| 1 |
1 января 2021 г.-31 декабря 2021 г. |
Математическая статистика. Случайные процессы. 2021-2025 (1) |
| Результаты этапа: Предложен новый простой критерий экспериментальной проверки наличия зависимостей между произвольным числом статистических критериев. Критерий применен к пакету статистических тестов NIST, используемому для проверки качества генераторов случайных чисел. Показано, что существуют бесконечные двоичные стационарные последовательности с энтропией, близкой к максимально возможной, но обладающие явными отличиями от бернуллиевских равновероятных последовательностей. Доказана предельная теорема для сглаженного варианта спектрального критерия равновероятности двоичной последовательности, а также найдены предельные совместные распределения некоторых статистик критериев пакета NIST. Полученные результаты опубликованы в журнале "Дискретная математика". Закончена и сдана в печать работа о больших уклонениях строго докритических ветвящихся процессов в случайной среде во второй зоне больших уклонений.). Получены новые теоремы о поведении траектории ветвящегося процесса в случайной среде при условии совершения ей большого уклонения (статья готовится к печати). Для интегральных и экстремальных функционалов от локального времени целочисленного случайного блуждания с нулевым сносом и конечной дисперсией σ², остановленного в момент первого достижения отрицательной полуоси и рассматриваемого при условии достижения им уровня n, доказаны предельные теоремы при n→∞. Получен ряд новых результатов в области моделирования графами и гиперграфами (симплексами) сложных сетей. Также получены новые границы для модулярности случайных дистанционных графов. Были найдены новые примеры бесконечных нагруженных графов, подтверждающие гипотезу, что если такой граф неустойчиво положителен, то в нем существуют возрастающие последовательности конечных подграфов, вдоль которых равновесные меры сходятся к равновесной мере исходного бесконечного графа ("правильные последовательности"), и возрастающие последовательности конечных подграфов, вдоль которых равновесные меры сходятся к нулевой мере ("неправильные последовательности»). Получено нетривиальное обобщение на многомерный случай проблемы Колмогорова-Зингера по характеризации нормального распределения. Найден критерий для проверки гипотезы о многомерном нормальном распределении с помощью инвариантной статистики. Разработана методика построения прогноза стока равнинных рек на примере реки Волги. На основании спектрального анализа, в частности периодограммы Артура Шустера, выявлены периодические составляющие стока, отражающие влияние окружающей среды на сток. |
| 2 |
1 января 2022 г.-31 декабря 2022 г. |
Математическая статистика. Случайные процессы. 2021-2025 (2) |
| Результаты этапа: Для случайного отображения конечного множества в себя найден предел вероятности того, что несколько заданных элементов множества принадлежат одной связной компоненте. Найдено новое условие слабой сходимости равновесных мер последовательности конечных подграфов бесконечного нагруженного графа (G,W) к равновесной мере этого графа. Доказаны законы больших чисел для экстремальных характеристик случайных подграфов в последовательностях графов. Доказаны новые теоремы о времени первого выхода одномерного надкритического каталитического ветвящегося случайного блуждания на растущую границу в случае, когда выполнено условие Крамера для скачка блуждания. Получена асимптотика вероятностей больших уклонений для докритических ветвящихся процессов с иммиграцией во второй зоне больших уклонений. |
| 3 |
1 января 2023 г.-31 декабря 2023 г. |
Математическая статистика. Случайные процессы. 2021-2025 (3) |
| Результаты этапа: Изучено распространение ветвящегося случайного блуждания по целочисленной решетке произвольной размерности в случае, когда множество источников размножения и гибели частиц бесконечно и имеет периодическую структуру. Опубликована работа, посвященная теории больших уклонений для двуполых ветвящихся процессов в случайной среде. Получены предварительные результаты для вероятностей больших уклонений максимальных ветвящихся процессов в случайной среде. Сдана в печать работа, посвященная математическим моделях сглаживания неоднозначности в экономической теории. Получены новые нижние оценки числа ребер в подмножествах вершин дистанционных графов специального вида и улучшены оценки чисел независимости случайных подграфов дистанционных графов. Завершено экспериментальное исследование пакета статистических критериев NIST. Были найдены предельные совместные распределения некоторых статистик критериев пакета НИСТ и их обобщений. Получены точные оценки разности функций распределения статистики критерия хи-квадрат для произвольного аргумента, а также более точные оценки в случае "умеренно большого" аргумента. Получены условия устойчивости характеризации распределений случайных величин на основе свойств линейных статистик. Сдана в печать работа по классификации пауз и их распределению в полноударной строке 4-стопного ямба. |
| 4 |
1 января 2024 г.-31 декабря 2024 г. |
Математическая статистика. Случайные процессы. 2021-2025 (4) |
| Результаты этапа: Разработан статистический критерий проверки сложной гипотезы о конечномерных распределениях случайной двоичной последовательности. Доказана функциональная предельная теорема для локального времени модуля целочисленного случайного блуждания с нулевым сносом; доказаны предельные теоремы для некоторых функционалов от этого локального времени. Завершено исследование скорости распространения популяции частиц в ветвящемся случайном блуждании с бесконечным числом периодически расположенных катализаторов. асимптотическая форма является выпуклым множеством. Соответствующие результаты сформулированы в терминах расстояния Хаусдорфа между нормированным облаком частиц и множеством, представляющим асимптотическую форму популяции. Опубликована работа с функциональной предельной теоремой о поведении траектории логарифма последовательности при условии совершения ей большого уклонения. Был получен ряд результатов о предельных совместных распределениях статистик, являющихся обобщениями статистик критериев пакета НИСТ. Описана характеризация автомодельных случайных процессов, имеющих стационарные приращения первого порядка, в терминах ковариационных функций. На примере частного случая - фрактального броуновского движения - доказана теорема об интегральном представления приращений произвольного автомодельного процесса через процесс со стационарными приращениями первого порядка. Проведено исследование критерия хи-квадрат, для зоны умеренных уклонений получены точные оценки для разности истинной и предельной функций распределения статистики критерия хи-квадрат. Получен ряд новых результатов относительно структуры случайных подграфов графов Джонсона и предложены новые гиперграфовые модели сложных сетей. |
| 5 |
1 января 2025 г.-31 декабря 2025 г. |
Математическая статистика. Случайные процессы. 2021-2025 (5) |
| Результаты этапа: Доказана теорема о времени вырождения докритической марковской линейной рекуррентной последовательности в случайной среде. Получена асимптотика вероятностей положительности марковских рекуррентных последовательностей в случайной среде. Получен аналог центральной предельной теоремы для ряда процессов с ветвлением в случайной среде. Установлена функциональная предельная теорема о сходимости при n→∞локального времени равномерного эмпирического процесса, построенного по выборке объема n, к локальному времени стандартного броуновского моста. Изучена плотность популяции частиц внутри фронта ее распространения в модели каталитического ветвящегося случайного блуждания по целочисленной решетке произвольной размерности; доказано, что число частиц в слое внутри фронта распространения популяции растет экспоненциально быстро по времени. Получены новые оценки чисел независимости случайных подграфов обобщенных графов Джонсона. Найдены необходимые и достаточные условия асимптотической независимости статистик ряда критериев пакета NIST и их обобщений; получен аналог неравенства Берри–Эссеена для функции совместного распределения статистик, используемых при проверке качества генераторов случайных чисел. Рассмотрен адаптивный критерий хи-квадрат для проверки простой гипотезы, в котором разбиение на ячейки зависит от выборки, а число ячеек стремится к бесконечности с ростом размера выборки; в случае фиксированного числа ячеек доказана теорема о сходимости распределения статистики критерий к хи-квадрат распределению с k-1 степенями свободы (k -- число ячеек). Предложен метод обобщения оценки параметра Харста фрактального броуновского движения, который позволяет «улучшать» любую состоятельную оценку параметра Харста; доказана асимптотическая нормальность и состоятельность новых оценок. |
| 6 |
1 января 2026 г.-31 декабря 2026 г. |
Математическая статистика. Случайные процессы. 2026-2029 (1) |
| Результаты этапа: - |
| 7 |
1 января 2027 г.-31 декабря 2027 г. |
Математическая статистика. Случайные процессы. 2026-2029 (2) |
| Результаты этапа: - |
