В связи с техническими работами в центре обработки данных, возможность загрузки и скачивания файлов временно недоступна.
 

Аналитическая механика и теория устойчивостиНИР

Analytical mechanics and stability theory

Источник финансирования НИР

инициативная

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. Аналитическая механика и теория устойчивости (2016)
Результаты этапа: - Исследована задача о реализации диффеоморфизма между двумя параллельными системами лучей с помощью конечной системы зеркал. Получены оценки сверху на необходимое количество отражений. - Доказано наличие диффузии Арнольда в многомерных априори неустойчивых гамильтоновых системах в окрестности сильных резонансов для типичного возмущения, являющегося в первом приближении тригонометрическим полиномом по переменным "угол", получена оценка скорости диффузии. - Введено понятие и доказаны глобальные и локальные теоремы существования обобщенного решения уравнений динамики систем с негладкими неголономными связями. - Исследована задача о движении круговой пластинки (диска) по равномерно вращающейся горизонтальной плоскости с сухим трением. Показано, что система имеет два инвариантных множества (аттрактор и репеллер). Общее решение уравнений движение получано в случае малого коэффициента трения. - Построена модель взаимодействия вязко-упругой плоскости и абсолютно твердого выпуклого тела произвольной формы, аппроксимируемого двухосным эллиптическим параболоидом. Модель применена к задаче о движении ведущего и ведомого колеса (сильно сжатого по одной оси параболоида) по неподвижной шероховатой поверхности. Проведено сравнение полученных результатов для поликомпонентной модели с динамикой колеса по плоскости с классическим вязким и сухим трением, а также в случае движения без проскальзывания. - Исследована устойчивость положений равновесия автономной системы, помещенной на вибрирующее по вертикали основание, при стремлении частоты вибраций к бесконечности. Получены условия стабилизации этих положений равновесия усредненной системы. Аналогичные результаты получены и для стационарных движений систем с циклическими координатами. - Исследована кинематика простейшей модели двухколёсной роликовой доски, известной как эссборд или рипстик. В предположении, что платформы рипстика отклоняются на одинаковые по модулю углы в разных направлениях относительно продольной оси рипстика, получена связь между углом наклона платформы рипстика и углом поворота соответствующего колеса. - Исследована задача о возможном образовании и перемещении ансамбля частиц в окрестности треугольных точек либрации системы Земля-Луна-Частица при учете гравитационного и светового возмущения Солнца (облаков Кордылевского). Численное исследование доказывает возможность образования облаков в рамках принятой математической модели. - Предложен новый вариант методики реконструкции неуправляемого вращательного движения спутника, построенный на основе фильтра Калмана.
2 2 января 2017 г.-30 декабря 2017 г. Аналитическая механика и теория устойчивости (2017)
Результаты этапа: - Для операторно-дифференциального уравнения $\dot x = Ax$, которое обладает квадратичным первым интегралом $\frac12 (Bx,x)$, получены условия гамильтоновости. В конечномерном случае достаточно потребовать, чтобы $\ker B \subset \ker A^*$. - Для линейных гамильтоновых систем в шкале гильбертовых пространств получена глобальная теорема существования и единственности, и версия теоремы Пуанкаре о возвращении. - В задаче о реализации диффеоморфизма между двумя параллельными системами лучей с помощью конечной системы зеркал получены оценки сверху на необходимое количество отражений. - Исследована динамика шайбы на вращающейся плоскости с трением: найдены инвариантные множества и исследованы их свойства (притяжение и отталкивание), методом малого параметра найдено общее решение уравнений движения шайбы (малый параметр – коэффициент трения) и дан качественный анализ динамики шайбы. - В задаче о движении выпуклого тела по шероховатой вязко-упругой плоскости рассмотрена модель пружинного основания. Форма тела аппроксимируется параболоидом. В предположении, что пружинки основания не взаимодействуют между собой, остаются вертикальными и скользят вдоль поверхности тела, получены выражения для расчета силы и момента сухого трения, распределенного по пятну контакта. Рассмотрены частные случаи: чистое скольжение и чистое верчение вокруг нормали к плоскости. Получены оценки для возникающих сил и моментов трения в предположении достаточно жесткой плоскости, что влечет малость области контакта. - Исследована динамика движения по инерции симметричного экипажа, снабженного омни-колесами, по горизонтальной неподвижной плоскости. Омни-колеса представляют собой диски, по ободу которых укреплены ролики, вращающиеся без трения относительно касательной к ободу. Ролики массивны, в точках контакта роликов и плоскости отсутствует проскальзывание. В предположении идеальности неголономных связей, с помощью системы символьных вычислений Maxima составлены уравнения движения, смоделирован процесс перехода с одного опорного ролика на другой. Проведено численное сравнение рассмотренной модели омни-колеса с простейшей моделью. - Исследована кинематика симметричной модели двухколесной роликовой доски, известной как эссборд или рипстик. При помощи теории конечных поворотов предложен элементарный вывод формулы, связывающей угол наклона платформы рипстика с углом поворота колеса. Приведенное доказательство данной формулы является существенно более простым по сравнению с тем, что было получено ранее другими авторами. - Для лагранжевой системы, на которую наложена дополнительная вибрирующая связь, с помощью метода усреднения получены предельные уравнения движения системы при стремлении частоты вибраций к бесконечности и доказана равномерная сходимость решений исходных уравнений к решениям предельных уравнений на конечном отрезке времени. - В задаче о форме стационарного участка тяжелой нерастяжимой гибкой нити при перемещении в неподвижной вертикальной плоскости на заданную глубину из неподвижного состояния в неподвижное найдены параметрические уравнения стационарной кривой. Форма стационарного участка и его свойства качественно совпадают с наблюдаемыми в экспериментах. - Показана возможность образования и перемещения ансамбля частиц в окрестности треугольных точек либрации системы Земля-Луна-Частица (облаков Кордылевского) при учете гравитационного и светового возмущения Солнца. - В рамках неравновесной статистической механики показано стремление газа Кнудсена к нормальному распределению по скоростям и однородному, по координатам, при многократном повторении циклов Пуанкаре.
3 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. Аналитическая механика и теория устойчивости (2018)
Результаты этапа: - Для потока в конечномерном пространстве рассматривался вопрос о существовании решения, асимптотически стремящегося к неустойчивому положению равновесия. Полученные результаты зависят от четности размерности пространства и класса гладкости потока. Сформулированы гипотезы, требующие дальнейшей проверки. - Доказана теорема существования большого класса негомотопных периодических решений для натуральных лагранжевых систем с дискретной симметрией на некомпактном конфигурационном многообразии. - Получены теоремы существования точки совпадения гладких отображений банаховых пространств и существования квадратного уравнения на пространстве операторов. - Предложенная процедура вывода уравнений Власова-Пуассона-Пуассона в неинерциальной системе координат для системы взаимно гравитирующих заряженных частиц, движущихся во внешнем гравитационном поле, применена к задаче о существовании пылевых облаков Кордылевского в окрестности треугольных точек либрации системы Земля-Луна. -Для механических систем на вибрирующем основании получены условия для направляющего вектора поступательных вибраций, при которых у предельной системы сохраняются равновесия, имеющиеся у системы без вибраций. Показано, что в невырожденном случае их всегда можно сделать устойчивыми. - Изучено квазистатическое плоскопараллельное движение бесконечного упругого цилиндра по плоскому горизонтальному основанию из того же материала (ось цилиндра горизонтальна). Распределение нормальных и касательных напряжений в области контактного взаимодействия цилиндра и плоскости берется из решения задачи теории упругости, в которой используется модель сухого трения Амонтона-Кулона на участке относительного проскальзывания и учитывается наличие участка сцепления. Получено аналитическое решение задачи, построен фазовый портрет системы, проведено сравнение с задачей о движении абсолютно твердого цилиндра по твердой плоскости с сухим трением и без проскальзывания. - Исследована динамика шайбы на горизонтальной плоскости с сухим трением, вращающейся вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью. Отмечены существенные отличия динамики шайбы на вращающейся плоскости от динамики шайбы на неподвижной плоскости, а также от динамики точки на вращающейся плоскости. - Исследована задача о качении без скольжения динамически симметричного тела, ограниченного поверхностью вращения, по неподвижной сфере. Приведены условия, при которых решение задачи сводится к интегрированию линейного дифференциального уравнения второго порядка относительно компоненты угловой скорости тела в проекции на его ось динамической симметрии. С помощью алгоритма Ковачича доказано существование лиувиллевых решений в задаче о качении по сфере неоднородного динамически симметричного шара. - Изучена динамика ряда моделей мобильных экипажей с омни-колесами по неподвижной абсолютно шероховатой плоскости. Проведено сравнение основных типов движения симметричного трехколесного экипажа с учетом массы роликов, полученных численным интегрированием уравнений движения с результатами, полученными на основании модели, в которой масса роликов не учитывается. Показано, что ряд движений, существующих в безынерционной модели, пропадает, так же как и линейный первый интеграл.
4 1 января 2019 г.-31 декабря 2019 г. Аналитическая механика и теория устойчивости (2019)
Результаты этапа: - Исследованы задачи о движении цилиндра по деформируемому полупространству (случай одинаковых упругих материалов цилиндра и основания; случай жесткого цилиндра и вязкоупругого основания) с использованием решения задач упругости и вязкоупругости. Проведен качественный анализ, построен фазовый портрет, исследована зависимость времени торможения и пройденного расстояния до остановки. - Разработаны формальные конструкции для расширения понятия метрической энтропии на бесконечномерные пространства. В частности, для пространства X с вероятностной мерой m введено понятие m-нормы ограниченного оператора на пространстве L2(X, m). Проведены формальные вычисления и найден ряд свойств такой нормы. - Для систем с некомпактным цилиндрическим конфигурационным пространством и периодическим по времени лагранжианом при наличии определенной симметрии доказано существование периодических решений, отвечающих каждому (в том числе и нулевому) гомотопическому классу замкнутых кривых. Найдены примеры, показывающие, что условия теоремы неулучшаемы. - Дан глобальный анализ динамики системы трех связанных тел в однородном поле сил тяжести: найдены все стационарные движения системы, исследованы вопросы их устойчивости и ветвления, построены полные атласы бифуркационных диаграмм Пуанкаре-Четаева и Смейла, исследована топология областей возможности движения системы в зависимости от физических параметров и постоянных первых интегралов системы. -Исследована динамика саней Чаплыгина на горизонтальной плоскости при наличии сил сухого трения в точках контакта саней Чаплыгина с опорной плоскостью: доказано, что движение саней прекращается за конечное время, плоскость параметров задачи разбита на области, различающиеся типом финальных движений, и найдены все типы таких движений. - Исследован эффект трансгрессии в задаче о движении почти голономного маятника - системы, относящейся к классу так называемых слабо неголономных систем. - Доказано отсутствие лиувиллевых решений в задаче о качении параболоида вращения по поверхности сферы. Получены условия существования лиувиллевых решений в задаче о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой в случае Гесса. - Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, правые части которых периодичны по времени с несколькими частотами, получена оценка сверху отклонения решения последовательно усредненной системы от решения исходной системы. - Изучена возможность управления расстоянием между орбитами астероида и Земли с помощью коррекции орбиты астероида. Для варианта одноимпульсной коррекции найдено оптимальное направление импульса скорости в каждой точке орбиты астероида. В приближенной модели изучено влияние гравитационного поля Земли на расстояние между орбитами при близком пролете астероида. - Изучена эволюция плазменных и гравитирующих газо-пылевых сред с применением уравнения Власова-Пуассона-Пуассона и метода энергии-казимира в модели взаимодействия встречных потоков частиц. Численным моделированием показана возможность формирования стабильных конфигураций, а в частности, образования «двойных звезд», то есть двух устойчивых скоплений частиц, вращающихся вокруг центра масс.

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".