ИСТИНА

Проект представляет собой продолжение научных исследований, ведущихся на кафедре дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ в области геометрии и топологии многообразий и гамильтоновых систем. Проект включает в себя следующее. Изучение геометрии гамильтоновых систем, в том числе - вполне интегрируемых гамильтоновых систем и их инвариантов. Дальнейшее изучение минимальных заполнений и связанных с ними заполнений в смысле Громова; теории расстояний Громова-Хаусдорфа. Изучение геометрии пространства метрических компактов. Развитие теории квантования инвариантных многообразий гамильтоновых систем. Развитие теории граф-зацеплений. Изучение систем Бертрана. Изучение четностей в теории узлов и кос, задач реализуемости графов.

The project constitutes a continuation of the studies of geometry and topology of Hamiltonian dynamical systems which are conducted at the Chair of Differential Geometry and Applications of Faculty of Mathematics and Mechanics of MSU. the project includes the following. The study of geometry of Hamiltonian systems, in particular fully integrable Hamiltonian systems, and of their invariants. Further study of minimal filling in Gromov sense; theory of Gromov-Hausdorff distance. The study of geometry of metrical compacts. Development of the theory of quantization of invariant manifolds of Hamiltonian systems. Development of the theory of graph-links. The study of Bertrand systems. The study of parity theory in knot and braid theory, problems of graph realizability.

Построение бифуркационных диаграмм для систем новых биллиардных областях, их классификация. Классификация псевдоримановых многообразий с замыкающим центральным потенциалом на на них (псевдоримановых многообразий Бертрана). Получение инвариантов и критериев реализуемости графов. Построение описания топологии пространства гладких функций с заданными локальными особенностями. Описание локальных изометрий пространств с метрикой Громова и Громова-Хаусдорфа. Построение алгоритма геометрического кодирования цветных изображений.

Построена теория траекторной классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы на трехмерных изоэнергетических подмногообразиях. Инварианты интегрируемых гамильтоновых систем вычислены для ряда систем динамики твердого тела и геодезических потоков. Разработаны новые методы вычисления топологических инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем. Создана теория симметрий «атомов»-бифуркаций и обнаружен эффективный алгоритм построения бифуркаций с данной группой симметрий. Продолжено исследование натуральных механических систем Бертрана, описывающих движение частицы по двумерному риманову многообразию вращения в поле центрального гладкого потенциала. Изучены геометрические свойства периодических решений задачи Хилла, описывающей «предельное» движение Луны в плоской задаче трех тел «Солнце-Земля-Луна», где масса одного тела («Солнца») много больше масс других тел («Земли» и «Луны»). Доказано, что любая конечная группа является группой симметрий некоторого клеточного разбиения ("атома") на некоторой замкнутой ориентируемой поверхности. Получены верхние оценки для минимального рода поверхности, допускающей клеточное разбиение с заданной группой симметрий, и для минимального количества клеток такого разбиения. Получено описание топологии пространств гладких функций с заданными локальными особенностями типов Ak на компактной ориентируемой поверхности. Получена классификация особенностей отображения момента для магнитных геодезических потоков на двумерных поверхностях вращения (с магнитным полем, инвариантным относительно вращений). Построены новые инварианты, классифицирована четность, получены теоремы минимальности, найдены нереализуемые примеры. С помощью этих инвариантов получена классификация и теоремы минимальности для графов. Получены (совместно с В.О.Мантуровым) результаты об инвариантах кобордантности свободных узлов.