ИСТИНА

В рамках проектра планируется сформулировать и решить ряд задач теории оптимального граничного управления распределенными системами. Для этого сначала будут исследованы соостветствующие начально краевые задачи. Рассмотрение будет вестись сначала в терминах классического решения, далее в терминах обобщенного решения из пространства с первыми и вторыми обобщенными производными. Так же планируется четкая математическая постановка и исследование задачи в пространстве L2. Будут исследованы вопросы существования и единственности решения, будет разработан метод построения обобщенного решения в явном аналитическом виде. Планируется изучить как классические задачи управления смещением или силой на одном конце системы или на двух его концах при наличии нелокальных граничных условий, а также задачи с нестационарной косой производной в граничном условии. Будет изучен вопрос об управлении продольно-поперечными колебаниями. Такие процессы описываются системой линеаризованных уравнений, одно из которых содержит неоднородность в правой части. Будет найден критический момент времени, при котором существует управление, которому соответствует некоторая функция в правой части уравнения. Планируется изучить вопрос об оптимизации найденных управлений.

Как известно, уравнения смешанного типа описывают процессы трансзвуковой газовой динамики. Решение модельных задач в аналитическом виде представляют не только теоретический интерес, но и практический: лучшее понимание протекания процесса для его моделирования. При рассмотрении модельных задач были исследованы свойства базиса Риса для систем функций, возникающих при решении уравнений смешанного типа спектральным методом. Для систем также были получены биортогональные системы в явном аналитическом виде, изучены их свойства. С помощью построенных биортогональных систем было получено интегральное представление решения задачи Франкля в специальной области. В дальнейшем планируется исследовать другой класс систем, а также получить решения в аналитическом виде для более широкого класса уравнений. Ряд результатов относится к неклассической задаче Лапласа, где рассматривается краевая задача для уравнения Лапласа внутри круга и на полуплоскости (область D) и на полуплоскости, на границе которого задается граничное условие специального вида. Исследуются условия разрешимости задачи в классе регулярных гармонических функций внутри области D, принадлежащих классу функций в замыкании круга. Данная задача имеет важные приложения в механике сплошных сред и относится к проблеме моделирования адгезионных взаимодействий в механике деформируемых твердых тел. Основным результатом данных работ является построение аналитического решения в виде биортогонального ряда при некоторых специальных предположениях относительно граничной функции (ортогональность счетной тригонометрической системе). Также интересным оказывается тот факт, что решение указанной задачи имеет различные свойства в зависимости от параметра, входящего в граничное условие : решение является нерегуляризируемым при общих предположениях в точке (коэффициент при смешанной производной в граничном условии). Необходимо также отметить, что решение неклассической задачи Лапласа для полуплоскости сохраняет те же свойства (и требования для существования классического решения на граничную функцию), что свидетельствует о единой физической природе этих задач и схожих свойств материала вне зависимости от области моделирования адгезионных взаимодействий. Были впервые исследованы задачи граничного управления колебаниями системы на одном ее конце с условиями сопротивления среды на другом конце. В этом случае граничное услове представляет собой наклонную производную, имеющую постоянное значение. Был исследован случай константы, по модулю большей единицы и меньшей единицы. В этом случае удается решить в явном аналитическом виде соответствующую начально-краевую задачу. При этом обобщенное решение ищется в пространстве Соболева. Была проведена оптимизация в смысле минимизации интеграла граничной энергии.