ИСТИНА

Проект предполагает проведение исследований по нескольким темам, относящихся к теории общих операторов, а также операторов Штурма-Лиувилля и Шредингера. Анализируя классические понятия компактной подчиненности и $p$-подчиненности, А.А.Шкаликов ввел недавно новое понятие локальной подчиненности, продемонстрировав на конкретных примерах его полезность и эффективность. Цель одной из тем проекта --- доказать общие теоремы о сохранении свойств базисности корневых векторов самосопряженных и нормальных операторов с дискретным спектром при несамосопряженных локально подчиненных возмущениях. Другая тема проекта --- изучение оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом и весом, возможно индефинитным. Планируется выделить различные классы сингулярных весов-мультипликаторов, для которых получить информацию о спектре (который может быть и непрерывным). Нестандартное поведение спектра будет выявлено для индефинитных весов. Предполагается найти явные формулы для следов отрицательных степеней таких операторов и использовать эти формулы для вычисления первых собственных значений. Для регулярных операторов Штурма-Лиувилля на конечном интервале предполагается доказать теоремы о равносходимости не только в нормах пространства непрерывных функций (как делалось ранее в классических теоремах), но и в нормах различных пространств Лебега. Цель третьей темы проекта --- провести описание спектральных портретов операторов Штурма-Лиувилля и Шредингера с малым параметром при старшей производной и связать эти исследования с изучением спектральных портретов известной в гидромеханике задачей Орра-Зоммерфельда. В исследованиях на эти темы участвуют известные российские и зарубежные математики, актуальность и прикладная значимость ожидаемых результатов объясняется высокой цитируемостью работ на указанные темы и значительным интересом физиков и механиков к таким работам.

The project involves research on several topics related to the theory of general operators, as well as the Sturm--Liouville and Schr\" odinger operators. Analyzing classical concepts of compact and $p$-subordinated perturbations, A. A. Shkalikov recently introduced a new concept of local subordination, demonstrating with concrete examples its usefulness and effectiveness. The aim of one of the topics of the project is to prove general theorems on preserving the basis properties of root vectors of self-adjoint and normal operators with discrete spectrum under non-self - adjoint locally subordinated perturbations. Another topic of the project is to study the Sturm--Liouville problem with a singular potential and a weight, possibly indefinite. It is planned to allocate different classes of singular weights-multipliers for which to obtain information about the spectrum (which can be continuous). Non-standard behavior of the spectrum will be revealed for indefinite weights. We assume that we find explicit formulas for traces of negative powers of such operators and use these formulas to calculate the first eigenvalues. For regular Sturm--Liouville operators on a finite interval, it is assumed to prove the equiconvergence theorems not only in the norms of the space of continuous functions (as was done earlier in classical theorems), but also in the norms of various Lebesgue spaces. The purpose of the third topic of the project is to find a description of the spectral portraits of the Sturm--Liouville and Schr\" odinger operators with a small parameter at the second derivative, and link these studies with the study of spectral portraits of the well-known in fluid mechanics Orr--Sommerfeld problem. Well-known Russian and foreign mathematicians participate in the research on these topics, the actuality and applied significance of the expected results is explained by the high citation of works on these topics and the significant interest of physicists and mechanics to such works.

Заявленное название темы проекта сочетается с названием <<Несамосопряженные операторы. Операторные модели в математической физике>> --- общей темы исследований, проводимых группой под руководством профессора А.А.Шкаликова на механико-математическом факультете МГУ имени М.В.Ломоносова и таким же названием научно-исследовательского семинара, который проводится в МГУ в течение нескольких последних десятилетий. В этой заявке мы выделяем несколько направлений и конкретных задач, органически связанных между собой и находящихся в рамках этой общей темы. Выбор этих задач продиктован, во-первых, их актуальностью, а во-вторых, стремлением материально поддержать молодых талантливых членов коллектива (студентов и аспирантов), которые уже вовлечены в проведение исследований и получили первые значимые результаты (которые пока еще готовятся к печати). Такая поддержка очень важна для того, чтобы удержать этих людей в науке. В данный проект мы включили следующие задачи. \medskip 1) {\it Задачи теории возмущений самосопряженных и нормальных операторов.} \medskip Имеются классические результаты в этой теории, принадлежащие М.В.Келдышу, М.Г.Крейну, Г.Ц.Гохбергу, В.И.Мацаеву , А.С.Маркусу, Б.С.Митягину и другим, позволяющие утверждать сохранение свойств (полноты, базисности и др.) корневых векторов самосопряженных операторов при несамосопряженных относительно компактных или $p$-подчиненных возмущениях. Относительно недавно А.А.Шкаликовым введены новые понятия локально подчиненных возмущений. Эти условия значительно слабее прежних условий подчиненности, поэтому работа с этими новыми понятиями должна привести к получению новых эффективных результатов. Их эффективность будет продемонстрирована на конкретных примерах как для обыкновенных дифференциальных операторов, так и для операторов с частными производными. \medskip 2) {\it Задача Штурма-Лиувилля с индефинитным весом. Индефинитные задачи для операторов высокого порядка.} \medskip Изучению индефинитной задачи Штурма-Лиувилля посвящено большое число работ начиная с начала 20-го столетия. Но особый интерес к ним возник, когда стало ясна их связь с уравнениями переноса, уравнением Фоккера--Планка, с задачами в пространствах с индефинитной метрикой и др. Появились интересные работы Р.Билса, Г.Лангера и Б.Наймана, С.Г.Пяткова, А.Фольмейера, А.Панферова и других, проясняющих красивые связи этой задачи с другими разделами анализа. В нашем проекте основное внимание будет уделено изучению задачи Штурма-Лиувилля с индефинитными сингулярными весами. Изучение таких задач было инициировано недавно участниками проекта. Для приложений большой интерес представляет задача описания класса весов, в рамках которого возможно получение общей асимптотической формулы поведения собственных значений (в случае дискретного спектра) или описание непрерывного спектра. Таких классов известно немного. Например, Вейлевскую асимптотику собственных значений гарантируют только абсолютно-непрерывные веса. Задача для сингулярных потенциалов изучена меньше и, как правило, спектральные свойства задач для такого класса весов неустойчивы: небольшое изменение веса часто приводит к существенному изменению спектра. Одним из изученных классов весов являются самоподобные (фрактальные) веса из пространства Соболева с отрицательным индексом гладкости, самоподобные мультипликаторы в пространствах Соболева с отрицательным индексом гладкости. Участники проекта уже получали формулы для асимптотического поведения собственных значений в случае компактных самоподобных мультипликаторов. Класс весов из пространства некомпактных мультипликаторов изучен меньше. А именно, участниками проекта получено полное описание непрерывного спектра в случае так называемых "двузвенных самоподобных дискретных весов". Теперь планируется изучить спектр задачи с произвольным (<<n-звенным>> самоподобным некомпактным весом-мультипликатором). Мы планируем также получить новые результаты об оценках наименьшего по модулю собственного значения спектральных задач для дифференциальных операторов как второго порядка, так и для дифференциальных операторов высших порядков в ситуации, когда вес принадлежит некоторому компактному множеству в пространстве мультипликаторов. В частности для дифференциального оператора $2n$-го порядка ставится задача об оценках наименьшего собственного значения в предположении, что вес является обобщенной производной порядка n функции из единичной сферы пространства $L_2.$ Мы планируем также изучить зависимость наименьшего по модулю собственного значения не только от выбора класса весов, но и от выбора краевых условий. \medskip 3) {\it Несамосопряженные задачи Штурма-Лиувилля с малым параметром.} Отправной точкой исследований на эту тему служат работы по исследованию уравнения Орра-Зоммерфельда с большими числами Рейнольдса (малой вязкостью). Упрощенной моделью для этого уравнения является уравнение Штурма-Лиувилля с чисто мнимым потенциалом и малым параметром при второй производной. Исследования по изучению уравнения Орра-Зоммерфельда были предприняты еще в начале 20-го столетия. Однако строгих результатов не было, только в 80-е годы, когда вычислительная техника стала позволять проводить сложные вычисления, были получены эффектные портреты локализации собственных значений задачи, когда вязкость жидкости стремится к нулю. Первые строгие результаты по объяснению природы предельных спектральных кривых были получены в работах А.А.Шкаликова, а позже в более полном изложении в работах участников проекта С.Н.Туманова и А.А.Шкаликова. В настоящее время в их последних работах получены общие результаты по этой теме, выяснена природа линий предельного спектрального графа для класса аналитических потенциалов. Однако прояснение конкретной геометрической структуры предельного спектрального графа в каждом конкретном случае требует серьезных усилий и сопряжено с новыми задачами теории аналитических и специальных функций. \medskip 4) {\it Задачи равносходимости для операторов Дирака и Штурма-Лиувилля} \medskip В рамках этого направления планируется изучить задачу равносходимости спектральных разложений по корневым функциям оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом из шкалы пространств Лебега и регулярными по Биркгофу краевыми условиями. Такие результаты являются новыми, поскольку в классической постановке изучается равномерная равносходимость. Подобная задача недавно была решена авторами для системы Дирака. \medskip 5) {\it Следы отрицательных порядков для струны с сингулярными потенциалом и весом.} \medskip Изучается весовая задача Штурма-Лиувилля на конечном отрезке с потенциалом и весом первого порядка сингулярности. Недавно авторам удалось вычислить значения следов порядка (-1) и (-2). Планируется обобщить найденные формулы на случай следов порядка (-n), а также применить эти результаты к задаче о приближенном вычислении первых собственных значений. Планируется также найти точные по порядку оценки для сингулярных чисел интегральных операторов, порождаемых данной задачей.

По всем указанным пяти основным темам проекта коллектив имеет существенные заделы, имеет признанные, широко цитируемые результаты. Доказательством этому служат работы участников проекта (часть работ за последние 5 лет мы приводим ниже в п. 4.2.2). Наиболее значимую роль, определивших направление развития тем, указанных в заявке, сыграли следующие работы членов коллектива. 1) Участники проекта имеют большой задел при изучении задачи Штурма-Лиувилля с сингулярным самоподобным весом. И.А.Шейпаком совместно А.А.Владимровым разработана теория самоподобных функций в различных функциональных %пространствах. В последние 10 лет для задачи Штурма-Лиувилля с весом, являющимся обобщенной производной %квадратично-суммируемой функцией ими получен ряд результатов по спектральным свойствам и получены формулы асимтпотического поведения собственных значений. Эти результаты обобщались как на случай дифференциальных операторов высокого порядка, так и на случай весов из %пространства мультипликаторов в пространствах Соболева с отрицательным индексом гладкости. И.А.Шейпак совместно со своим %учеником Ю.В.Тихоновым построил класс некомпактных самоподобных мультипликаторов. Задача Штурма-Лиувилля с весом из %такого класса имеет непрерывный спектр. Полученные результаты опубликованы в журналах с высоким индексом цитирования %(Математичесие заметки, Математический сборник, Известия академии наук, Proceedings of the London Mathematical Society). 2) Участники проекта только начали исследования по оценкам наименьших собственных значений для спектральных задач с %весом. Тем не менее ими уже получен ряд результатов по минимизации первого собственного значения для дифференциального %оператора высокого порядка в случае, когда вес есть обобщенная производная функции из единичной сферы пространства %функций ограниченной вариации. Есть некоторые продвижения и для весов, порождённых квадратично-суммируемыми функциями.

{\bf 4.1.8. Ожидаемые результаты реализации проекта и их прикладная значимость.} \medskip 1) Ожидаемые результаты по теории возмущений самосопряженных операторов операторов были сформулирован в пункте 4.1.5. Практическая значимость этих результатов спорна (хотя ядерный реактор рассчитывался с помощью разложений по собственным функциям для уравнений переноса). Прикладная значимость представляется существенной. Операторы, являющиеся возмущениями самосопряженных часто возникают в прикладных задачах и знание информации, можно ли с возмущенным оператором работать также как с самосопряженным (в частности, имеется ли возможность применять метод Фурье) является, несомненно, очень полезным. \medskip 2) Для задач с индефинитными весами предполагается получить точное описание непрерывного спектра в задаче Штурма-Лиувилля с весом из класса дискретных самоподобных мультипликаторов, действующих из соболевских пространств в дуальные. Для $n$-звенные мультипликаторы получить достаточные условия возникновения собственных значений в лакунах непрерывного спектра. Получить оценки наименьших по модулю собственных значений для индефинитных задач - как для дифференциальных операторов второго порядка, так и для дифференциальных операторов высших порядков. В первом случае планируется рассмотреть класс индефинитных сингулярных весов, включающий в себя меры со знаком. \medskip 3) Найти геометрическую форму предельных спектральных графов и формулы квантования вдоль линий этого графа для индефинитной задачи Штурма-Лиувилля с малым параметром в случае произвольных линейных и квадратичных потенциалов, а также для специальных потенциалов-полиномов 3-го и 4-го порядков. Решить эту задачу в трех случаях: на конечном отрезке, на полуоси и всей оси (в некоторых частных случаях эти задачи решены, в основном участниками проекта). Связать полученные результаты с задачей Орра-Зоммерфельда, имеющей важное значение в гидромеханике. \medskip 4) Получить результаты о равносходимости спектральных разложений по корневым функциям оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом из шкалы пространств Лебега и регулярными по Биркгофу краевыми условиями. Результаты о равносходимости имеют непосредственное применение к доказательству теорем о существовании полугруппы, построенной по оператору Штурма-Лиувилля, к получению результатов об асимптотическом поведении этой полугруппы, а также (в случае операторов на конечном отрезке) позволяют обосновывать применение метода Фурье. \medskip 5) Вычислить значения следов порядка $(-n)$ для струны с сингулярным весом и применить эти результаты к задаче о приближенном вычислении первых собственных значений. Получить точные по порядку оценки для сингулярных чисел интегральных операторов, порождаемых данной задачей. Ядерность соответствующего обратного оператора и формула следа первого порядка позволяет использовать технику разложений типа Карунена-Лоэва для изучения малых уклонений для различных случайных процессов. Построенная совсем недавно теория пар Лакса для уравнения Камасса-Хольма позволяет интерпретировать значения следов отрицательного порядка как первых интегралов соответствующего нелинейного уравнения.