ИСТИНА

Основная цель - исследование фазовой топологии интегрируемых гамильтоновых систем с $n$ степенями свободы механического происхождения и их обобщений на системы с неклассическими полями, топологический анализ интегрируемых случаев динамики твердого тела в идеальной жидкости в присутствии вихревых структур.

The project presents research carried out on the phase topology of completely Liouville integrable Hamiltonian systems of mechanical origin and vortex dynamics. As integrable models we have considered: a system with three degrees of freedom describing the motion of the Kovalevskaya top in a double force field; a system with three degrees of freedom on the Lie coalgebra $e(3, 2)^{*}$, which describes the dynamics of a generalized two-field gyrostat (the integrable case found by Sokolov and Tsyganov); a system with two degrees of freedom on $e(3)$, found by V.V.Sokolov (2001) and generalizing the Kovalevskaya case; a system on the Lie algebra $so(4)$ with a general fourth-degree integral, found by M.Adler and P. van Moerbeke (1986); and a system that describes the dynamics of two vortex filaments in a Bose-Einstein condensate enclosed in a harmonic trap.

Задачами проекта являются использование и дальнейшее развитие метода критических подсистем, практическое построение стратификаций (разбиений) фазового пространства интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем с двумя и тремя степенями свободы.

1. Основой исследований при реализации научного проекта послужило понятие топологического атласа, введенное М.П.Харламовым в начале 2000-х гг. для неприводимых интегрируемых систем с тремя степенями свободы. Топологический атлас включает аналитическое описание критических подсистем полного отображения момента, каждая из которых при фиксированных физических параметрах является почти гамильтоновой системой с меньшим числом степеней свободы; классификацию оснащенных изоэнергетических диаграмм Смейла с полным описанием регулярных торов Лиувилля и их бифуркаций; определение типов всех критических точек полного отображения момента и программы-конструктора построения топологических инвариантов. Для некоторых интегрируемых задач динамики твердого тела (волчок Ковалевской в двойном поле сил, интегрируемый случай Ковалевской-Соколова, случай интегрируемости Соколова-Цыганова), интегрируемый случай М. Адлера и П. ван Моербеке удалось эффективно реализовать программу построения топологического атласа. 2. При исследовании динамики двух вихревых нитей в бозе-эйнштейновском конденсате, заключенном в гармонической ловушке, в случае вихревой пары положительной интенсивности для некоторых значений физических параметров обнаружена бифуркация трех торов в один. Для интегрируемого возмущения физического параметра отношения интенсивностей такая бифуркация оказалась неустойчивой, что привело к бифуркациям типа двух торов в один и наоборот. Наличие однопараметрической группы симметрии позволило выполнить редукцию к системе с одной степенью свободы и смоделировать указанные бифуркации лиувиллевых торов.

В проекте проведены исследования по фазовой топологии вполне интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем механического происхождения и вихревой динамики. В качестве интегрируемых моделей рассмотрены система с тремя степенями свободы, описывающая движение волчка Ковалевской в двойном поле сил; система с тремя степенями свободы на ко-алгебре Ли $e(3, 2)^{*}$, которая описывает динамику обобщенного двухполевого гиростата (случай интегрируемости Соколова-Цыганова); система с двумя степенями свободы на $e(3)$, найденной В.В.Соколовым (2001) и обобщающей случай Ковалевской; система на алгебры Ли $so(4)$ с общим интегралом четвертой степени, найденного М.Адлером и П. ван Мёрбеке (1986); система, которая описывает динамику двух вихревых нитей в Бозе-Эйнштейновском конденсате, заключенном в гармонической ловушке. В проекте аналитически получены критические подсистемы полного отображения момента, каждая из которых при фиксированных физических параметрах является почти гамильтоновой системой с меньшим числом степеней свободы; приводится классификация оснащенных изоэнергетических диаграмм Смейла с полным описанием регулярных торов Лиувилля и их бифуркаций; определены типы всех критических точек полного отображения момента. На основе полученных аналитических формул для некоторых систем выполнена визуализация бифуркаций торов Лиувилля. Для системы, которая описывает динамику двух вихревых нитей в Бозе-Эйнштейновском конденсате, выполнена редукция к системе с одной степенью свободы, благодаря которой удалось смоделировать бифуркацию трех торов в один и её интегрируемое возмущение двух торов в один и наоборот. Обнаружены новые свойства бифуркационной диаграммы, её связь с дискриминантным множеством спектральной кривой, ассоциированной с представлением Лакса. Предложен метод выделения бифуркационной диаграммы отображения момента из вещественной части дискриминантного множества спектральной кривой. При реализации проекта опубликовано более 30 работ, из них 14 публикаций в журналах из WoS и Scopus. Результаты исследований вошли в перечень основных публикаций диссертационных работ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук (июнь 2016 г., МГУ) и на соискание ученой степени доктора физико-математических наук (июнь 2016 г. и октябрь 2018 г., МАИ).