Общая теория топологических пространств, размерности и топологических операций и ее приложения к функциональному анализу и топологической алгебре. 2016-2020НИР

The general theory of topological spaces, dimension and operations and its application to functional analysis and topological algebra.

Источник финансирования НИР

госбюджет, раздел 0110 (для тем по госзаданию)

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. Общая теория топологических пространств, размерности и топологических операций и ее приложения к функциональному анализу и топологической алгебре. 2016-2020
Результаты этапа: Начато построение теории размерности и универсальности для фреймов. Введено понятие насыщенного класса фреймов, определены размерностно-подобные кардинальные инварианты и доказано существование универсальных элементов в некоторых классах фреймов. Доказано, что между любыми двумя метрическими компактами существует соответствие, оптимальное в том смысле, что для него достигается расстояние Громова-Хаусдорфа. Всякое такое соответствие порождает изометрическое вложение данных компактов в компактное метрическое пространство, при котором метрика Громова-Хаусдорфа совпадает с метрикой Хаусдорфа. Доказано, что на любой абелевой группе бесконечной мощности m существует в точности exp(exp m) неэквивалентных ограниченных хаусдорфовых групповых топологий. В предположении континуум-гипотезы определено число неэквивалентных компактных и локально компактных хаусдорфовых групповых топологий на группе (Z_p)^N. Исследуется характер изменения глубины элемента группы J(Z_2) подстановок формальных рядов при возведении его во все степени. Особый упор сделан на элементы конечного порядка.
2 1 января 2017 г.-31 декабря 2017 г. Общая теория топологических пространств, размерности и топологических операций и ее приложения к функциональному анализу и топологической алгебре (2017)
Результаты этапа: Установлено, что число гомеоморфизмов наростов счетного плотного в себе пространства не более континуума. Доказано: если некоторый нарост предкомпактной топологической группы со счётной сетью нормален, то эта группа метризуема; если хотя бы один нарост пространства $C_p(X)$ (непрерывных вещественных функций на пространстве $Х$ в топологии поточечной сходимости) нормален, то пространство $Х$ счётно. Уточнена теорема о дихотомии для топологических групп. Для произвольной топологической группы $G$ выполняется хотя бы одна из следующих альтернатив: (1) каждый нарост группы $G$ линделёфов; (2) каждый нарост группы $G$ счётно компактен; (3) каждый нарост группы $G$ не нормален. Получена теорема о дихотомии для факторпространств топологических групп по компактным подгруппам. Нарост любой компактификации такого факторпространства или псевдокомпактен, или метрически-дружелюбен. Доказано, что никакой нарост локально полного по Чеху, не полного по Чеху пространства не однороден. Если все точки нароста локально полного по Чеху пространства типа $G_\delta$, то мощность нароста не более континуума. В предположении континуум-гипотезы показано, что, если нарост топологической группы в ее Стоун-Чеховской компактификации нормален, то он линделефов. Установлена сепарабельность и метризуемость топологической группы, некоторый нарост которой совершенен. Получено сильное необходимое условие того, что тихоновское топологическое пространство является ретрактом паратопологической группы (т.е. группы с непрерывным умножением): таковым является существование некоторой бинарной операции на пространстве, которую автор ввел ранее (для других целей) и назвал $\tau$-твистером. Доказаны общие теоремы, из которых вытекает, в частности, что $\beta\omega$ не является ретрактом паратопологической группы, а также что пространство $\omega_1$ счетных ординалов не является ретрактом никакой топологической группы. Доказано также, что любой компакт счетной тесноты, являющийся ретрактом паратопологической группе, обязан удовлетворять первой аксиоме счетности, и любой наследственно нормальный компакт с этим свойством обязан удовлетворять первой аксиоме счетности во всех точках из всюду плотного множества. Решена проблема о существовании в ZFC счетной недискретной экстремально несвязной топологической группы. Доказано, что из существования счетной (и даже сепарабельной) недискретной экстремально несвязной группы вытекает существование быстрого фильтра и, следовательно, такие группы не существуют в некоторых моделях ZFC. Доказано, что любая счетная недискретная топологическая группа, фильтр окрестностей единицы в которой не является быстрым, содержит дискретное подмножество с единственной неизолированной точкой. Таким образом, существует модель ZFC, в которой любая недискретная счетная топологическая группа содержит незамкнутое дискретное подмножество с единственной предельной точкой. Доказано, что в любом счетномерном топологическом векторном пространстве над конечным полем есть дискретный базис, имеющий не более одной предельной точки. Доказано, что алгебраически однородное пространство является факторпространством omega-узкой топологической группы в том и только том случае, если на нем существует разделяющее семейство эквивариантных отображений в сепарабельные метризуемые $G$-пространства. Установлено, что факторпространство топологической группы, факторизуемой относительно польских групп, является $G$-пространством, факторизуемым относительно польских $G$-пространств. Доказано, что для любого бесконечного кардинала $\tau$ существование нульмерного $\tau$-монолитного компакта тесноты $\tau$, у которого число Линделефа пространства непрерывных вещественнозначных функций в топологии поточечной сходимости больше $\tau$, эквивалентно существованию $\tau^+$-дерева Ароншайна. Проведено детальное исследование больших множеств в группах. Изучение разных классов больших множеств в группах и полугруппах началось в начале прошлого века в топологической динамики в связи с минимальными динамическими системами и теоремами о возвращении. К таким понятиям относятся классические понятия синдетических, толстых и кусочно синдетических множеств. В последние десятилетия большие множества нашли также весьма важные применения в комбинаторике и теории ультрафильтров (арифметике ультрафильтров и топологии полугрупп ультрафильтров). В исследованиях участников проекта о существовании экстремально несвязных топологических групп естественно возник новый класс больших множеств, который авторы назвали классом жирных множеств. Подробно исследована связь этого класса с другими большими множествами, построены примеры, различающие разные классы больших множеств (в том числе и классические), описаны групповые топологии, порожденные жирными (а также синдетическими и кусочно синдетическими) множествами, охарактеризованы жирные множества в булевых группах в терминах свободных булевых топологических групп. Выявлена тесная связь между жирными множествами в булевых группах и некоторыми классами ультрафильтров. Предложена конструкция замены действующей на пространстве группы с сохранением транзитивности, ($d$-)открытости действия, сохранения фиксированной эквиравномерности. Доказано, что компактное факторпространство подгруппы произведения полных по Чеху групп с 1 аксиомой счетности метризуемо, факторпространство omega-уравновешенной группы с 1 аксиомой счетности метризуемо. Если на пространстве со свойством Бэра и с 1 аксиомой счетности транзитивно действует omega-узкая группа, то пространство сепарабельное метризуемое. Получены новые результаты по однородности подмножеств экстремально несвязных пространств и их произведений. А именно, доказано, что любое однородное компактное подпространство конечного произведения экстремально несвязных пространств конечно. Для первой степени это классический результат Фролика 1967 года. Кроме того, доказано, что любое компакт в однородном подпространстве третьей степени экстремально несвязного пространства конечен. В предположении континуум гипотезы последний результат распространяется на все конечные степени: любой компакт в однородном подпространстве конечной степени экстремально несвязных пространств конечен. Введены и изучены насыщенные классы фреймов веса $\le \tau$. Такие классы насыщены универсальными элементами (фрейм универсален для некоторого класса фреймов, если он сам принадлежит этому классу и любой фрейм из этого класса вкладывается в данный фрейм). Раасматриваются насыщенные классы трех типов. Каждый из этих классов обладает тем основополагающим свойством, что пересечение $\le \tau$ насыщенных классов является насыщенным классом и, следовательно, содержит универсальные элементы. Доказано, что классы RegFrm($\tau$) и CRegFrm($\tau$) регулярных и вполне регулярных фреймов веса $\le \tau$ насыщенны для любого из рассматриваемых типов. Отсюда следует, что в классах RegFrm($\tau, \mu$) и CRegFrm($\tau, \mu$) регулярных и вполне регулярных фреймов веса $\le \tau$ с декомпозиционным инвариантом $\mu \le \tau$ существуют универсальные фреймы. Продолжено исследование $R$-факторизуемых $G$-пространств. Дана их характеризация, установлено, что компактные факторпространства $R$-факторизуемы в том и только том случае, если они могут быть факторпространствами $\omega$-узких групп. Рассмотрена $R$- факторизуемостость $G$-пространств в категории $G$-Tych. Доказано, что $R$-факторизуемое $G$- пространство с транзитивным действием, фазовое пространство которого обладает свойством Бэра, является $R$-факторизуемым в категории $G$-Tych. Показана эквивалентность $R$-факторизуемости $C$-вложенной всюду плотной подгруппы $H$ группы $G$ и $R$-факторизуемости в категории $G$-Tych $G$-пространства $(H; G; \alpha)$, где $\alpha$ — естественное действие подгруппы на группе. Показано, что пополнения по Райкову и по Дьедонне $R$-факторизуемой группы являются $R$-факторизуемыми в категории $G$-Tych $G$-пространствами. Доказано сохранение $R$-факторизуемости в категории $G$-Tych при переходе к $G$-компактификации. Введено понятие факторпространства $G$-тихоновского пространства. Установлена его универсальность. Найдены новые достаточные условия счетной компактности пространства $X^\tau$. Рассмотрена следующая слабая форма топологического свойства нормальности: пространство называется паранормальным (в смысле Никоша), если для любой счетной дискретной системы замкнутых множеств $\{D_n: n<\omega\}$ найдется локально конечная система открытых множеств $\{U_n:n<\omega\}$ такая, что для всех $n<\omega$ выполняется $D_n\subst U_n$, и $D_m\cap U_n\ne \emptyset$ в том и только в том случае, когда $m = n$. Нетрудно заметить, что не только все нормальные пространства, но и все счетно паракомпактные пространства являются паранормальными, однако обратное неверно. Доказана следующая теорема, которая обобщает хорошо известную теорему Зенора: Если произведение $X \times Y$ является $F_\sigma$-паранормальным, то либо $X$ нормально и счетно паракомпактно, либо все счетные подмножества пространства $Y$ замкнуты. Предложен новый подход к теории обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на использовании частичных отображений. С помощью этого подхода удается аксиоматизировать значительную часть теории, что дает возможность изучать дифференциальные уравнения с разрывной правой частью, а также дифференциальные включения, с помощью методов классической (хотя и слегка модифицированной) теории. Изучения гомологических свойств множеств решений приводит к новой версии метода сдвига в теории краевых задач, которая, наряду с теорией Лере--Шаудера, является мощным средством исследования и решения краевых задач.
3 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. Общая теория топологических пространств, размерности и топологических операций и ее приложения к функциональному анализу и топологической алгебре (2018)
Результаты этапа: Показано, что если топологическая группа G плотна и C-вложена в регулярное линделёфово пространство X, то при неограничительных условиях на G или X пространство X является топологической группой, содержащей G в качестве плотной топологической подгруппы, и обе группы G и X являются R-факторизуемыми. В качестве частного случая этот результат включает описание псевдокомпактных топологических групп как плотных C-вложенных подгрупп компактных групп, полученное Комфортом и Россом в 1966 г. Также введены новые понятия sm-факторизируемых и плотно sm-факторизируемых топологических групп и установлено несколько соотношений между этими классами групп, с одной стороны, и классом R-факторизуемых групп, с другой. Топологические пространства X и Y называются 2-гомеоморфными, если существуют гомеоморфные замкнутые подпространства в X и Y такие, что их дополнения также гомеоморфны. Получены некоторые достаточные условия 2-гомеоморфности пространств. В частности, показано, что если пространство Y сопряжено с пространством X, то X и Y 2-гомеоморфны. Дополнение R^n∖F произвольного компактного подмножества в евклидовом пространстве R^n 2-гомеоморфно самому пространству R^n. Также даны некоторые необходимые условия 2-гомеоморфности двух пространств. Для этого используется, в частности, следующий факт: если X и Y являются непустыми 2-гомеоморфными пространствами, то некоторые непустые открытые подпространства U и V в X и Y соответственно гомеоморфны. Если G --- плотная подгруппа топологической группы B, то подпространство X = B\G называется групповым наростом или, коротко, g-наростом топологической группы G, а B называется групповым расширением группы G. Изучены g-наросты топологических групп. Показано, что если X является g-наростом линделёфовой топологической группы G и X содержит непустое компактное подмножество счетного характера в X, то G, X и пополнение по Райкову группы G являются линелёфовыми p-пространствами; кроме того, любой g-нарост G является линделёфовым p-пространством. Отсюда следует, что топологическая группа G является линделёфовым p-пространством, если ее непустой g-нарост является линделёфовым p-пространством. Если некоторый непустой g-нарост топологической группы G является паракомпактным p-пространством, то топологическая группа G также является паракомпактным p-пространством. Кроме того, положено начало систематическому развитию теории размерностей в классе всех, не обязательно локально компактных, топологических групп, для которых многие фундаментальные проблемы остаются нерешенными, в частности: содержит ли каждая связная польская группа гомеоморфную копию [0,1]? Существует ли однородный метризуемый компакт X такой, что группа гомеоморфизмов X двумерна? Верно ли, что для топологической группы G со счетной сетью dim G = ind G = Ind G? Имеет ли место неравенство dim (G × H) ≤dim G + dim H для произвольных топологических групп G и H, являющихся подгруппами σ-компактных топологических групп? Получены результаты в направлении решений этих проблем, сформулировано много связанных с ними задач. В рамках общей теории размерности доказан аналог результата Пасынкова о конечномерности топологических произведений для размерной функции I, определенной С. Илиадисом. Пусть F_j --- нормальная база в топологическом пространстве X_j, j = 1, 2. Тогда I(X_1 × X_2, F_1⊗F_2) ≤ ϕ(I(X_1, F_1), I(X_2, F_2)), где ϕ --- рекурсивное отношение. Как следствие получен результат о конечномерности топологических произведений компактов для большой индуктивной размерности. Исследованы неподвижные точки и точки совпадения отображений упорядоченных множеств. Доказано, что в некоторых случаях теоремы о совпадении пары отображений упорядоченных множеств могут быть получены из теорем о неподвижной точке многозначного отображения. Получены теоремы о сохранении свойства отображения упорядоченного множества иметь неподвижную точку и свойства пары отображений упорядоченных множеств иметь точку совпадения при подходящей упорядоченной гомотопии. Введено понятие согласованно цепно изотонного семейства многозначных отображений упорядоченного множества. Получены достаточные условия, гарантирующие существования общих неподвижных точек такого семейства. Кроме того, получены теоремы о существовании общих неподвижных точек коммутирующего семейства многозначных изотонных отображений. Получены достаточные условия, обеспечивающие существование точки совпадения конечного семейства отображений. Разработан итерационный метод поиска общих неподвижных точек семейства отображений упорядоченного множества. Доказаны теоремы о существовании наименьшего элемента во множестве общих неподвижных точек, для некоторых семейств отображений упорядоченного множества, и о существовании минимальных элементов во множестве точек совпадения семейства отображений упорядоченных множеств. Изучено поведение паранормальности при основных операциях над паранормальными пространствами. Топологическое пространство называется паранормальным, если любая счетная дискретная система замкнутых множеств {D_n: n = 1, 2, 3, ...} может быть расширена до локально конечной системы открытых множеств {U_n: n = 1, 2, 3 , ...}, т.е. D_n содержится в U_n для всех n и D_m ∩ U_n ≠ Ø тогда и только тогда, когда D_m = D_n. Доказано, что если X --- счетно компактное пространство, куб которого наследственно паранормален, то X метризуемо. Получены условия на гиперпространство exp(X), при которых X является компактом и метризуемым компактом; доказано, что если любое подмножество (любое F_\sigma-подмножество) функционального пространства C_p(X) в топологии поточечной сходимости паранормально, то C_p(X) совершенно нормально (нормально). Продолжены исследования по однородности топологических пространств. Скажем, что топологическая группа G реализует однородность топологического пространства X, если существует непрерывное транзитивное действие G на X. Исследование пространств, однородность которых может быть реализовано группами из некоторого фиксированного класса топологических групп, было начато А.В. Архангельским в 1987. Получены результаты об упрощении действующих групп, сохраняющих свойства действий: транзитивность, являющуюся смежным пространством и сохраняющую фиксированное равенство в случае G-тихоновского пространства. Охарактеризованы топологические пространства, которые являются смежными пространствами (сепарабельных) метризуемых групп и полных метризуемых (польских) групп. В связи с однородностью следует упомянуть дальнейшие продвижения в теории экстремально несвязных пространств. Доказано, что для любого свободного ультрафильтра p на \omega существуют однородные пространства X и Y такие, что X p-компактно, Y счетно компактно в счетной степени и произведение X x Y не псевдокомпактно, причем пространство X^\tau счетно компактно для любого \tau. Доказано также, что все компактные подмножества однородных подпространств третьей (а в предположении CH и любой конечной) степени экстремально несвязного пространства конечны. Кроме того, в предположении CH все компактные подмножества однородных подпространств счетной степени экстремально несвязного пространства метризуемы. Усилена знаменитая теорема Фролика о конечности однородных экстремально несвязных компактов, а именно, доказано, что компактные однородные подпространства конечной степени экстремально несвязного пространства конечны. Продолжено исследование булевых топологических групп (особенно групп с экстремальными топологическими свойствами) и связи их топологии с теорией ультрафильтров. В этом контексте введено понятие независимого множества в группе и изучены независимые множества в группах. Скажем, что множество X элементов группы G является k-независимым, если x_1^{\epsilon_1}x_2^{\epsilon_2}...x_k^{\epsilon_k} \ne 1 для любых \epsilon_i = \ pm1 и любых различных x_i \in X, и что множество X независимо, если оно k-независимо для любого k \ge 2. Независимые множества и их обобщения естественно возникают при изучении топологических групп с экстремальными свойствами, с одной стороны, и больших множеств в группах, с другой. Особый интерес представляет существование незамкнутых или незамкнутых дискретных независимых множеств. Доказано, что (i) из существования счетной экстремально несвязной группы, содержащей незамкнутый 4-независимый набор, вытекает подразумевает наличие быстрых (ультра)фильтров; (ii) из существования рамсеевского ультрафильтра на множестве мощности \kappa вытекает существование булевой топологической группы дисперсионного характера \kappa, в которой все независимые множества замкнуты (и дискретны); (iii) если булева топологическая группа содержит незамкнутый независимый набор и ноль не является предельной точкой для любого 3-независимого набора, то существует так называемый 3-arrow ультрафильтр; (iv) каждая булева топологическая группа содержит замкнутое дискретное максимальное независимое множество. Установлена связь между наличием незамкнутых независимых (в несколько более общем смысле) множеств в топологических группах, топологическими свойствами больших множеств в этих группах и существованием ультрафильтров типа Рамсея. Независимые множества оказываются также очень полезны при изучении кардинальных инвариантов \delta и \hat\delta топологических групп, характеризующих экстремальную несвязность топологии в данной точке.
4 1 января 2019 г.-31 декабря 2019 г. Общая теория топологических пространств, размерности и топологических операций и ее приложения к функциональному анализу и топологической алгебре (2019)
Результаты этапа:
5 1 января 2020 г.-31 декабря 2020 г. Общая теория топологических пространств, размерности и топологических операций и ее приложения к функциональному анализу и топологической алгебре (2020)
Результаты этапа:
6 1 января 2021 г.-31 декабря 2021 г. Общая теория топологических пространств, размерности и топологических операций и ее приложения к функциональному анализу и топологической алгебре (2021)
Результаты этапа:

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".