Методы геометрии и топологии 2016-2020НИР

Methods of geometry and topology 2016-2020

Источник финансирования НИР

госбюджет, раздел 0110 (для тем по госзаданию)

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. Методы геометрии и топологии 2016-2020. Этап 1
Результаты этапа: Построена полная гомотопическая классификация транзитивных алгеброидов Ли. Вычислена тривиальность препятствия Маккензи для односвзяных многообразий. Для неодносязных многообразий найдены некоторые примеры конечномерных алгебр Ли, для которых препятствие Маккензи тривиально. Найдены способы редукции тривиальности препятствия Маккензи от одной конечномерной алгебры Ли к ее факторалгебре. Проведено исследование операторов дифференцирования на некоторых групповых кольцах, состоящих из быстро убывающих функций на дискретной группе. Описан группоид операторов дифференцирования на групповом кольце быстро убывающих функций. Установлена точная последовательность, связывающая внутренние и внешние дифференцирования. Построен и изучен групоид присоединенного действия конечно представимой группы. Доказано, что всякая деривация вполне описывается характером на группоиде присоединенного действия конечно представимой группы при выполнения некоторых естественных условий финитности характера. Доказано, что алгебра внешних дериваций изоморфна пространству одномерных когомологий с финитными носителями комплекса Кэли группоида присоединенного действия конечно представимой группы. Исследованы пары отображений группы с равным отклонением от свойства быть представлением. Показано, что такие пары допускают спаривание с каноническим расслоением Мищенко, и что такие пары обобщают понятие фредгольмова представления. Получено описание группы $K_1$, аналогичное полученному ранее описанию группы $K_0$, в терминах пар не обязательно обратимых операторов, отклонения которых от унитарности равны. Исследованы пары операторов в гильбертовых пространствах, у которых отклонения от унитарности отличаются на компактные операторы. Именно, пары (A,B), для которых $A^*A-B^*B$, $AA^*-BB^*$, $AA^*A-BB^*B$ компактны. Образы $A$ и $B$ в алгебре Калкина $Q$ задают элемент группы $K_1(Q)$. Доказано, что для таких пар гильбертово пространство раскладывается в ортогональную прямую сумму двух слагаемых, $H_1$ и $H_2$, на первом из которых $A$ и $B$ почти совпадают (совпадают с любой заданной наперед точностью), а на втором – обратимы по модулю компактных операторов. Это позволяет определить относительный индекс для таких пар операторов как разность индексов ограничений $A$ и $B$ на $H_2$. Доказано, что этот относительный индекс не зависит от выбора разложения исходного гильбертова пространства в прямую сумму. Для любой кокстеровской конфигурации гиперплоскостей рассматриваются коммутативные подалгебры соответствующей алгебры голономии, называемые подалгебрами Годена. Доказано, что замыкание главной серии таких подалгебр задает гладкое проективное подмногообразие в грассманиане изоморфное компактификации Де Кончини Прочези проективизации дополнения к гиперплоскостям, известной как замечательная модель. В работе П.Г. Гриневича и С.П. Новикова 1988 года по теории рассеяния при фиксированной отрицательной энергии было указано, что для энергий выше основного состояния возникает задача для обобщенных аналитических функций с потенциалами, имеющими особенности на контурах, причем были найдены условия, при которых пространство локально мероморфных решений такое же, как пространство локальных решений в регулярном случае. До недавнего времени не удавалось найти адекватного аналитического подхода к этой проблеме. В недавней работе Тайманова была предложена идея использования преобразования Мутара для двумерных операторов Дирака. В работе Тайманова и Царева преобразования Мутара было использовано для исследования сингулярных операторов Шредингера. Отталкиваясь от этих результатов было показано, что в теории обобщенных аналитических функций в смысле Векуа-Берса действует преобразование Мутара, причем класс особенностей (по крайней мере, в точках общего положения) которые возникают из регулярных преобразований Мутара, или, что эквивалентно, могут быть локально устранены преобразованием Мутара в точности совпадает с введенным П.Г. Гриневичем и С.П. Новиковым 1988 году. По-видимому, этот класс является двумерным аналогом класса спектрально-мероморфных операторов, ввдеденого и исследованного в недавних работах П.Г. Гриневича и С.П. Новикова.
2 1 января 2017 г.-31 декабря 2017 г. Методы геометрии и топологии 2016-2020. Этап 2
Результаты этапа: Основными инструментами нашего исследования были k-пояса граней многогранника и простого разбиения диска, а также операции перестройки многогранников и разбиений диска. k-поясом называется циклическая последовательности k граней с пустым общим пересечением, в которой грани смежны тогда и только тогда, когда следуют друг на другом. В работах Е.М. Андреева 1970 года k-пояс называется k-угольным призматическим элементом. Простым разбиением диска мы называем разбиение 2-мерного круга на многоугольники, задаваемое простым связным плоским графом, все грани которого ограничены простыми циклами из не менее чем трёх рёбер, которые для разный граней либо не пересекаются, либо пересекаются по ребру. Примером простого разбиения диска является фрагмент простого 3-многогранника -- часть многогранника, ограниченная простым рёберным циклом. Мы доказываем, что каждое простое разбиение диска можно получить из простейших разбиений, состоящих из одной, двух или трёх граней с общей вершиной при помощи операций: A_1 -- связной суммы вдоль граней, A_2 -- связной суммы вдоль пар граней и A_3 -- добавления пояса вокруг разбиения. Множество простых разбиений диска на не более чем 6-угольные обозначим D_6. Оно замечательно тем, что если D лежит в D_6 и П(D)=3p_3+2p_4+p_5<= 6, где p_k -- число k-угольников, то число m_3 вершин валентности 3 на границе диска не уменьшается при операциях. В частности из этого следует известный результат Дж. Борнхёфта, Г. Бинкмана и Дж. Греинуса (2003), что простых разбиений диска на не более чем 6-угольные грани с П(D)<5 и фиксированным числом m_3(D) конечно. Набор разбиений диска называется характеристическим для семейства многогранников из некоторого класса, если многогранник из класса принадлежит семейству тогда и только тогда, когда он содержит фрагмент из набора. Была получена индуктивная конструкция конечных наборов Q_i разбиений диска из D_6 c m_3(D)=i и П(D)=6 и конструкция семейств многогранников P_i, лежащих в P_6, поверхность которых получается добавлением набора i-поясов 6-угольников к разбиению из Q_i и приклеиванием вдоль границы ещё одного разбиения из Q_i. Мы доказываем, что объединение всех наборов Q_j, j<=k, является характеристическим для семейства P_k в классе P_6. Мы показываем, что все многогранники в P_i, кроме конечного числа, являются обобщёнными нанотрубками и любой фуллерен принадлежит хотя бы одному семейству П_i. Для эндоморфизмов полициклических групп с конечным числом Райдемайстера доказана скрученная теорема типа Бернсайда-Фробениуса. Именно, пусть f:G->G - эндоморфизм полициклической группы, а R(f) - его число Райдемайстера, т.е. число классов скрученной сопряженности g ~ xgf(x^{-1}). Пусть F(f) - число таких классов r неприводимых унитарных конечномерных представлений G, что r эквивалентно rf. Доказано, что если R(f) конечно, то R(f)=F(f). При некоторых дополнительных условиях теорема верна и для почти-полициклических групп. Следует отметить, что примеров эндоморфизмов с конечным числом Райдемайстера несравненно больше, чем автоморфизмов (этот случай был доказан нами несколько лет назад). В частности, у любой группы имеется эндоморфизм с конечным числом Райдемайстера. Используя замеченную нами на предыдущем этапе возможность дать определение группы $K_1$ для С*-алгебр, основываясь не на обратимых элементах, а на парах элементов с равным отклонением от обратимости, мы определили относительный индекс для сбалансированных пар псевдодифференциальных операторов, символы $s_1$ и $s_2$ которых удовлетворяют условиям $(s_i^*s_i-1)(s_1-s_2)=0$, $i=1,2$ (или более общим условиям $\|(s_i^*s_i-1)(s_1-s_2)\|<\epsilon$, где $\epsilon$ достаточно мало). Такие символы не обязаны быть эллиптическими, а операторы не обязаны быть фредгольмовыми, однако гильбертово пространство, в котором они действуют, допускает разложение в прямую сумму двух подпространств, на первом из которых операторы почти совпадают, а ограничения на второе – фредгольмовы. Разность индексов указанных ограничений не зависит от способа разложения в прямую сумму. Доказано, что этот относительный индекс сбалансированной пары совпадает с топологическим индексом, определяемым парой символов. Доказательство этой теоремы об индексе основано на наблюдении, что для сбалансированной пары оператор с символом $1+s_2^*(s_1-s_2)$ является эллиптическим, и его индекс равен относительному индексу исходной пары операторов. Показано, что К-теория С*-алгебр может быть определена не как классы эквивалентности пар проекторов, а как классы более общих пар элементов. Именно, пусть $a,b$ - самосопряженные матрицы с коэффициентами в данной С*-алгебре, для которых $f(a)=f(b)$ для любого многочлена $f$, удовлетворяющего условию $f(0)=f(1)=1$. Тогда классы гомотопической эквивалентности таких пар определяют группу $K_0$ данной С*-алгебры. Замена проекторов на немного более общие образующие позволяет расширить область применимости ряда конструкций, в частности, в тех, где используются гомоморфизмы С*-алгебр, их можно заменить на более общие отображения. Методы, использованные при доказательстве, стандартны, и этот результат мог быть получен пол-века назад, однако такая возможность замечена не была до последнего времени. Топологическая сложность, введенная М.Фарбером, является полезным гомотопическим инвариантом, описывающим сложность алгоритма движения в данном конфигурационном пространстве. Поскольку в квантовой механике конфигурационные пространства имеют некоммутативный характер, этот инвариант было полезно обобщить на некоммутативные объекты. Мы это сделали, т.е. определили топологическую сложность для общих С*-алгебр. Показано, что для коммутативных С*-алгебр наше определение совпадает с определением Фарбера. Для ряда С*-алгебр и для некоторых классов С*-алгебр топологическую сложность удалось вычислить. Из-за некоммутативности, топологическая сложность часто равна бесконечности, однако удалось найти нетривиальные примеры, для которых топологическая сложность равна 2.
3 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. Методы геометрии и топологии 2016-2020. Этап 3
Результаты этапа:
4 1 января 2019 г.-31 декабря 2019 г. Методы геометрии и топологии 2016-2020. Этап 4
Результаты этапа:
5 1 января 2020 г.-31 декабря 2020 г. Методы геометрии и топологии 2016-2020. Этап 5
Результаты этапа:
6 1 января 2021 г.-31 декабря 2021 г. Методы геометрии и топологии 2021.
Результаты этапа:

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".