Математические вычислительные технологии в задачах прикладной математикиНИР

Mathematical computational technologies in problems of applied mathematics

Соисполнители НИР

МГУ имени М.В. Ломоносова Координатор

Источник финансирования НИР

госбюджет, раздел 0706 (для тем по госзаданию)

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. Математические вычислительные технологии в задачах прикладной математики
Результаты этапа: - Разработан новый численный алгоритм решения пространственно-однородного многокомпонентного уравнения Смолуховского. Новая методика основана на классической разностной схеме предиктор-корректор. В простой реализации этой схемы, однако, можно было бы вычислить и хранить непомерно много значений сеточной функции в узлах многомерной сетки. Предложено использовать специальные малоразмерные параметрические представления для функций сетки и, а также для ядра коагуляции. Соответствующие многомерные массивы аппроксимируются с применением тензорных поездов (ТТ-разложений). В результате, в конечном счете, представление многомерных массивов сводится к матрицам, для которых мы можем использовать быстрые алгоритмы линейной алгебры. Вместо O (n2d) операций в классической схеме, предлагаемый метод требует только (d2Nlog⁡N) операций, где N это количество узлов на оси в пространстве сетки и d является количество компонентов. Также осуществлено ускорение схемы предиктор-корректор дискретизации по времени, для вычисления многомерных интегральных операторов применяется метод трапеций. Таким образом, точность нового метода является O (h2 + τ2), где Н шаг пространство сетки и τ шаг по времени. - осуществлено развитие построение математических моделей динамики распространения вирусных инфекции в рамках трехмерных внутриклеточных и межклеточных моделей. Осуществлено построение геометрической модели сети кровеносных сосудов в лимфатическом узле.Осуществлено построение математической модели для анализа пролиферативной активности Т-лимфоцитов.
2 1 января 2017 г.-31 декабря 2017 г. Математические вычислительные технологии в задачах прикладной математики
Результаты этапа: Осуществлено приложение те тензорных методов решения многомерных задач к математическому моделированию в иммунологии: осуществлено приближение математической модели ВИЧ инфекции к данным по динамике вирусной нагрузки и Т-клеток и разработана модель оценивания параметров пролиферативной активности Т-клеток, меченых BrdU по данным обезьян инфицированных вирусом иммунодефицита обезьян. Продолжена разработка методов моделирования турбулентных течений, ориентированных на приложения к задачам метоерологии. Построена численная схема решения гиперсингулярного интегрального уравнения на замкнутой поверхности на основе кусочно-линейных аппроксимаций и метода коллокаций, доказана равномерная сходимость метода на сетке.
3 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. Математические вычислительные технологии в задачах прикладной математики
Результаты этапа: В 2018 году продолжены исследования по направлению тензорные вычислительные методы решения многомерных задач и их приложения. В рамках приложения тензорных методов к решению уравнений коагуляции и дифрагментации начаты исследования по моделированию нестационарных процессов с учетом пространственной неоднородности. Также, осуществлено развитие ранее созданных моделей в направлении учета множественных столкновений. В направлении развития методов решения интегральных уравнений и их приложений рассмотрен вопрос об аппроксимации производных потенциала объемного заряда, сосредоточенного в слое малой толщины вокруг некоторой срединной поверхности. Продолжено развитие приложений методов интегральных уравнений к задачам аэродинамики. Осуществлена параллельная реализация численного метода для компьютерного моделирования динамики парашюта с наполненным куполом вихревым методом. В рамках развития математических методов моделирования биологических процессов продолжены исследования по моделированию лимфатической системы человека.
4 1 января 2019 г.-31 декабря 2019 г. Математические вычислительные технологии в задачах прикладной математики
Результаты этапа: Продолжены исследования по основным направлениям научно-исследовательского проекта: тензорные методы решения многомерных вычислительных задач и их приложения; - разработка методов решения интегральных уравнений; - разработка математических моделей в биологии и медицине. Был построен и теоретически обоснован новых алгоритм неотрицательной матричной факторизации на основе крестовых малоранговых приближений. Была получена эффективная реализации итерационного метода Ньютона – Крылова для нахождения численных решений уравнений агрегации-фрагментации без спонтанной фрагментации. Построена и протестирована численная схема решения поверхностного гиперсингулярного интегрального уравнения, возникающего при решении краевой задачи Неймана для уравнения Лапласа, основанная на триангуляции поверхности, аппроксимации решения кусочно-линейной функцией и применении метода коллокации в вершинах треугольников, аппроксимирующих поверхность. В задаче о трёхмерном фильтрационном течении в кусочно-однородной среде вязкой жид- кости, подчиняющейся закону Дарси–Бринкмана, построены интегральные представления для поля скоростей и давления и дано сведение этой задачи к системе граничных интегральных уравнений.
5 1 января 2020 г.-31 декабря 2020 г. Математические вычислительные технологии в задачах прикладной математики
Результаты этапа: Продолжены исследования по основным направлениям научно-исследовательского проекта: - тензорные методы решения многомерных вычислительных задач и их приложения; - разработка методов решения интегральных уравнений и их приложе- ние; - разработка математических моделей в биологии и медицине. Предложен новый метод факторизации неотрицательных тензорных по- ездов, осуществлена оценка его точности и приведены численные резуль- таты показывающие применимость подхода для различных задач. Была ис- следована структура нелинейного оператора, входящего в систему обыкно- венных дифференциальных уравнений типа Смолуховского. Найдены новые компактные представления этих вспомогательных тензоров в терминах раз- ложения Tensor Train. Осуществлено приложение метода граничных интегральных уравнений к решению трехмерной задачи об излучении монохроматического электро- магнитного поля полосковой антенной. Продолжено развитие методов численного моделирования фильтрации вязкой жидкости, подчиняющейся закону Дарси-Бринкмана, с применени- ем граничных интегральных уравнений. Построение таких моделей ориен- тировано моделирования фильтрационных течений лимфы в лимфоузлах Были рассмотрены две многомерные математические модели ВИЧ (ви- рус иммунодефицита человека) и динамика инфекции в качестве примеров. Изучались версии моделей ODE (обыкновенные дифференциальные уравне- ния) и DDE (дифференциальные уравнения с запаздыванием). Для матема- тических моделей ВИЧ (вирус иммунодефицита человека) и динамика ин- фекции была решена задача оценки параметров, используя ряд численных методов глобальной оптимизации, включая метод оптимизации, основан- ный на разложении на последовательность тензоров (TT).

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".