Для целевой функции - ожидаемые дисконтированные дивиденды, выплаченные до разорения, была выведена система интегро-дифференциальных уравнений. В том случае, когда поступающие доходы имеют экспоненциальное распределение, методом из работы (Avanzi et al. 2007) удалось найти явный вид целевой функции. Это позволило установить оптимальный порог. Барьерная стратегия выплаты дивидендов была также изучена в работе (Bulinskaya, Shigida 2021) для следующей модели с дискретным временем. В начале каждого периода компания получает премию заданного размера c>0. Страховые требования образуют последовательность неотрицательных независимых (вообще говоря, не обязательно одинаково распределенных) случайных величин с конечным математическим ожиданием. Хотя для упрощения полученных результатов бывает удобно потребовать не только одинаковую распределенность, но и показательность распределения. Дополнительно предполагается возможность безрисковых инвестиций. А именно, в начале каждого периода возможно поместить в банк на m периодов определенную долю дельта имеющегося капитала под фиксированный процент. Таким образом, обобщена модель из работы (Bulinskaya, Kolesnik, 2018), где предполагалось, что m=1. Кроме исследования дивидендов для данной модели изучены вероятности разорения за конечное или бесконечное число шагов. Результаты получены в виде кратных интегралов, которые удается вычислить в случае показательного распределения. Доказанные результаты иллюстрируются численным моделированием. Результаты исследований Е. Булинской опубликованы в журнальной статье, четырех коллективных монографиях, а также доложены на 4 международных конференциях. В 2021 г. при поддержке гранта защищены диссертации: Гришуниной Светланы Алексеевны (науч. руководитель --- проф. Л.Г. Афанасьева) https://istina.msu.ru/dissertations/ 357378656/ «Предельные теоремы для систем обслуживания с различными правилами образования очереди»; Рытовой Анаcтаcии Игоревны https://istina.msu.ru/dissertations/357378481/ (науч. руководитель --- проф. Е.Б. Яровая) «Асимптотический анализ ветвящихся случайных блужданий с тяжелыми хвостами» Обе защиты прошли 16 апреля 2021 года на диссертационном совете 11.07 МГУ. В авторефератах и диссертациях указано их выполнение при поддержке гранта РФФИ 20-01-00487. В заключение подчеркнем, что все полученные результаты в рамках проекта являются новыми, сопоставимы с мировым уровнем развития науки в этих областях, а во многом и опережают его. Апробация результатов реализации Проекта на научных мероприятиях (участие в научных мероприятиях по тематике Проекта за период, на который был предоставлен грант) (каждое мероприятие с новой строки, указать название мероприятия, ФИО члена коллектива и тип доклада) В рамках проекта проф. Е.В.Булинской и проф. Е.Б.Яровой был организован мини-симпозиум "Fundamental problems arising in the analysis of applied stochastic models having complex structure" (3 Sessions) на Международной конференции ASMDA2021, проходившей в гибридном варианте (дистанционно и очно) с 1 по 4 июня 2021 года в Афинах (Греция). Это была юбилейная конференция, посвященная 40-летию таких конференций (начавшихся в 1981 году). Е.В.Булинская более 10 лет является членом Программного комитета ASMDA. Проф. Е.Б.Яровая (избранный член Международного статистического института (ISI)) организовала приглашенное заседание на 63-ем Всемирном статистическом конгрессе с участием ученых из США, Франции, Испании и России 11-16 июля 2021 года. На этом заседании из 7 докладов 3 были представлены участниками гранта. Апробация результатов реализации проекта представлена в 25 докладах участников гранта на 63-ем Всемирном статистическом конгрессе и многочисленных международных конференциях, среди которых Список докладов. 2021 Название доклада: Comparing numerical results for branching random walks in non random and random media (Приглашенный). Автор: В.А. Куценко, Е.Б. Яровая. 14th International Conference of the ERCIM WG on Computational and Methodological Statistics (CMStatistics 2021), Великобритания, Лондон, 18-20 декабря 2021г., онлайн. 2021 Название доклада: Stochastic evolution of particle systems for branching random walks in non homogeneous and homogeneous environments (Приглашенный). Автор: Е.Б. Яровая. 14th International Conference of the ERCIM WG on Computational and Methodological Statistics (CMStatistics 2021), Великобритания, Лондон, 18-20 декабря 2021г., онлайн. 2021 Evolution Operators of Symmetric Branching Walks with a Random Point Perturbation (Приглашенный). Автор: В.А. Куценко, Е.Б. Яровая. The 5th International Workshop on Branching Processes and their Applications (IWBPA 2021), Испания, Бадахос, 6-22 апреля 2021г., онлайн 2021 Two-Type Branching Random Walks in Homogeneous and Non Homogeneous Environments (Приглашенный). Автор: Ю.К. Макарова, Е.Б. Яровая. The 5th International Workshop on Branching Processes and their Applications (IWBPA 2021), Испания, Бадахос, 6-22 апреля 2021г., онлайн 2021 Influence of the configuration of particle generation centres on the behavior of branching walks: a case study (Приглашенный). Автор: Е.Б. Яровая. The 5th International Workshop on Branching Processes and their Applications (IWBPA 2021), Испания, Бадахос, 6-22 апреля 2021г., онлайн 2021 Particle population structure in a multi-type branching random walk (Приглашенный). Автор: Д.М. Балашова, Е.Б. Яровая. The 5th International Workshop on Branching Processes and their Applications (IWBPA 2021), Испания, Бадахос, 6-22 апреля 2021г., онлайн 2021 Simulation of branching random walks in random media (Приглашенный). Автор: В.А. Куценко, Е.Б. Яровая. 63rd ISI World Statistics Congress. Нидерланды, 11-16 июля 2021г., онлайн 2021 Two-type Branching Random Walks with Different Configurations of Branching Sources (Приглашенный). Автор: Ю.К. Макарова. 63rd ISI World Statistics Congress. Нидерланды, 11-16 июля 2021г., онлайн 2021 Optimization and Asymptotic Analysis of Insurance Models (Приглашенный). Автор: Е.В. Булинская. Applied Stochastic Models and Data Analysis International Conference (ASMDA 2021). Греция, Афины, 1-4 июня 2021г., онлайн 2021 Structure of the Particle Field in Branching Walks with Generation Centers of Particles at Every Lattice Point (Приглашенный). Автор: Д.М. Балашова. Applied Stochastic Models and Data Analysis International Conference (ASMDA 2021). Греция, Афины, 1-4 июня 2021г., онлайн 2021 Queueing Systems with Regenerative Input Flow (Приглашенный). Автор: Л.Г. Афанасьева, Е.Е. Баштова. Applied Stochastic Models and Data Analysis International Conference (ASMDA 2021). Греция, Афины, 1-4 июня 2021г., онлайн 2021 The Number of Completed Vacations for a Vacation Queueing System with Applications to Maintenance of Residential Buildings (Приглашенный). Автор: Г.А. Афанасьев. Applied Stochastic Models and Data Analysis International Conference (ASMDA 2021). Греция, Афины, 1-4 июня 2021г., онлайн 2021 Limit Theorems for Branching Random Walks with Heavy Tails (Приглашенный). Автор: А.И. Рытова. Applied Stochastic Models and Data Analysis International Conference (ASMDA 2021). Греция, Афины, 1-4 июня 2021г., онлайн 2021 Branching Random Walks and Their Applications (Приглашенный). Автор: Е.Б. Яровая. Applied Stochastic Models and Data Analysis International Conference (ASMDA 2021). Греция, Афины, 1-4 июня 2021г., онлайн 2021 Моделирование процессов с генерацией и транспортом частиц в случайной среде. Автор: Е.Б. Яровая, В.А Куценко. Математические основы информатики и информационно-коммуникационных систем. Россия, Тверь, 3-8 декабря 2021г. 2021 Системы обслуживания с перерывами в работе прибора и их приложения. Автор: Г.В. Афанасьев. Математические основы информатики и информационно-коммуникационных систем. Россия, Тверь, 3-8 декабря 2021г. 2021 Асимптотический анализ систем обслуживания с повторными вызовами при регенерирующем входящем потоке. Автор: Л.Г. Афанасьева, Е.Е. Баштова. Математические основы информатики и информационно-коммуникационных систем. Россия, Тверь, 3-8 декабря 2021г. 2021 Strong approximation for unreliable Jackson networks and statistical applications (Приглашенный). Автор: Е.Е. Баштова, Е.О. Ленена. Международная конференция «Теория вероятностей и ее применения 2021 The Method of Moments and its Applications in the Theory of Branching Random Walks (Приглашенный). Автор: Е.Б. Яровая. A virtual workshop organized by the Working Group on ”Stochastic Processes and their Applications” of the Spanish Society for Statistics and Operations Research. Испания, Мадрид, 23 ноября – 2 декабря 2021г., онлайн 2021 Limit behavior and stability of applied probability systems (Приглашенный). Автор: Е.В. Булинская. 20th International Conference named after A.F. Terpugov Information Technologies and Mathematical Modelling (ITMM), Россия, Томск, 1-5 декабря 2021г. 2021 Risks Ordering and Reliability of Some Applied Probability Systems. Автор: Е.В. Булинская. Distributed Computer and Communication Networks: Control, Computation, Communications (DCCN-2021), Россия, Москва, 20-24 сентября 2021 г., онлайн 2021 Математические модели страхования и их оптимизация. Автор: Е.В. Булинская. Международная Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы", Россия, Воронеж, 28 января - 2 февраля 2021г., онлайн 2021 Название доклада: Modeling of the solution of an evolutionary equation with a random potential. Автор: В.А. Куценко. St. Petersburg Youth Conference in Probability and Mathematical Physics, Россия, Санкт-Петербург, 21-24 декабря 2021г. 2021 Название доклада: Functional limit theorems on the sojourn time Автор: Г.А. Попов. St. Petersburg Youth Conference in Probability and Mathematical Physics, Россия, Санкт-Петербург, 21-24 декабря 2021г. 2021 Название доклада: Branching Random Walks in Homogeneous Environment Автор: Ю.К. Макарова. St. Petersburg Youth Conference in Probability and Mathematical Physics, Россия, Санкт-Петербург, 21-24 декабря 2021г. Научно-популярное изложение содержания проекта Целью проекта явился анализ стохастических моделей сложной структуры, среди которых в рамках проекта (по-видимому, впервые) рассмотрены непрерывные по времени многотипные ветвящиеся случайные блуждания по многомерным решеткам, т.е. такие процессы, в которых частицы могут производить потомство разных типов в узлах многомерной решетки и осуществлять случайное блуждание по соответствующим законам. Актуальность рассмотрения такой достаточно общей модели ветвящихся случайных блужданий интересна как с точки зрения развития новых фундаментальных подходов в теории стохастических процессов, так и возможного применения при описании распространения эпидемий, в генетике и иммунологии. Ранее большинство авторов останавливалось либо на изучении ветвящихся случайных блужданий с одним типом частиц, либо на многотипных ветвящихся процессах без учета транспорта частиц. Однако ключевым фактом для приложений становится изучение пространственного распределения поля частиц, которое может иметь различную структуру в зависимости от расположения источников генерации частиц на решетках, их интенсивности и законов блуждания частиц. Представим, что в начальный момент времени в каждой точке решетки находилось одинаковое число частиц первого и второго типов, которые осуществляют симметричное неприводимое однородное по пространству случайное блуждание по многомерной решетке с различными коэффициентами диффузии. Пусть в каждой точке решетки закон размножения и гибели частиц описывается критическим ветвящемся блужданием с двумя типами частиц. Установлено, что если в основе процесса лежит возвратное случайное блуждание с легкими хвостами, то выжившие частицы обоих типов при больших временах будут образовывать «кластеры» вблизи положения частицы-прародительницы, причем установлена зависимость расстояния между кластерами и размерностью решетки. Эта ситуация является достаточно интересной для приложений и соответствует случаю, когда предельное распределение поля частиц не характеризуется своими моментами. С помощью подобных моделей с конечным числом начальных частиц может быть проиллюстрирована ситуация, связанная с распространением эпидемий. В этом случае частицы первого типа представляют собой инфицированные особи, а частицы второго типа — особи с выработанным иммунитетом. Предполагается, что в начальный момент времени имеется одна инфицированная особь, которая может заражать неинфицированные особи. Для инфицированных и неинфицированных особей вычислены моменты и их асимптотическое поведение для численностей частиц каждого типа в точках решетки. Предложено использовать ветвящиеся случайные блуждания для описания эволюции популяции, которая начинается с носителя аутосомной условно-летальной мутации. Для описания распределения мутантного аллеля использованы однотипные ветвящиеся случайные блуждания. Модель эволюции мутантного и немутантного аллелей представлена в терминах многотипных ветвящихся случайных блужданий. Модифицикация предложенной модели с учетом процесса рекомбинации позволила описывать летальные мутации в половых хромосомах. Для ветвящихся случайных блужданий с одним центром генерации частиц на решетке и случайным блужданием с тяжелыми хвостами (на переходные интенсивности случайного блуждания накладывается условие, приводящее к бесконечной дисперсии скачков) завершено изучение асимптотического поведения всех целочисленных моментов для критического и докритического ветвящегося случайного блуждания с тяжелыми хвостами. Техника доказательств основана в этом случае на применении тауберовых теорем и обобщении леммы Ватсона на многомерный случай, полученной участниками гранта. На основе ветвящихся случайных блужданий с конечным числом центров генерации частиц и тяжелыми хвостами продолжено исследование немарковских моделей с двумя состояниями: первое — объединяет центры генерации частиц, второе — состояния, в которых размножение невозможно. Доказаны предельные теоремы для немарковских моделей надкритических ветвящихся блужданий в неоднородной среде. Особую роль в этих исследованиях играет функция Грина переходных вероятностей случайного блуждания, характеризующая среднее время нахождения блуждающей частицы в выделенной точке, для которой получен ряд новых предельных теорем. Одна из основных задач, поставленных в рамках проекта, — отыскание условий стохастической ограниченности процессов, описывающих операционные характеристики широкого круга моделей массового обслуживания. Эта проблема решалась в предположении, что случайные процессы, определяющие функционирование системы, обладают свойством регенерации или обновления. В основе анализа два обстоятельства — сходимость регенерирующих процессов к стационарным и возможность синхронизации независимых регенерирующих потоков при некоторых условиях. Строится вспомогательная система, в которой всегда есть требования для обслуживания, и определяются условия, при которых выходящий из вспомогательной системы регенерирующий поток синхронизируется с потоком, входящим в основную систему. Тогда процесс, характеризующий качество функционирования системы, является функционалом на траекториях регенерирующего потока со стационарными приращениями. Это позволяет определить условия стабильности на основе классических методов теории восстановления, а также подходов, разработанных в последние годы участниками проекта. Доказаны условия стабильности многоканальных систем обслуживания с неоднородными приборами, в которых процесс, определяющий моменты поломок и восстановлений отдельных приборов — регенерирующий. Это предположение означает возможную зависимость моментов поломок и восстановлений отдельных приборов, что существенно обобщает класс изученных систем с ненадежными приборами. Новизна доказанных в проекте теорем в том, что они позволяют находить условия стабильности систем сложной структуры, например, с ненадежными и неоднородными приборами, систем с повторными вызовами, систем, в которых одному требованию необходимо несколько приборов, систем в тандеме и упомянутых выше иерархических сетей Джексона. Исследование систем обслуживания, в которых в моменты освобождений системы от требований прибор на случайное время становится полностью или частично недоступным, началось еще с семидесятых годов прошлого века. В последнее время системам этого класса уделяется особенно большое внимание, поскольку эти модели хорошо описывают функционирование многих реальных объектов в самых различных областях, например, таких как технические предупреждения чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера, связанного с функционированием компьютерных и коммуникационных систем, производственных и строительных объектов. Полученные в рамках проекта фундаментальные результаты позволили провести асимптотический анализ систем, описывающих число профилактических ремонтов и осмотров оборудования, проводимых управляющими компаниями жилищно-коммунального хозяйства. Страхование – это старейшая область приложения теории вероятностей. Современный период в актуарных науках характеризуется изучением систем сложной структуры и использованием продвинутых математических средств. Особую популярность приобрели модели с дискретным временем, так как во многих случаях они более точно описывают реальную ситуацию. Поэтому в рамках стоимостного подхода изучены две модели одна с дискретным, а другая с непрерывным временем. Перестрахование, дивиденды и банковские займы используются в качестве управления при решении задач оптимизации. Устойчивость моделей к малым возмущениям вероятностных распределений изучается с использованием вероятностных метрик. При надлежащей интерпретации процессов, подаваемых на вход системы и выходящих из нее, появляется возможность переходить к моделям, возникающим, например, в других приложениях теории вероятностей, таких как теория запасов, финансы, теория очередей, динамика популяций.

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".