ИСТИНА

Проект предполагает проведение исследований по нескольким темам, относящихся к теории общих операторов, а также операторов Штурма-Лиувилля и Шредингера. Анализируя классические понятия компактной подчиненности и $p$-подчиненности, А.А.Шкаликов ввел недавно новое понятие локальной подчиненности, продемонстрировав на конкретных примерах его полезность и эффективность. Цель одной из тем проекта --- доказать общие теоремы о сохранении свойств базисности корневых векторов самосопряженных и нормальных операторов с дискретным спектром при несамосопряженных локально подчиненных возмущениях. Другая тема проекта --- изучение оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом и весом, возможно индефинитным. Планируется выделить различные классы сингулярных весов-мультипликаторов, для которых получить информацию о спектре (который может быть и непрерывным). Нестандартное поведение спектра будет выявлено для индефинитных весов. Предполагается найти явные формулы для следов отрицательных степеней таких операторов и использовать эти формулы для вычисления первых собственных значений. Для регулярных операторов Штурма-Лиувилля на конечном интервале предполагается доказать теоремы о равносходимости не только в нормах пространства непрерывных функций (как делалось ранее в классических теоремах), но и в нормах различных пространств Лебега. Цель третьей темы проекта --- провести описание спектральных портретов операторов Штурма-Лиувилля и Шредингера с малым параметром при старшей производной и связать эти исследования с изучением спектральных портретов известной в гидромеханике задачей Орра-Зоммерфельда. В исследованиях на эти темы участвуют известные российские и зарубежные математики, актуальность и прикладная значимость ожидаемых результатов объясняется высокой цитируемостью работ на указанные темы и значительным интересом физиков и механиков к таким работам

he project involves research on several topics related to the theory of general operators, as well as the Sturm--Liouville and Schr\" odinger operators. Analyzing classical concepts of compact and $p$-subordinated perturbations, A. A. Shkalikov recently introduced a new concept of local subordination, demonstrating with concrete examples its usefulness and effectiveness. The aim of one of the topics of the project is to prove general theorems on preserving the basis properties of root vectors of self-adjoint and normal operators with discrete spectrum under non-self - adjoint locally subordinated perturbations. Another topic of the project is to study the Sturm--Liouville problem with a singular potential and a weight, possibly indefinite. It is planned to allocate different classes of singular weights-multipliers for which to obtain information about the spectrum (which can be continuous). Non-standard behavior of the spectrum will be revealed for indefinite weights. We assume that we find explicit formulas for traces of negative powers of such operators and use these formulas to calculate the first eigenvalues. For regular Sturm--Liouville operators on a finite interval, it is assumed to prove the equiconvergence theorems not only in the norms of the space of continuous functions (as was done earlier in classical theorems), but also in the norms of various Lebesgue spaces. The purpose of the third topic of the project is to find a description of the spectral portraits of the Sturm--Liouville and Schr\" odinger operators with a small parameter at the second derivative, and link these studies with the study of spectral portraits of the well-known in fluid mechanics Orr--Sommerfeld problem. Well-known Russian and foreign mathematicians participate in the research on these topics, the actuality and applied significance of the expected results is explained by the high citation of works on these topics and the significant interest of physicists and mechanics to such works.

1) Ожидаемые результаты по теории возмущений самосопряженных операторов операторов были сформулирован в пункте 4.1.5. Практическая значимость этих результатов спорна (хотя ядерный реактор рассчитывался с помощью разложений по собственным функциям для уравнений переноса). Прикладная значимость представляется существенной. Операторы, являющиеся возмущениями самосопряженных часто возникают в прикладных задачах и знание информации, можно ли с возмущенным оператором работать также как с самосопряженным (в частности, имеется ли возможность применять метод Фурье) является, несомненно, очень полезным. \medskip 2) Для задач с индефинитными весами предполагается получить точное описание непрерывного спектра в задаче Штурма-Лиувилля с весом из класса дискретных самоподобных мультипликаторов, действующих из соболевских пространств в дуальные. Для $n$-звенные мультипликаторы получить достаточные условия возникновения собственных значений в лакунах непрерывного спектра. Получить оценки наименьших по модулю собственных значений для индефинитных задач - как для дифференциальных операторов второго порядка, так и для дифференциальных операторов высших порядков. В первом случае планируется рассмотреть класс индефинитных сингулярных весов, включающий в себя меры со знаком. \medskip 3) Найти геометрическую форму предельных спектральных графов и формулы квантования вдоль линий этого графа для индефинитной задачи Штурма-Лиувилля с малым параметром в случае произвольных линейных и квадратичных потенциалов, а также для специальных потенциалов-полиномов 3-го и 4-го порядков. Решить эту задачу в трех случаях: на конечном отрезке, на полуоси и всей оси (в некоторых частных случаях эти задачи решены, в основном участниками проекта). Связать полученные результаты с задачей Орра-Зоммерфельда, имеющей важное значение в гидромеханике. \medskip 4) Получить результаты о равносходимости спектральных разложений по корневым функциям оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом из шкалы пространств Лебега и регулярными по Биркгофу краевыми условиями. Результаты о равносходимости имеют непосредственное применение к доказательству теорем о существовании полугруппы, построенной по оператору Штурма-Лиувилля, к получению результатов об асимптотическом поведении этой полугруппы, а также (в случае операторов на конечном отрезке) позволяют обосновывать применение метода Фурье. \medskip 5) Вычислить значения следов порядка $(-n)$ для струны с сингулярным весом и применить эти результаты к задаче о приближенном вычислении первых собственных значений. Получить точные по порядку оценки для сингулярных чисел интегральных операторов, порождаемых данной задачей. Ядерность соответствующего обратного оператора и формула следа первого порядка позволяет использовать технику разложений типа Карунена-Лоэва для изучения малых уклонений для различных случайных процессов. Построенная совсем недавно теория пар Лакса для уравнения Камасса-Хольма позволяет интерпретировать значения следов отрицательного порядка как первых интегралов соответствующего нелинейного уравнения.

%1) Участники проекта имеют большой задел при изучении задачи Штурма-Лиувилля с сингулярным самоподобным весом. %И.А.Шейпаком совместно с А.А.Владимровым разработана теория самоподобных функций в различных функциональных %пространствах. В последние 10 лет для задачи Штурма-Лиувилля с весом, являющимся обобщенной производной %квадратично-суммируемой функцией ими получен ряд результатов по спектральным свойствам и получены формулы асимтпотического поведения собственных значений. %Эти результаты обобщались как на случай дифференциальных операторов высокого порядка, так и на случай весов из %пространства мультипликаторов в пространствах Соболева с отрицательным индексом гладкости. И.А.Шейпак совместно со своим %учеником Ю.В.Тихоновым построил класс некомпактных самоподобных мультипликаторов. Задача Штурма-Лиувилля с весом из %такого класса имеет непрерывный спектр. Полученные результаты опубликованы в журналах с высоким индексом цитирования %(Математичесие заметки, Математический сборник, Известия академии наук, Proceedings of the London Mathematical Society). %2) Участники проекта только начали исследования по оценкам наименьших собственных значений для спектральных задач с %весом. Тем не менее ими уже получен ряд результатов по минимизации первого собственного значения для дифференциального %оператора высокого порядка в случае, когда вес есть обобщенная производная функции из единичной сферы пространства %функций ограниченной вариации. Есть некоторые продвижения и для весов, порождённых квадратично-суммируемыми функциями.