| Результаты этапа: Основными результатами, полученными за 2017 год, является создание теории топологических дифференциальных уравнений и их решений и применение этой теории к вычислению топологических характеристик пространств модулей Делиня-Мамфорда в рамках так называемой квантовой теории особенностей. Также открыта нетривиальная связь между деформацией интегрируемой иерархии Кортевега – де Фриза (КдФ), задаваемой специальными кубическими классами Ходжа, и интегрируемой иерархии уравнений цепочки Вольтерра (называемой также разностным аналогом уравнения КдФ). Основным применением этого результата стало полное доказательство сформулированной ранее неожиданной гипотезы о “Hodge-GUE correspondence”.
Построена теория пересечений на пространстве модулей римановых поверхностей с границей и с фиксированным числом граничных компонент. Получена матричная модель, описывающая производящий ряд из чисел пересечений. Получена явная формула для бигамильтоновой структуры у DR иерархии, соответствующей произвольной конформной когомологической теории поля. Доказано, что теория пересечений с обобщённым классом Виттена в роде ноль описывается волновой функцией иерархии Гельфанда-Дикого.
Развиты подходы к построению матричных коммутирующих дифференциальных операторов нетривиальных рангов (включая нетривиальный векторный ранг) с гладкой спектральной кривой произвольного рода, а также матричных коммутирующих дифференциальных операторов с полиномиальными и эллиптическими коэффициентами. Были развиты методы изучения матричных и скалярных коммутирующих дифференциальных операторов. С помощью методов, разработанных в рамках данного проекта в 2016 году, найдены необходимые и достаточные условия на пару функций, чтобы она была решениям АКНС иерархии. Эти необходимые
и достаточные условия являются очень простыми и эффективными. Разработан
метод построения конечнозонных потенциалов Шредингера с помощью решений
АКНС иерархии. С помощью развитых в 2016 году в рамках данного проекта методов было найдено более простое доказательство известных результатов Миронова о самосопряженных коммутирующих операторах ранга 2. Доказательство Миронова опирается на сложную теорию Кричевера существования функции Бейкера-Ахиезера высокого ранга. В отличие от доказательства Миронова полученное нами доказательство вполне элементарно. Получены также результаты о разрешимости уравнений, описывающих коммутирующие скалярные обыкновенные дифференциальные операторы ранга 4 со спектральной кривой рода 1.
Получены канонические гамильтоновы редукции уравнений ассоциативности, исследованы их свойства и геометрия. В частности, получена полная классификация уравнений ассоциативности относительно наличия гамильтоновой структуры перового порядка типа Дубровина-Новикова.
Получено явное описание характеристических алгебр полудискретных и дискретных двумеризованных цепочек Тоды соответствующих матрицам Картана серий A и C. Доказана конечномерность этих алгебр как модулей над кольцом локально аналитических функций.
Найдены новые геометрические свойства римановых пространств, построенных по алгебро-геометрическим данным: построены линейно независимые и ковариантно постоянные поля нормалей. Установлена связь построенных метрик с предложенным ранее способом построения полугамильтоновых систем гидродинамического типа. Рассмотрены функции Бейкера-Ахиезера с непостоянными нормировочными коэффициентами и выделен класс диагональных плоских метрик с заранее заданным числом постоянных коэффициентов на диагонали. Построены явные примеры.
В результате исследований 2017 года полностью решена задача геометрической оптимизации собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на двумерной сфере: если ранее подобные результаты касались собственного числа с номером один, два или максимум три, то впервые эта задача решена для всех собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на сфере. Оказалось,
что n-е собственное число оптимизируется на вырожденной метрике на сфере, которая выглядит как метрика на n касающихся сферах.
|
| Результаты этапа: В работе Б.Дубровина “Approximating tau-functions by theta-functions” было показано, что логарифм произвольной тау-функции КдФ-иерархии может быть аппроксимирован, в топологии градуированных формальных рядов, логарифмическими разложениями гиперэллиптических тэта-функций, с точностью до не более чем квадратичных членов. В качестве примера построены тэта-функциональные аппроксимации тау-функции Виттена-Концевича.
Идеи этой работы получили дальнейшее развитие в работе Б.Дубровина “Algebraic spectral curves over Q and their tau-functions”. А именно, обозначим через C спектральную кривую det (w · 1 − W (z)) = 0 n × n матричного полинома W(z) с рациональными коэффициентами. При некоторых естественных предположениях относительно полинома W(z) было доказано, что определенные комбинации логарифмических производных произвольного порядка, начиная с третьего, тэта-функции кривой C, вычисленные в точке многообразия Якоби J(C), отвечающей линейному расслоению собственных векторов матрицы W(z), принимают рациональные значения.
В работе Б.Дубровина “Gromov-Witten invariants of Riemann sphere” выполненной в сотрудничестве с Di Yang и Don Zagier была строго доказана гипотетическая формула Дубровина и Di Yang для k-точечных производящих функций инвариантов Громова-Виттена римановой сферы произвольного рода и произвольной степени. Было также показано, что k-точечная производящая функция совпадает с асимптотическим разложением при ε → 0 некоторой аналитической k-точечной функции. Были также вычислены асимптотические разложения этой k-точечной функции при ε → ∞, q → 0, q → ∞. Коэффициенты полученных асимптотических разложений могут рассматриваться как новые инварианты римановой сферы.
В работе Б.Дубровина “Separation of variables for linear Lax algebras and classical r-matrices” выполненной в сотрудничестве с Т.Скрипником была создана общая теория разделения переменных для алгебраически интегрируемых гамильтоновых систем обладающих gl(n)-значными матрицами Лакса, зависящих от спектрального параметра, с линейной r-матричной пуассоновой структурой, задаваемой некоторой r-матрицей классического типа со значениями в алгебре gl(n) ⊗ gl(n). Был найден набор условий на r-матрицу, гарантирующих, что введенные Скляниным “разделяющие полиномы” задают систему канонических переменных. Созданная общая теория была применена к двум классам примеров классических r-матриц и соответствующих разделяющих полиномов. Было рассмотрено новое n-параметрическое семейство классических r-матриц, введенное Скрипником. В частности было показано, что разделяющие полиномы, введенные Diener и Дубровиным, задают полное семейство разделяющих переменных для соответствующих обобщенных моделей Годена в магнитном поле, а также в его отсутствие.
В работах А.Буряка найдено лаксово описание иерархии уравнения двуслойной жидкости (ILW hierarchy). Доказано, что теория пересечений на обобщении пространства спинорных кривых в роде ноль описывается уравнениями для волновой функции иерархии Гельфанда-Дикого. Получена геометрическая интерпретация отображения зеркальной симметрии для особенностей типа A. Для произвольного решения открытых уравнений ассоциативности удалось построить потенциал с потомками и доказать, что он удовлетворяет открытому аналогу уравнений Вирасоро.
Найдены новые применения теории матричных и скалярных коммутирующих дифференциальных операторов к дифференциальной геометрии.
Установлена связь между конкретным преобразованием алгебро-геометрических данных и некоторым классом функций Бейкера-Ахиезера. Такие функции порождают системы ортогональных координат и соответствующие диагональные плоские метрики. Также были построены явные примеры, иллюстрирующие данную конструкцию.
Для уравнений ассоциативности в случае трех примарных полей удалось построить интеграл второго порядка. Найдено рекурсионное соотношение метрик первых интегралов, даваемых схемой Ленарда-Магри, для уравнений ассоциативности в случае трех примарных полей. Построены редукции потоков, коммутирующих с системой гидродинамического типа, эквивалентной рассматриваемым уравнениям ассоциативности в случае трех примарных полей. Также, в случае четырех примарных полей удалось построить редукцию на множество стационарных точек интеграла уравнений ассоциативности.
Описаны характеристические алгебры полудискретных и чисто дискретных двумеризованных цепочек Тоды, соответствующих матрицам Картана простых алгебр Ли и доказана их конечномерность как модулей над кольцом локально-аналитических функций.
Как известно, в одномерном случае всякое преобразование Дарбу для линейного дифференциального оператора произвольного порядка раскладывается в произведение элементарных. В двумерном случае в таком виде это утверждение уже неверно. Тем не менее, на множестве преобразований Дарбу для заданного оператора можно ввести естественное отношение эквивалентности. Доказано, что в двумерном случае для дискретных и полудискретных гиперболических операторов с бесконечным рядом Лапласом в всякое проебразование Дарбу эквивалентно произведению элементарных преобразований Дарбу и классических преобразований Лапласа.
Полностью решена задача о геометрической оптимизации всех собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на двумерной сфере. Доказано, что k-е собственное число оператора Лапласа-Бельтрами на сфере для римановой метрики, такой, что площадь сферы в ней равна 1, не больше, чем 8 \pi k, и данное значение достигается в пределе на последовательности, в которой в пределе метрика вырождается в метрику на k касающихся друг друга двумерных сферах равной площади со стандартной метрикой на них.
Доказано, что существует кольцо, вложенное в трехмерную сферу, которое касается края стандартной контактной структуры вдоль края, а компонетны края которого не являются лежандрово изотопными узлами. |
