ИСТИНА

Целью данного проекта является исследование ряда нелинейных задач математической и теоретической физики с использованием современного аппарата дифференциальной геометрии, алгебраической геометрии и топологии. Аномальные волны, называемые также волнами-убийцами, в последнее время являются объектом активного изучения в нелинейной физике. Явление, когда волна большой амплитуды неожиданно возникает на сравнительно спокойном фоне, требует серьезного исследования, поскольку, в частности, такие волны в океане представляют опасность для кораблей. В оптических системах они могут стать источником трудно прогнозируемых помех. Одной из базовых моделей в нелинейной оптике является фокусирующее Нелинейное уравнение Шредингера. Поскольку оно является вполне интегрируемым при помощи обратной задачи теории рассеяния, оно может быть эффективно исследовано аналитическими методами. Однако, опыт взаимодействия с экспериментальной группой Eugenio Del Re из Университета Рим-1 в области нелинейной оптики показал, что использование известных на сегодняшний день результатов требует их существенного развития. В частности, использование аналитических решений в элементарных и аналитических функциях подразумевает специальный выбор начальных условий, что не соответствует реальной физике. Конечнозонные решения периодической проблемы затруднительно использовать из-за их сложности. С другой стороны, для специальных решений, описывающих модуляционную неустойчивость, конечнозонные формулы можно, с точностью до поправок высокого порядка, сильно упростить. Тем не менее, достаточно удобные формулы в литературе отсутствуют. Получение простых явных приближенных формул и их использование для вычисления динамики и статистики аномальных волн при достаточно малых начальных возмущениях является одной из целей проекта. Поскольку использование нелинейных режимов в волоконной оптике рассматривается как возможный путь для повышения пропускной способности существующих линий связи, построение простых моделей генерации аномальных волн в нелинейных средах может иметь приложения в данной области. Нелинейное уравнение Шредингера используется также в ряде других областей нелинейной физики. В частности, ряд ведущих ученых использует Нелинейное уравнение Шредингера в качестве модели волн в океане, однако ее применимость в настоящее время является объектом дискуссий среди специалистов. Сравнительно недавно при исследовании динамических систем на двумерных многообразиях был открыт новый тип интегрируемости, который может быть назван ``топологической интегрируемостью''. Интегрируемость такого типа описывается определенной топологией ``носителей открытых траекторий'' на двумерных многообразиях и связана со специальными свойствами слоений, задающих такие траектории. Этот тип интегрируемости был открыт при исследовании задачи С.П. Новикова о полуклассическом движении электрона на сложных поверхностях Ферми и представляет собой совершенно особое явление, связанное с топологическими ограничениями на поведение траекторий слоения в случае общего положения (С.П. Новиков, А.В. Зорич, И.А. Дынников). Задача о полуклассическом движении электрона на поверхности Ферми представляет собой при этом важнейшее приложение теории топологической интегрируемости и открывает совершенно новые подходы к исследованию геометрии сложных поверхностей Ферми как к теоретической, так и с экспериментальной точки зрения. Так, теоретическое исследование задачи о полуклассическом движении электрона в сильном магнитном поле позволяет ввести совершенно новый (бесконечный) набор параметров для произвольного закона дисперсии в кристалле (набор ``топологических квантовых чисел''), непосредственно измеряемых в исследованиях проводимости. Определенная часть таких параметров сохраняется и при ограничении дисперсионного закона на уровень Ферми и представляет собой важную характеристику электронного спектра в проводниках. Заметим, что для поверхностей Ферми сложной формы данный набор также может быть бесконечным при ограничении на уровень Ферми. Таким образом, классическая задача исследования малоразмерных динамических систем оказывается тесно связанной с задачей исследования электронного спектра в кристаллах и позволяет предложить новый подход к описанию формы таких спектров. Заметим также, что полученная сравнительно недавно полная классификация возможных электронных траекторий на произвольных поверхностях Ферми (А.В. Зорич, С.П. Царев, И.А. Дынников) позволяет напрямую связать предлагаемый теоретический подход с экспериментальными данными. В ходе выполнения проекта мы планируем построить как можно более детальное описание связи экспериментальных данных со свойствами описанных выше динамических систем и предложить ряд новых способов определения параметров сложных дисперсионных законов. В рамках проекта планируется изучение реализаций метрик Эйнштейна как метрик, индуцированных на подмногообразиях с плоской нормальной связностью в псевдоевклидовых пространствах, и связанных с ними нелинейных уравнений и геометрических структур. Планируется найти такие явные реализации для конкретных метрик Эйнштейна и построить связанные с ними нелокальные гамильтоновы структуры, порождаемые этими метриками Эйнштейна. Планируется построить нелокальные бигамильтоновы структуры, порождаемые метриками Эйнштейна, и построить связанные с ними интегрируемые иерархии. Планируется развить методы изучения подмногообразий с плоской нормальной связностью и их приложений в математической физике. Планируется развить методы спектральной геометрии в математической физике, а именно, исследовать известную гипотезу, что шар максимизирует первое собственное значение Лапласиана с граничными условиями Робена с отрицательным граничным параметром среди областей с фиксированным объемом границы. Кроме того, планируется изучить асимптотику первого собственного значения для задачи Робена с параметром, стремящимся к бесконечности, среди областей с липшицевой границей. Планируется развить методы геометрии Хантьеса и ее приложения в математической физике. Планируется развить алгебро-геометрические методы в теории уравнений Янга-Миллса и других нелинейных уравнений математической физики и дифференциальной геометрии. Целью данного проекта является исследование ряда нелинейных задач математической и теоретической физики с использованием современного аппарата дифференциальной геометрии, алгебраической геометрии и топологии.

The goal of our project is to study some nonlinear problems of mathematical and theoretical physics using the modern machinery of differential geometry, algebraic geometry and topology. Rouge waves or freak waves are now a subject of active study in the modern nonlinear physics. The phenomenon when a large amplitude wave suddenly appears on a rather calm background requires a serious investigation, because, in particular, such waves are dangerous for the ships. In optical systems such waves may result in serious perturbations. One of the basic models in nonlinear optics is the Nonlinear Schrodinger equation. It is completely integrable by the inverse scattering method, therefore it can be effectively studied using analytic methods. But our experience of scientific collaboration with the experimental group by Eugenio Del Re from the University Roma-1 demonstrated, that the use of the known results in this area requires a serious development. In particular, by using the analytic solutions in terms of elementary and elliptic functions one assumes that the initial conditions are chosen in a special way, which may be not relevant for applications to real physics. It is difficult to use the finite-gap solutions because they are too complicated. But, for special solutions describing the modulation instability, it possible to essentially simplify them modulo higher order corrections. Nevertheless, the literature does not contain sufficiently convenient formulas. One of the goals of the project is to obtain simple approximate formulas and to use them for calculation of dynamics and statistics of rouge waves for sufficiently small initial perturbations. The use of nonlinear modes in the fiber optics is now treated as a possible way for improving the transition rate in the existing communication lines, therefore simple models of rouge waves generation may have applications in this area. The Nonlinear Schrodinger equation is also used in other areas of nonlinear physics. In particular, some leading scientists use the Nonlinear Schrodinger equation as a model for the ocean waves, but the applicability of this model is under discussed. Recently, in the study of dynamical systems on two-dimensional manifolds, a new type of integrability has been discovered, which can be called ``topological integrability''. Integrability of this type is described by a certain topology of ``carriers of open trajectories'' on two-dimensional manifolds and is related to special properties of foliations, defining such trajectories. This type of integrability was discovered in the study of S.P. Novikov problem of semiclassical motion of electron on complex Fermi surfaces and represents a special phenomenon, connected with topological constraints on the behavior of trajectories of a foliation in the generic case (S.P. Novikov, A.V. Zorich, I.A. Dynnikov). At the same time, the problem of semiclassical motion of electron on the Fermi surface represents the most important application of the theory of topological integrability and gives absolutely new approaches for study the geometry of complex Fermi surfaces, both from theoretical and experimental point of view. Thus, theoretical study of the problem of semiclassical motion of electron in a strong magnetic field allows you to enter a completely new (infinite) set of parameters for an arbitrary dispersion law in a crystal (a set of ``topological quantum numbers''), directly measured in studies of the conductivity. A certain part of such parameters is retained also after the restriction of the dispersion law to the Fermi level and represents an important characteristic of the electron spectrum in conductors. Note, that for complex Fermi surfaces this set can also be infinite after the restriction to the Fermi level. In this way, classical problem of investigation of low-dimensional dynamic systems is closely related to the problem of studying the electron spectrum in crystals and allows us to propose a new approach to the description of the shape of such spectra. We also note that the recently obtained complete classification of possible electron trajectories on arbitrary Fermi surfaces (A.V. Zorich, S.P. Tsarev, I.A. Dynnikov) allows us to directly relate the proposed theoretical approach with experimental data. In the course of the project, we plan to construct as much as possible a detailed description of the connection between the experimental data with the properties of the dynamical systems described above and to propose a number of new methods for determining the parameters of complex dispersion laws. In the framework of the project, realizations of the Einstein metrics as metrics induced on submanifolds with flat normal bundle in pseudo-Euclidean spaces, and nonlinear equations and geometrical structures related to them. It is planned to find such explicit realizations for specific Einstein metrics and to construct related to them, nonlocal Hamiltonian structures generated by these Einstein metrics. It is planned to construct nonlocal bi-Hamiltonian structures generated by Einstein metrics and to construct integrable hierarchies related to them. It is planned to develop methods of studying of submanifolds with flat normal bundle and their applications in mathematical physics. It is planned to develop methods of spectral geometry in mathematical physics, namely, to investigate the well-known conjecture on the maximality of the ball among the domains with fixed volume of the boundary for the first eigenvalue of the Laplacian with Robin boundary conditions with negative boundary parameter. Also it is planned to study the asymptotics for the first Robin eigenvalue with parameter going to infinity among the domains with Lipshitz boundary. It is planned to develop methods of the Haantjes geometry and its applications in mathematical physics. It is planned to develop algebraic-geometric methods in the theory of the Yang-Mills equations and other nonlinear equations in mathematical physics and differential geometry.

Предполагается использование наработанного аппарата конечнозонной теории для исследования специального класса решений Нелинейного уравнения Шредингера и его малых возмущений с привлечение геометрии многомерных решеток и численного эксперимента. При этом специальная структура спектральных кривых, возникающая в зааче о модуляционной неустойчивости, должна позволить получить эффективные аппроксимирующие формулы, которые в дальнешем планируется сопоставить с оптическими экспериментами в нелинейных средах. Предполагается объединение методов топологии, геометрии и теории динамических систем с методами теории твердого тела. Более детально, мы предполагаем изучение связи описания свойств электронных траекторий на поверхности Ферми в терминах теории динамических систем с особенностями, проявляющимися в таких явлениях как магнитопроводимость, термолектропроводность, явление циклотронного резонанса, квантовые осцилляционные явления, явление магнитного пробоя, переходы Лифшица и др. Результатом такого подхода должно стать создание методов наиболее полного восстановления геометрии динамической системы на поверхности Ферми из экспериментальных данных при наблюдении соответствующих явлений. Восстановление данных о динамической системе на поверхности Ферми, в свою очередь, может быть использовано для определения большого числа параметров электронного спектра в кристалле. Предлагается развить подход к метрикам Эйнштейна как к метрикам на подмногообразиях с плоской нормальной связностью в плоских псевдоевклидовых пространствах. Такие вложения метрик Эйнштейна представляют большой интерес и, в частности, дают возможность использовать по отношению к этим метрикам Эйнштейна современную теорию нелокальных дифференциально-геометрических гамильтоновых структур, развитую в работах Ферапонтова, Мохова и других авторов. Алгебро-геометрические методы были успешно применены Белавиным, Захаровым, Кричевером, Матвеевым, Короткиным и другими авторами к уравнениям дуальности и другим нелинейным уравнениям математической физики и дифференциальной геометрии. Планируется развить эти алгебро-геометрические методы и применить их к изучению четырехмерных многообразий. В 2018 году планируется завершить вывод формул для алгебро-геометрических данных аппроксимируюшей спектральной кривой в предположении произвольного числа неустойчивых мод. Род кривой в данном случае будет равен $2N$, где N-число неустойчивых мод. При этом по-прежнему будет предполагаться малость параметра $N\epsilon<<1$, где $\epsilon$ - порядок величины Фурье-коэффициентов возмущения. Это условие гарантирует, что расстояние между точками ветвления из одной пары много меньше расстояния между парами. Также планируется получить математически строгие оценки на поправки со стороны устойчивых мод. Далее, для указанного класса решений планируется получить формулы для времени первого появления аномальной волны и закон рекурсии. Планируется, что ответ будет сформулирован в терминах динамики прямолинейного движения внутри многомерной решетки. Планируется провести наиболее подробный анализ типичных геометрических структур (динамических систем), возникающих на (сложных) поверхностях Ферми различных классов и описать наиболее удобные экспериментальные методы, позволяющие различать такие структуры в реальных кристаллах. Результатом исследований должно стать представление аналитических работ, описывающих связи между ключевыми параметрами динамической системы и параметрами, наблюдаемыми при исследовании явлений, упоминаемых выше. Планируется построить реализации метрики Шварцшильда как метрики на подмногообразиях с плоской нормальной связностью в плоских псевдоевклидовых пространствах. Планируется изучить возможности реализаций других важных метрик Эйнштейна как метрик на подмногообразиях с плоской нормальной связностью в плоских псевдоевклидовых пространствах. В 2019 году планируется исследовать влияние неинтегрируемых поправок на аглгебро-геометрические решения, включая поправки от дискретизации при использовании численных схем. Известно, что при наличие возмущений уравнения (например описывающих насыщение нелинейности в оптике), спектральная кривая начинает медленно эволюционировать, однако в общем случае исследование соотвествующих уравнений Уизема достаточно сложно. Мы планируем, что в данном специальном случае ответы могуть быть выписаны в достаточно эффективной форме. Планируется провести сопоставление аналитических результатов с численными расчетами и экспериментами по распространению света в нелинейных кристаллах группы Eugenio Del Re и гидродинамических экспериментах Onorato. Планируется исследование геометрии динамических систем на ряде модельных поверхностей Ферми с использованием численных методов. Результатом исследования должно стать появление наиболее подробного описания параметров динамических систем на поверхностях, представляющих важные классы Ферми поверхностей (связанные обычно с определенными классами материалов сходной структуры). Для различных реализаций метрики Шварцшильда как метрики на подмногообразиях с плоской нормальной связностью в плоских псевдоевклидовых пространствах планируется построить нелокальные дифференциально-геометрические гамильтоновы структуры, порождаемые этими метриками. Развить теорию нелокальных дифференциально-геометрических гамильтоновых структур, порождаемых метриками Эйнштейна. Викулова планирует исследовать известную гипотезу, что шар максимизирует первое собственное значение Лапласиана с граничными условиями Робена с отрицательным граничным параметром среди областей с фиксированным объемом границы. Кроме того, Викулова планирует изучить асимптотику первого собственного значения для задачи Робена с параметром, стремящимся к бесконечности, среди областей с липшицевой границей. В 2020 году планируется получение аналитического описания интегрируемой турбулентности в слабонелинейном случае, когда число неустойчивых мод велико, однако начальное возмущение достаточно мало для того, чтобы расстояние между точками ветвления в каждой паре оставалось много меньше расстояние между точками из разных пар. В этом случае мы ожидаем, что динамика описывается прямой в пространстве высокой размерности с решеткой, и какие из мод оказываются возбужденными в данный момент времени зависит от того, как точки решетки расположены относительно точки тректории. После того, как будет найдена правильная геометрическая постановка задачи, мы планируем ее исследование. Планируется провести попытки уточнения электронных спектров в материалах со сложными поверхностями Ферми, используя развитые методы анализа. Будут приложены все усилия для развития взаимодействия с экспериментальными группами с целью проведения экспериментов в специально разработанных постановках и получения более подробных данных о спектрах реальных кристаллов с помощью новых методов анализа. Предполагается описание наиболее удобных схем такого исследования для материалов различных структур. Предполагается построить нелокальные дифференциально-геометрические бигамильтоновы структуры, порождаемые метрикой Шварцшильда и другими важными метрикамии Эйнштейна, и построить отвечающие этим бигамильтоновым структурам интегрируемые иерархии. Планируется развить алгебро-геометрические методы в теории уравнений Янга-Миллса и других нелинейных уравнений математической физики и дифференциальной геометрии.

П.Г. Гриневич имеет ряд признанных результатов по использованию алгебро-геометрических методов в математической физике, включая эффективизацию тета-функциональных формул. В 2016-2017 годах П.Г. Гриневич и профессор университета Рим-1 P.M. Santini работали над следующей задачей. Одной из математических моделей аномальных волн (волн-убийц) служит фокусирующее Нелинейное уравнение Шредингера с данными Коши специального вида, для которых можно получить эффективные формулы для алгеброгеометрических данных. Нами получены формулы для случая одной неустойчивой моды, причем часть из них работает для произвольного числа неустойчивых мод. Начата совместная работа с группой Eugenio Del Re по сравнению теоретических результатов с реальным оптическим экспериментом. А.Я. Мальцев принимал самое активное участие в исследованиях, связанных с применением результатов теории динамических систем в физике твердого тела. В частности, им были введены новые топологические характеристики,наблюдаемые в проводимости нормальных металлов, описаны новые асимптотические режимы поведения проводимости в сильных магнитных полях, приведена классификация основных режимов в поведении магнитопроводимости, указана возможность описания аналитических свойств тензора проводимости на основании топологического описания носителей электронных траекторий на поверхности Ферми. Теория нелокальных дифференциально-геометрических гамильтоновых структур началась с работы Мохова и Ферапонтова о нелокальных гамильтоновых операторах гидродинамического типа, связанных с метриками постоянной кривизны, и потом была развита Ферапонтовым для нелокальных гамильтоновых операторов гидродинамического типа, порождаемых подмногообразиями с плоской нормальной связностью в плоских псевдоевклидовых пространствах. Мохову принадлежит ряд важных результатов в этой теории и ее приложениях (см. ниже список публикаций). Кроме того, Мохову принадлежат важные результаты в теории подмногообразий и ее приложениям в математической физике,