В связи с техническими работами в центре обработки данных, возможность загрузки и скачивания файлов временно недоступна.
 

Методы геометрии и топологии 2016-2020НИР

Methods of geometry and topology 2016-2020

Источник финансирования НИР

госбюджет, раздел 0110 (для тем по госзаданию)

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. Методы геометрии и топологии 2016-2020. Этап 1
Результаты этапа: Построена полная гомотопическая классификация транзитивных алгеброидов Ли. Вычислена тривиальность препятствия Маккензи для односвзяных многообразий. Для неодносязных многообразий найдены некоторые примеры конечномерных алгебр Ли, для которых препятствие Маккензи тривиально. Найдены способы редукции тривиальности препятствия Маккензи от одной конечномерной алгебры Ли к ее факторалгебре. Проведено исследование операторов дифференцирования на некоторых групповых кольцах, состоящих из быстро убывающих функций на дискретной группе. Описан группоид операторов дифференцирования на групповом кольце быстро убывающих функций. Установлена точная последовательность, связывающая внутренние и внешние дифференцирования. Построен и изучен групоид присоединенного действия конечно представимой группы. Доказано, что всякая деривация вполне описывается характером на группоиде присоединенного действия конечно представимой группы при выполнения некоторых естественных условий финитности характера. Доказано, что алгебра внешних дериваций изоморфна пространству одномерных когомологий с финитными носителями комплекса Кэли группоида присоединенного действия конечно представимой группы. Исследованы пары отображений группы с равным отклонением от свойства быть представлением. Показано, что такие пары допускают спаривание с каноническим расслоением Мищенко, и что такие пары обобщают понятие фредгольмова представления. Получено описание группы $K_1$, аналогичное полученному ранее описанию группы $K_0$, в терминах пар не обязательно обратимых операторов, отклонения которых от унитарности равны. Исследованы пары операторов в гильбертовых пространствах, у которых отклонения от унитарности отличаются на компактные операторы. Именно, пары (A,B), для которых $A^*A-B^*B$, $AA^*-BB^*$, $AA^*A-BB^*B$ компактны. Образы $A$ и $B$ в алгебре Калкина $Q$ задают элемент группы $K_1(Q)$. Доказано, что для таких пар гильбертово пространство раскладывается в ортогональную прямую сумму двух слагаемых, $H_1$ и $H_2$, на первом из которых $A$ и $B$ почти совпадают (совпадают с любой заданной наперед точностью), а на втором – обратимы по модулю компактных операторов. Это позволяет определить относительный индекс для таких пар операторов как разность индексов ограничений $A$ и $B$ на $H_2$. Доказано, что этот относительный индекс не зависит от выбора разложения исходного гильбертова пространства в прямую сумму. Для любой кокстеровской конфигурации гиперплоскостей рассматриваются коммутативные подалгебры соответствующей алгебры голономии, называемые подалгебрами Годена. Доказано, что замыкание главной серии таких подалгебр задает гладкое проективное подмногообразие в грассманиане изоморфное компактификации Де Кончини Прочези проективизации дополнения к гиперплоскостям, известной как замечательная модель. В работе П.Г. Гриневича и С.П. Новикова 1988 года по теории рассеяния при фиксированной отрицательной энергии было указано, что для энергий выше основного состояния возникает задача для обобщенных аналитических функций с потенциалами, имеющими особенности на контурах, причем были найдены условия, при которых пространство локально мероморфных решений такое же, как пространство локальных решений в регулярном случае. До недавнего времени не удавалось найти адекватного аналитического подхода к этой проблеме. В недавней работе Тайманова была предложена идея использования преобразования Мутара для двумерных операторов Дирака. В работе Тайманова и Царева преобразования Мутара было использовано для исследования сингулярных операторов Шредингера. Отталкиваясь от этих результатов было показано, что в теории обобщенных аналитических функций в смысле Векуа-Берса действует преобразование Мутара, причем класс особенностей (по крайней мере, в точках общего положения) которые возникают из регулярных преобразований Мутара, или, что эквивалентно, могут быть локально устранены преобразованием Мутара в точности совпадает с введенным П.Г. Гриневичем и С.П. Новиковым 1988 году. По-видимому, этот класс является двумерным аналогом класса спектрально-мероморфных операторов, ввдеденого и исследованного в недавних работах П.Г. Гриневича и С.П. Новикова.
2 1 января 2017 г.-31 декабря 2017 г. Методы геометрии и топологии 2016-2020. Этап 2
Результаты этапа: Основными инструментами нашего исследования были k-пояса граней многогранника и простого разбиения диска, а также операции перестройки многогранников и разбиений диска. k-поясом называется циклическая последовательности k граней с пустым общим пересечением, в которой грани смежны тогда и только тогда, когда следуют друг на другом. В работах Е.М. Андреева 1970 года k-пояс называется k-угольным призматическим элементом. Простым разбиением диска мы называем разбиение 2-мерного круга на многоугольники, задаваемое простым связным плоским графом, все грани которого ограничены простыми циклами из не менее чем трёх рёбер, которые для разный граней либо не пересекаются, либо пересекаются по ребру. Примером простого разбиения диска является фрагмент простого 3-многогранника -- часть многогранника, ограниченная простым рёберным циклом. Мы доказываем, что каждое простое разбиение диска можно получить из простейших разбиений, состоящих из одной, двух или трёх граней с общей вершиной при помощи операций: A_1 -- связной суммы вдоль граней, A_2 -- связной суммы вдоль пар граней и A_3 -- добавления пояса вокруг разбиения. Множество простых разбиений диска на не более чем 6-угольные обозначим D_6. Оно замечательно тем, что если D лежит в D_6 и П(D)=3p_3+2p_4+p_5<= 6, где p_k -- число k-угольников, то число m_3 вершин валентности 3 на границе диска не уменьшается при операциях. В частности из этого следует известный результат Дж. Борнхёфта, Г. Бинкмана и Дж. Греинуса (2003), что простых разбиений диска на не более чем 6-угольные грани с П(D)<5 и фиксированным числом m_3(D) конечно. Набор разбиений диска называется характеристическим для семейства многогранников из некоторого класса, если многогранник из класса принадлежит семейству тогда и только тогда, когда он содержит фрагмент из набора. Была получена индуктивная конструкция конечных наборов Q_i разбиений диска из D_6 c m_3(D)=i и П(D)=6 и конструкция семейств многогранников P_i, лежащих в P_6, поверхность которых получается добавлением набора i-поясов 6-угольников к разбиению из Q_i и приклеиванием вдоль границы ещё одного разбиения из Q_i. Мы доказываем, что объединение всех наборов Q_j, j<=k, является характеристическим для семейства P_k в классе P_6. Мы показываем, что все многогранники в P_i, кроме конечного числа, являются обобщёнными нанотрубками и любой фуллерен принадлежит хотя бы одному семейству П_i. Для эндоморфизмов полициклических групп с конечным числом Райдемайстера доказана скрученная теорема типа Бернсайда-Фробениуса. Именно, пусть f:G->G - эндоморфизм полициклической группы, а R(f) - его число Райдемайстера, т.е. число классов скрученной сопряженности g ~ xgf(x^{-1}). Пусть F(f) - число таких классов r неприводимых унитарных конечномерных представлений G, что r эквивалентно rf. Доказано, что если R(f) конечно, то R(f)=F(f). При некоторых дополнительных условиях теорема верна и для почти-полициклических групп. Следует отметить, что примеров эндоморфизмов с конечным числом Райдемайстера несравненно больше, чем автоморфизмов (этот случай был доказан нами несколько лет назад). В частности, у любой группы имеется эндоморфизм с конечным числом Райдемайстера. Используя замеченную нами на предыдущем этапе возможность дать определение группы $K_1$ для С*-алгебр, основываясь не на обратимых элементах, а на парах элементов с равным отклонением от обратимости, мы определили относительный индекс для сбалансированных пар псевдодифференциальных операторов, символы $s_1$ и $s_2$ которых удовлетворяют условиям $(s_i^*s_i-1)(s_1-s_2)=0$, $i=1,2$ (или более общим условиям $\|(s_i^*s_i-1)(s_1-s_2)\|<\epsilon$, где $\epsilon$ достаточно мало). Такие символы не обязаны быть эллиптическими, а операторы не обязаны быть фредгольмовыми, однако гильбертово пространство, в котором они действуют, допускает разложение в прямую сумму двух подпространств, на первом из которых операторы почти совпадают, а ограничения на второе – фредгольмовы. Разность индексов указанных ограничений не зависит от способа разложения в прямую сумму. Доказано, что этот относительный индекс сбалансированной пары совпадает с топологическим индексом, определяемым парой символов. Доказательство этой теоремы об индексе основано на наблюдении, что для сбалансированной пары оператор с символом $1+s_2^*(s_1-s_2)$ является эллиптическим, и его индекс равен относительному индексу исходной пары операторов. Показано, что К-теория С*-алгебр может быть определена не как классы эквивалентности пар проекторов, а как классы более общих пар элементов. Именно, пусть $a,b$ - самосопряженные матрицы с коэффициентами в данной С*-алгебре, для которых $f(a)=f(b)$ для любого многочлена $f$, удовлетворяющего условию $f(0)=f(1)=1$. Тогда классы гомотопической эквивалентности таких пар определяют группу $K_0$ данной С*-алгебры. Замена проекторов на немного более общие образующие позволяет расширить область применимости ряда конструкций, в частности, в тех, где используются гомоморфизмы С*-алгебр, их можно заменить на более общие отображения. Методы, использованные при доказательстве, стандартны, и этот результат мог быть получен пол-века назад, однако такая возможность замечена не была до последнего времени. Топологическая сложность, введенная М.Фарбером, является полезным гомотопическим инвариантом, описывающим сложность алгоритма движения в данном конфигурационном пространстве. Поскольку в квантовой механике конфигурационные пространства имеют некоммутативный характер, этот инвариант было полезно обобщить на некоммутативные объекты. Мы это сделали, т.е. определили топологическую сложность для общих С*-алгебр. Показано, что для коммутативных С*-алгебр наше определение совпадает с определением Фарбера. Для ряда С*-алгебр и для некоторых классов С*-алгебр топологическую сложность удалось вычислить. Из-за некоммутативности, топологическая сложность часто равна бесконечности, однако удалось найти нетривиальные примеры, для которых топологическая сложность равна 2.
3 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. Методы геометрии и топологии 2016-2020. Этап 3
Результаты этапа: Исследована локально ограниченная С*-алгебра операторов гильбертова пространства, которые аппроксимируются операторами с матрицами, в которых число ненулевых элементов в каждой строке и в каждом столбце равномерно ограничено. Показано, что эта С*-алгебра не является алгеброй фон Неймана, что для нее выполнена теорема Кюйпера, т.е. ее группа обратимых элементов стягиваема, а также найден ее наибольший идеал, который состоит из операторов с матрицами, элементы которых стремятся к нулю. Рассмотрен класс аппроксимативно равномерно ограниченных, локально ограниченных бесконечных графов, нормализованный лапласиан которых принадлежит равномерно ограниченной С*-алгебре. Показано, что, наряду с равномерно ограниченными графами, этот класс содержит также ряд других графов, обладающих тем или иным свойством регулярности. В частности, в него входят деревья с медленным ростом и дизъюнктные объединения полных графов возрастающего конечного размера, а графы, обладающие вершинами большой валентности, рядом с которыми имеется много вершин малой валентности, в этот класс не входят. Введены и исследованы две версии определения алгебр Роу для дискретных пространств без условия ограниченной геометрии, определенные как прямые пределы - в одном случае, по подпространствам ограниченной геометрии, в другом - по метрикам ограниченной геометрии, доминирующим данную. Исследована связь свойств этих версий алгебры Роу с геометрическими свойствами пространств, в частности, со свойством Хигсона-Роу. Показано, что для дискретного метрического пространства, расстояния между любыми двумя точками которого равны 1, первая версия дает алгебру компактных операторов, а вторая - равномерно ограниченную С*-алгебру. В работах Б.Н.Делоне и Н.П.Долбилина была заложена математическая теория, описывающая принцип кристаллообразования. В основе лежит идея, что локальные условия одинаковости окрестностей атомов влекут глобальную регулярность кристалла. Множеством Делоне X с параметрами (r,R) называется точечное множество в d-мерном евклидовом пространстве, такое что для любой точки пространства открытый шар радиуса r с центром в этой точке содержит не более одной точки из X, а замкнутый шар радиуса R содержит не менее одной точки из X. t-кластером точки x из X называется множество всех точек в X, лежащих от неё на расстоянии не более, чем t. Кластеры точек x и y называются эквивалентными, если существует изометрия, переводящая x в y и один кластер в другой. Множество Делоне называется правильным, если для любых двух его точек существует изометрия пространства, переводящая одну точку в другую, а множество X в себя. Радиусом правильности множеств Делоне в d-мерном пространстве называется наименьший параметр t, такой что эквивалентность любых t-кластеров множества X влечёт правильность множества X. Классический результат Н.П.Долбилина и М.И.Штогрина утверждает, что радиус правильности множеств Делоне на плоскости не превосходит 4R, а в пространстве - 10R. Известен результат о том, что радиус правильности существует в каждой размерности. До недавнего времени лучшей нижней оценкой радиуса правильности в d-мерном пространстве была 4R. Мы показываем, что верна более сильная оценка 2dR. В.В. Батыревым было построено семейство гиперповерхностей Калаби–Яу, двойственных к первому классу Чженя в торических многообразиях Фано. Используя эту конструкцию, мы вводим семейство многообразий Калаби–Яу, классы SU-бордизма которых порождают кольцо специальных унитарных бордизмов. Мы также явно описываем многообразия Калаби–Яу, представляющие мультипликативные образующие кольца SU-бордизмов в малых размерностях.
4 1 января 2019 г.-31 декабря 2019 г. Методы геометрии и топологии 2016-2020. Этап 4
Результаты этапа: Начато исследование полуторалинейных форм в гильбертовых модулях над С*-алгебрами. В двух случаях - если С*-алгебра состоит из компактных операторов и если она является алгеброй фон Неймана - доказан аналог теоремы Лакса-Милграма о представимости полуторалинейной формы в виде скалярного произведения. В недавнем обзоре А.Ю.Веснина сформулирован результат о том, что каждый трёхмерный идеальный прямоугольный гиперболический многогранник комбинаторно получается из k-антипризмы, k>=3 при помощи операций скручивания рёбер. Нами показано, что достаточно использовать так называемые крайние скручивания рёбер, причём если многогранник не является k-антипризмой, то его можно получить только из 4-антипризмы. Высказана гипотеза об изменении объёма при таких операциях. Около двадцати лет назад В.В.Фоком была введена некоторая функция, имеющая отношение к числам Маркова. Была найдена связь этой функции со стабильной нормой Федерера-Громова и с бета-функцией Матера. При помощи изучения гиперболических метрик и связей с длинами простых геодезических на проколотых поверхностях показано, что эта функция дифференцируема в каждой иррациональной точке и не дифференцируема в рациональных точках.
5 1 января 2020 г.-31 декабря 2020 г. Методы геометрии и топологии 2016-2020. Этап 5
Результаты этапа: Геометрическое описание когомологий Хохшильда и деривации групповых алгебр. В литературе хорошо известны когомологии Hk() дискретной группы  как классические когомологии CW-комплекса Эйленберга-Маклейна K(,1). Последнее пространство единственным образом с точностью до гомотопической эквивалентности определяется своими гомотопическими свойствами, которые заключаются в том, что все гомотопические группы, кроме фундаментальной, равны нулю, а фундаментальная группа равна . Эти группы когомологий были введены в 1947 году Эйленбергом и Маклейном. Они дали определение этих когомологий в более общем случае для когомологий с коэффициентами в некотором модуле G над группой , т.е. над групповой алгеброй R[], т.е. как когомологии комплекса Эйленбера-Маклейна в локальной системе коэффициентов, которое задается действием группы  в модуле G. По-другому можно определять эти когомологии как группы гомологий коцепей, которые построены как сечения на остовах пространства комплекса Эйленберга-Маклейна в плоском расслоении G, построенном при помощи функций склейки, задаваемых действием группы  в модуле G. Имеется второй подход к изучению когомологий групповых алгебр R[G] - когомологии Хохшильда, которые были определены двумя годами ранее. Когомологии Хохшильда представляют более общую конструкцию, в которой рассматриваются так называемые бимодули алгебры R[G] и их производные функторы Ext(R[G], M), для которых до сих пор не было известно никакой геометрической интерпретации. Как когомологии Эйленберга-Маклейна, так и когомологии Хохшильда имеют чисто алгебраическую мотивацию с помощью построения когомологий в виде производных функторов Ext. Однако когомологии Хохшильда имеют дополнительную мотивацию, которая заключается в том, что имеется интерпретация одномерных когомологий Хохшильда как операторов дериваций групповых алгебр (внешних дериваций), которая является основой для построения некоммутативного аналога дифференциального исчисления. Дифференциальное исчисление возникло на многообразиях в виде теории индекса эллиптических операторов. Эта задача была впервые поставлена И.М. Гельфандом в 1960 году. А уже в 1962 году была опубликована известная работа Атья-Зингера, в которой была приведена формула, позволяющая вычислять индекс эллиптического псевдодифференциального оператора на компактном многообразии через гомотопические инварианты. Однако задача вычисления индекса эллиптических операторов на некомпактных многообразиях до сих пор полностью не выяснена. Более или менее что-то определенное можно сказать только в случае, когда в роли многообразия выступает Rn. Еще в 1970 году В.И.Грушин рассмотрел случай эллиптических операторов на евклидовом пространстве Rn, символы операторов на котором стабилизируются на бесконечности. Многообразие Rn хорошо тем, что на нем свободно действует дискретная группа Zn, причем фактор пространство этого действия является n-мерным тором, который является компактным многообразием. Этот факт позволил в прежних работах Арутюнова и Мищенко свести задачу изучения псевдодифференциальных операторов на некомпактном многообразии Rn к задаче на компактном многообразии удвоенной размерности. Изложенная редукция может быть распространена на случай некомпактных многообразий M, на которых свободно и кокомпактно действует дискретная группа G. Исчисление псевдодифференциальных операторов на многообразии M может сводиться к компактному многообразию и векторному расслоению над ним со слоями C[Gx] как левыми модулями над групповой алгеброй C[G]. Поэтому одной из задач такого исчисления естественно является описание дифференциальных операторов первого порядка, в частности дериваций на групповой алгебре C[G]. Для геометрического описания внешних дериваций ключевой конструкцией служит построение группоида Gr. С каждой группой G мы связываем группоид Gr присоединенного действия группы G, и показываем, что всякая деривация алгебры C[G] однозначно задается аддитивной функцией на группоиде Gr, которая удовлетворяет некоторым естественным условиям финитности. Эта конструкция обобщается на случай (ко)гомологий Хохшильда произвольных размерностей. Для этого следует заменить комплекс Кэли группоида Gr на классифицирующее пространство этого группоида Gr. Для этого мы предлагаем универсальный путь описания как гомологий, так и когомологий Хохшильда. Гомологии Хохшильда групповой алгебры R[G] совпадают с гомологиями классифицирующего пространства BGr. Когомологии Хохшильда при этом идентифицируются с когомологиями этого пространства, но с условием некоторой финитности для коцепей на пространстве BGr. Подробное изложение можно найти в работах [A.S.Mishchenko. Geometric description of the Hochschild cohomology of Group Algebras, AMS Contemporary Mathematics book series volume "Topology, Geometry, and Dynamics: Rokhlin - 100", A.S.Mishchenko. Derivations of Group Algebras and Hochschild cohomology, Differential Equations on Manifolds and Mathematical Physics. Dedicated to the Memory of Boris Sternin, A.S.Mishchenko. Correlation between the Hochschild Cohomology and the Eilenberg–MacLane Cohomology of Group Algebras from a Geometric Point of View. Russian J. Math. Physics 27 (2020), 236-250, A.S.Mishchenko. Description of Outer Derivations of the Group Algebras. Topology and its Applications, 275 (2020)]. Метрики на дублях метрических пространств. Исследована алгебраическая структура множества классов квази-эквивалентности и грубой эквивалентности метрик на дубле (несвязном объединении двух экземпляров) метрического пространства X с фиксированной метрикой dX. Определена их композиция, относительно которой множество классов эквивалентности метрик образует полугруппу. Основным результатом работы в этом направлении является то, что эта полугруппа является инверсной, т.е. каждый ее элемент обладает единственным псевдообратным. Доказать этот факт напрямую не удается, поэтому сначала доказывается регулярность полугруппы, т.е. существование псевдообратных метрик (псевдообратная метрика к метрике d задается перестановкой двух экземпляров пространства X), а затем доказывается, что любые два идемпотента коммутируют – это свойство равносильно единственности псевдообратных элементов в регулярной полугруппе. Для доказательства коммутирования идемпотентов используется их геометрическая характеризация: расстояние от точки x первого экземпляра пространства X до второго экземпляра должно оцениваться расстоянием от этой точки до соответствующей ей точки второго экземпляра пространства X. Показана функториальность этой инверсной полугруппы относительно почти изометрий, т.е. отображений f:XY, удовлетворяющих условию равномерной ограниченности величины |dY(f(x),f(y))-dX(x,y)|, x,yєX. Получено достаточное условие для коммутативности данной инверсной полугруппы. Важность конструкции этой инверсной полугруппы состоит в том, что по инверсной полугруппе, так же как и по настоящей группе, можно определить ее С*-алгебру, что позволяет сопоставлять геометрические свойства пространства X и алгебраические и функционально-аналитические свойства соответствующей С*-алгебры. Подробное изложение можно найти в работе [V. Manuilov. Metrics on doubles as an inverse semigroup. J. Geom. Anal. (2020)]. Описание К-теории С*-алгебр в терминах, похожих на КК-теорию Каспарова. Как известно, Е-теория Конна-Хигсона пары С*-алгебр A,B описывается как группа асимптотических гомоморфизмов из двукратной надстройки A в B. Мы избавляется от двукратной надстройки и описываем элементы группы E(A,B) как семейства отображений непосредственно из A в B, однако, сами эти отображения отстоят от гомоморфизмов еще дальше, чем асимптотические гомоморфизмы, а именно, мы показываем, что элементы группы E(A,B) могут быть представлены парами отображений из A в B с одинаковым (и, возможно, большим) отклонением от свойства быть асимптотическим гомоморфизмом. Такие пары можно рассматривать как пары настоящих асимптотических гомоморфизмов, но не из A, а из некоторой большей С*-алгебры C, которая сюръективно отображается на A. Например, в качестве такой С*-алгебры можно взять конус над A. Такой подход расширяет запас морфизмов в категории С*-алгебр и делает ее более гибкой и лучше приспособленной к приложениям в теории индекса. Подробное изложение можно найти в работах [V. Manuilov. A KK-like picture for E-theory of C*-algebras. Studia Mathematica 252 (2020), 105-128, Г. С. Макеев. Еще одно описание функтора Конна–Хигсона, Матем. заметки, 107:4 (2020), 561-574.]. Обобщение теоремы Лакса-Милгрэма на гильбертовы С*-модули. Классическая теорема Лакса-Милгргэма для гильбертовых пространств обобщает теорему Рисса о представимости функционалов и утверждает, что если B – билинейна я (полуторалинейная) форма на гильбертовом пространстве H, удовлетворяющая условию B(x,x)M||x||2 , xєH, то для любого линейного функционала f существует единственный yєH, такой что f(x)=B(y,x) для всех xєH и ||y||||f||/M. Как известно, в гильбертовых модулях теорема Рисса неверна, поэтому для обобщения этого результата нужны дополнительные предположения. Мы формулируем и доказываем обобщение теоремы Лакса-Милгрэма в двух случаях: для автодуальных гильбертовых С*-модулей над W*-алгебрами, и для произвольных гильбертовых С*-модулей над алгеброй компактных операторов. Мы также приводим пример, показывающий, что никакое разумное обобщение теоремы Лакса-Милгрэма не может быть верным в произвольном гильбертовом С*-модуле. Подробное изложение можно найти в работе [R. Eskandari, M. Frank, V. Manuilov, M. S. Moslehian. Extensions of the Lax-Milgram theorem to Hilbert C*-modules. Positivity, 24 (2020), 1169-1180]. Семейства представлений аппроксимативно конечных групп. Рассматривается аппроксимативно конечная группа G с фиксированным семейством убывающих нормальных подгрупп G_n конечного индекса mn=|G/Gn|. Числовую последовательность 1knmn назовем функцией роста. С помощью фиксированного ультрафильтра построим ультрапредел гильбертовых пространств l2(G/Gn), а в нем – подпространства функций на G/Gn, носители которых насчитывают не более, чем Ckn точек, где C – некоторая константа. Оказывается, полученные таким образом подмножества являются линейными подпространствами, зависящими не от самих функций роста, а лишь от их класса эквивалентности. Кроме того, эти подпространства оказываются инвариантными относительно квазирегулярного действия группы G. Ограничения квазирегулярного представления на эти подпространства дают семейство представлений группы G, параметризованное классами эквивалентности функций роста. В случае, когда функция роста ограниченна или растет очень медленно, получается представление, слабо эквивалентное регулярному, а при максимально возможном росте – прямой сумме квазирегулярных. При промежуточном росте показано, что для групп со свойством (Т) Каждана тривиальное представление слабо не содержится в данном ни при каком росте, кроме максимального. Для свободной группы существуют функции роста, строго меньше, чем максимальный, при которых тривиальное представление слабо содержится в данном. Подробное изложение можно найти в работе [V. Manuilov. On a family of representations of residually finite groups. Algebras Representation Theory, 23 (2020), 1727-1735]. Теоремы типа Кюйпера для равномерных алгебр Роу. Классическая теорема Кюйпера утверждает, что унитарная группа гильбертова пространства является стягиваемой. Эта теорема имеет важные следствия в теории индекса и различные обобщения. Мы обратили внимание на то, что алгебра ограниченных операторов гильбертова пространства является частным случаем равномерных алгебр Роу, а именно, равномерной алгеброй Роу дискретного пространства, т.е. такого, где все расстояния равны 1. Напомним, что равномерная алгебра Роу это С*-алгебра, получающаяся замыканием множества операторов конечного распространения. Мы исследовали равномерные алгебры Роу дискретных метрических пространств с точки зрения стягиваемости группы их унитарных элементов. Пространства, чьи равномерные алгебры Роу имеют стягиваемые унитарные группы мы назвали пространствами Кюйпера. Было доказано, что метрические пространства, которые допускают покрытие шарами конечного радиуса, каждый из которых содержит бесконечное число точек, являются пространствами Кюйпера. С другой стороны, показано, что локально конечные пространства со свойством Фёлнера и пространства, допускающие разложение на положительную и отрицательную часть (как целые числа), не являются пространствами Кюйпера. Показано, что свойство быть пространством Кюйпера не является грубым инвариантом. Приведены примеры, показывающие, что наши условия не являются оптимальными. Подробное изложение можно найти в работе [V. Manuilov, E. Troitsky. On Kuiper type theorems for uniform Roe algebras. Linear Algebra Appl. (2020)]. Теорема Дугласа о разложении в гильбертовых С*-модулях. Классическая теорема Дугласа о разложении описывает условия на ограниченные операторы A,C в гильбертовом пространстве, при которых уравнение AX=C разрешимо. Разрешимость равносильна тому, что образ A содержит образ C, или что CC*kAA* для некоторого k>0. Прямое обобщение этого результата на случай гильбертовых С*-модулей невозможно, так как в них существуют недополняемые подмодули. Мы приводим несколько достаточных условий разрешимости. В частности, это операторное уравнение разрешимо, если оператор A полурегулярен, CA* регулярен и положителен, и образ C содержится в образе A. Приведены примеры, показывающие важность указанных дополнительных условий. Отдельно рассмотрен частный случай A=(P+Q)1/2, C=P, где P,Q – проекторы. Найден пример гильбертова С*-модуля, в котором такое уравнение не имеет решения. Однако, сколь угодно близко к Q существует проектор Q’, для которого уравнение (P+Q’)1/2X=P имеет решение. Подробное изложение можно найти в работе [V. Manuilov, M. S. Moslehian, Qingxiang Xu. Douglas factorization theorem revisited. Proc. Amer. Math. Soc. 148 (2020), 1139-1151]. Критерий «компактности» операторов, действующих в C*-гильбертовых модулях. Для гильбертовых C*-модулей продолжительное время стоял вопрос геометрического описания «компактных» операторов, т. е. ограниченных операторов, по норме приближающихся операторами конечного ранга. Недавно был получен критерий «компактности» оператора в случае, когда образ оператора лежит в счетнопорожденном модуле, а именно, оператор является «компактным» тогда и только тогда, когда образ единичного шара является вполне ограниченным относительно определенной построенной равномерной структуры, точнее - системы полуметрик. За отчетный период получено, что необходимость этого условия выполняется для произвольных модулей, а достаточность - для модулей со свойством унитальной проективности, которое заключается в том, что модуль может быть представлен как ортогональное прямое слагаемое стандартного модуля - прямой суммы некоторого числа (возможно, несчетного) экземпляров унитализации исходной алгебры, рассматриваемой как модуль над собой (для унитальных алгебр считается, что унитализация совпадает с самой алгеброй). Для этих целей был получен результат, имеющий самостоятельный интерес: если оператор является «компактным», то в качестве элементарных операторов, его приближающих, можно брать такие, образ которых лежит в образе самого оператора. Фигурирующая равномерная структура строится с помощью так называемых допустимых систем элементов, которые по своим свойствам напоминают последовательности Бесселя в теории фреймов. Если добавить к определению допустимой системы дополнительное фреймовое свойство (точнее, свойство топологической инъективности оператора анализа Фурье), получится, вообще говоря, другая равномерная структура. За отчетный период было доказано, что если в гильбертовом модуле найдется допустимая система с фреймовым свойством, то вполне ограниченные множества для обеих равномерных структур совпадают. Тем не менее, как было показано на примере, неверно, что достаточно использовать только одну произвольную допустимую систему с фреймовым свойством. Подробное изложение можно найти в работе [E. Troitsky, Geometric essence of “compact” operators on Hilbert C*-modules, J. Math. Anal. Appl., 485 (2020), Issue 2, Е. В. Троицкий, Д. В. Фуфаев, “Компактные операторы и равномерные структуры в гильбертовых C*-модулях”, Функц. анализ и его прил., 54:4 (2020), с. 74-84]. Числа Райдемайстера и скрученная теорема Бернсайда-Фробениуса. В теории классов Райдемайстера (классов скрученной сопряженности автоморфизмов счетных дискретных групп) важнейшую роль в современных исследованиях имеют три взаимосвязанные задачи: 1) описание класса групп, обладающих свойством R-бесконечности (любой автоморфизм имеет бесконечное число Райдемайстера), 2) получение для определенных классов групп одной из версий скрученной теории Бернсайда-Фробениуса (ТБФТ), то есть естественное отождествление числа Райдемайстера (при условии его конечности) с количеством неподвижных точек двойственного гомеоморфизма f*(r)=rf на подходящем дуальном объекте (например, унитарном двойственном - пространстве классов эквивалентности неприводимых унитарных представлений) и 3) исследование рациональности соответствующей дзета-функции Райдемайстера. Для финитно-аппроксимируемых групп естественно в качестве дуального пространства рассматривать конечномерную часть унитарного двойственного. В первом исследованном примере в качестве группы G берется прямая сумма счетного числа экземпляров конечной группы H, занумерованных целыми числами, а f действует сдвигом на 1. Тогда прямым вычислением доказывается, что R(f) равно числу элементов в H, в то время как число неподвижных конечномерных представлений равно числу элементов унитарного двойственного H, то есть числу классов обычной сопряженности, которое строго меньше, чем |H|, для неабелевых групп. Во втором примере в качестве G рассматривается свободная счетно порожденная группа, а в качестве автоморфизма – автоморфизмы из серии, построенной в работе Гонсалвеса и Вонга. Оказывается, для них классы Райдемайстера выдерживают абеленизацию и, значит, ТБФТ верна. Попутно оказалось, что этот пример дает контрпример (в случае автоморфизма бесконечного порядка) к теореме Джабары об оценке размера подгруппы f-неподвижных элементов через количество классов Райдемайстера для финитно-аппроксимируемых групп. Числа Райдемайстера итераций автоморфизма хорошо изучены для конечных и, в большей общности, для компактных групп, в том числе, в работах А.Фельштына и Е.В.Троицкого. Соответственно, возникает вопрос о редукции некоторых случаев к компактификациям. Нами построена систематическая теория поведения чисел Райдемайстера при таких компактификациях. Естественно, упор сделан на проконечное пополнение (для финитно-аппроксимируемых групп) и на универсальную компактификацию (для максимально почти-периодических групп). Важным результатом является вычисление значения дзета-функции Райдемайстера эндоморфизма f компактной группы G в точке z как предела величин, обратных к определителям матриц операторов вида 1-Bz, где B – перестановка обычных классов сопряженности, рассматриваемая как оператор в пространстве класс-функций для конечных факторов возрастающего порядка. Предварительно было доказано существование таких факторов при условии существования дзета-функции (конечности чисел Райдемайстера итераций). Весьма нетривиальным оказался следующий результат: для вышеописанного контрпримера к ТБФТ, дзета-функция, тем не менее, рациональна. Полностью исследована ТБФТ для сплетений конечной циклической группы со свободной абелевой группой. Пусть G - сплетение конечной циклической группы порядка n со свободной абелевой группой ранга k. Тогда группа G обладает свойством R-бесконечности ровно в двух случаях: n - четное, а k - произвольное и n делится нацело на 3, а k - нечётное. В остальных случаях для всех автомормизфов такой группы с конечным числом Райдемайстера была установлена ТБФТ. Подробное изложение можно найти в работах [A. Fel’shtyn, E. Troitsky, M. Zietek. New Zeta Functions of Reidemeister Type and the Twisted Burnside-Frobenius Theory. Russ. J. Math. Phys. 27 (2020), 199-211, E.V.Troitsky. Two Examples Related to the Twisted Burnside–Frobenius Theory for Infinitely Generated Groups. J. Math. Sci. 248 (2020), 661-666, M. I. Fraiman. Twisted Burnside-Frobenius theorem and R∞-property for lamplighter-type groups. Сибирские электронные матем. известия. 17 (2020), 890-898.] Индексы особых точек векторного поля или 1-формы на гладком многообразии тесно связаны с эйлеровой характеристикой через классическую теорему Пуанкаре-Хопфа. Обобщенные эйлеровы характеристики (аддитивные топологические инварианты пространств с некоторыми дополнительными структурами) бывают связаны с соответствующими аналогами индексов особых точек. Ранее было определено понятие универсальной эйлеровой характеристики орбифолда. Она принимает значения в кольце R, как абелева группа свободно порожденном образующими, соответствующими классам изоморфизма конечных групп. В рамках этой работы был определен универсальный индекс изолированной особой точки векторного поля или 1-формы на орбифолде как элемент кольца R. Для этого индекса имеет место аналог теоремы Пуанкаре-Хопфа. Результаты отражены в статье, принятой (в октябре 2020 г.) к публикации в журнале "Алгебра и анализ" (St. Petersburg Mathematical Journal). Комплексные многообразия Грассмана G_{n,2} с каноническим действием компактного тора T^n играют важную роль в ряде современных вопросов алгебраической топологии, алгебраической геометрии и математической физики. В работе В.М.Бухштабера и С.Терзич построена теория,позволившая решить известную трудную задачу о структуре пространства орбит G_{n,2}/T^n. Результаты уже доложены на нескольких представительных конференциях и текст статьи доступен в arXiv https://istina.msu.ru/publications/article/343686757/ Идеальный почти погореловский многогранник -- это простой многогранник, который получается из трёхмерного идеального прямоугольного многогранника срезкой всех его вершин. Такие многогранники находятся во взаимно однозначном соответствии с парами (комбинаторный трёхмерный выпуклый многогранник, двойственный многогранник). Доказано, что любой идеальный почти погореловский многогранник является B-жёстким, то есть из изоморфизма градиурованных колец когомологий момент угол многообразий над P и Q, где P -- идеальный почти погореловский многогранник, а Q -- любой простой многогранник, следует, что P и Q комбинаторно эквивалентны. Результаты опубликованы в статье https://istina.msu.ru/publications/article/302881137/ Теорема о постоянстве инварианта Дена изгибаемого многогранника (Гайфуллин-Игнащенко, 2018) обобщена на случай изгибаемой двоякопериодической полиэдральной поверхности в трехмерном пространстве, гомеоморфной плоскости. А именно, для таких изгибаемых поверхностей введен обобщенный инвариант Дена и доказано его постоянство при изгибаниях.

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".