Аппроксимативно-геометрические свойства множеств в линейных нормированных пространствахНИР

Approximative-geometrical properties of sets in normed linear spaces

Источник финансирования НИР

госбюджет, раздел 0110 (для тем по госзаданию)

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. Аппроксимативно-геометрические свойства множеств в линейных нормированных пространствах
Результаты этапа: Задачи о структурных свойствах солнц рассматривалась в работах С.\,Б. Стечкина, Н.В. Ефимова, В. Кли, В.И. Бердышева, Л.П. Власова, Б. Брозовского, Ф. Дойча, Х. Беренса, Г.Е. Иванова и др. Солнца являются наиболее естественным объектом, для которого выполнен критерий Колмогорова о характеризации элемента наилучшего приближения. В 2016 г. установлено, что в трехмерном банаховом пространстве $X$ замкнутое $P$-солнечное множество $M\subset X$ является солнцем. Показано, что в конечномерном банаховом пространстве $B$-солнечное LG-множество является строгим солнцем, а произвольное $B$-солнце является солнцем. Пусть $X$~-- банахово пространство, $ dim X \le 3$, и пусть множество $M$ -- $P$-ациклично. Тогда $M$ обладает непрерывной аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборкой для любого $\varepsilon > 0$. Этот результат дает ответ на ряд давно стоящих вопросов о геометрических и топологических свойствах строгих солнц в произвольных трехмерных нормированных или несимметрично нормированных пространствах. Установлены следующие результаты. 1. Пусть $M$~-- ограниченно компактное монотонно линейно связное подмножество банахова пространства. Тогда следующие условия эквивалентны: {\rm 1)} $M$ имеет {\rm ORL}-непрерывную метрическую проекцию; {\rm 2)} $M$ является $B$-клеточноподобным строгим солнцем; {\rm 3)} является строгим солнцем. Отметим, что в этом результате множество не обязано быть $P$-выпуклым. Иными словами, полунепрерывная снизу метрическая проекция на замкнутое множество в трехмерном пространстве не обязана иметь выпуклые образы. Рассмотрим соответствующий пример. В~пространстве $\ell^\infty_3$ определим множество $M$ как $\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_2=\sqrt {1-x_1^2}$, $x_3=0$, $0\le x_1\le 1\}$. Легко проверить, что метрическая проекция на~$M$ непрерывна (и, в~частности, полунепрерывна снизу). Однако $M$, очевидно, не является $P$-выпуклым. 2. Пусть $M$ -- замкнутое множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией в банаховом пространстве размерности не более~$ 3$. Тогда $M$ -- солнце, $B$-стягиваемо, $B$-ретракт и на $M$ существует непрерывная выборка из метрической проекции. 3. Пусть $M$ -- замкнутое множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией в конечномерном банаховом пространстве из класса $(\mathrm{BM}) \cup (\mathrm{MS})$. Тогда $M$ -- $B$-ацикличное строгое солнце. Отметим, что Алимов построил пример трехмерного пространства, которое содержит \textrm{LG}-солнце, не являющееся строгим солнцем и не являющееся $B$-солн\-цем. Им также недавно установлено, что для любой конечной размерности $n\ge 3$ существует пространство $X_n$ размерности~$n$, содержащее чебышёвское солнце, не являющееся $B$-солнцем. Такой пример показывает, что множество~$M$ с непрерывной метрической проекцией в~$X_n$, $n\ge 3$, может не быть $B$-солнцем. 4.Пусть $M$ -- $P$-монотонно линейно связное замкнутое множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией в конечномерном банаховом пространстве. Тогда $M$ -- солнце и на~$M$ существует непрерывная выборка из метрической проекции. Отметим, что само множество~$M$ в формулировке этого результата может не быть монотонно линейно связным. Поскольку монотонно линейно связное множество в~конечномерном пространстве является солнцем, то~$M$~-- $P$-солнце. Однако $P$-солнце не обязано быть $B$-солнцем. 5. Пусть $M$ -- замкнутое множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией в~конечномерном $ (\mathrm{BM}) $-пространстве. Тогда $M$ -- строгое солнце, $B$-стягиваемо, $B$-ретракт и на $M$ существует непрерывная выборка из метрической проекции. 6. Пусть $X\in (\mathrm{RBR})$, $\operatorname{dim} X<\infty$, $M\subset X$~-- строгое солнце (замкнутое множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией). Тогда $M$~-- $B$-ретракт, $B$-стягиваемо и на $M$ существует непрерывная выборка из метрической проекции. 7. Получен эффективный аналог теоремы Гильберта о нулях для дифференциальных полей характеристики ноль с несколькими перестановочными между собой дифференцированиями. Первые оценки в общем случае в данной задаче были получены в 2009 г. в работе О.Д.Голубицкого, М.В. Кондратьевой и А. Овчинникова, где оценки сверху были получены в терминах функции Аккермана.
2 1 января 2017 г.-31 декабря 2017 г. Аппроксимативно-геометрические свойства множеств в линейных нормированных пространствах
Результаты этапа: Найдена верхняя и нижняя оценка старшего коэффициента размерностного многочлена Колчина для линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных (обобщение теоремы Безу). Продолжаются исследования по обоснованию устройства глубокой нейронной сети. Получен ряд результатов по цифровой обработке изображений и машинному обучению. Ведение и разработка сайта машинноезрение.рф : выложены авторские материалы (по семинарским занятиям и лекциям). Подготовлены информационные материалы, тесты и эталонные решения задач по 4 темам для 1 и 2 курса в рамках Программы развития МГУ, опубликованы пособия по азам алгоритмики помощью систем ПиктоМир и Кумир, даны качественные оценки эффективности методики обучения элементам информатики в пропедевтическом курсе. Опубликованы учебники по информатике за 7, 8 и 9 классы (авторы Кушниренко А.Г., Леонов А.Г., Зайдельман Я.Н., Тарасова В.В., Дрофа Москва, 180+232+208 стр.). Все три учебника успешно прошли экспертизу. Полученные результаты доложены на 8 российских конференциях. Разработан и поддерживается образовательнй контент и учебный процесс курсов по программированию (http://www.mirera.ru) с реализацией дистанционных автоматизированных практикумов по программированию. Подготовлено новое учебное пособие "Задачи по комбинаторике для лингвистов" (в соавторстве с М. Р. Пентусом). Продолжена поддержка сайта научного журнала "Фундаментальная и прикладная математика". Разработан спецкурс по теории компиляции и основного курса по теоретической информатике для магистратуры мехмата. Ведется персональный сайт преподавателя со всеми учебными материалами. Подготовлены и поддерживаются следующие научно-образовательные сайты: http://dcherukhin.info/teaching/seminars.htm http://osday.ru машинноезрение.рф http://www.mirera.ru http://math.msu.su/~vvb/
3 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. Аппроксимативно-геометрические свойства множеств в линейных нормированных пространствах
Результаты этапа:
4 1 января 2019 г.-31 декабря 2019 г. Аппроксимативно-геометрические свойства множеств в линейных нормированных пространствах
Результаты этапа:
5 1 января 2020 г.-31 декабря 2020 г. Аппроксимативно-геометрические свойства множеств в линейных нормированных пространствах
Результаты этапа:
6 1 января 2021 г.-31 декабря 2021 г. Аппроксимативно-геометрические свойства множеств в линейных нормированных пространствах
Результаты этапа:

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".