Изучение уравнений смешанного типа и методы решения задач граничного управленияНИР

The study of equations of mixed type and methods for solving problems of boundary control

Соисполнители НИР

МГУ имени М.В. Ломоносова Координатор

Источник финансирования НИР

госбюджет раздел 0706

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. Изучение уравнений смешанного типа и задачи граничного управления-1
Результаты этапа: Была рассмотрена смешанная задача для уравнения четвёртого порядка и соответствующая ей спектральная задача, описывающая биортогонально сопряжённую систему к классической системе корневых функций для задачи о нагруженной струне. Была рассмотрена задача для уравнения, которое получается в результате применения к нестационарному оператору Штурма–Лиувилля оператора теплопроводности. Решая поставленную задачу методом разделения переменных, получили сепктральную задачу со спектральными параметрами в граничных условиях. Данная задача была решена, было показано, что система собственных функций является биортогонально сопряженной к другой системе, которая, в свою очередь, связана с решением классической задачи о нагруженной струне с закрепленным концом. Данная система образует базис Рисса в пространстве L2. Полученные результаты позволили представить решение исходной смешанной задачи в виде билинейного ряда. При условии принадлежности решения более узкому классу гладкости за счет повышения гладкости начальной функции было стандартным образом доказано, что решение задачи единственно. Отдельно был рассмотрен случай комплексного спектрального параметра. В этом случае были доказаны теоремы о том, что система собственных функций спектральной задачи в некоторых случаях образует базис Рисса в L2(0,1). Отдельно была изучена спектральная задача с видоизмененными граничными условиями третьего порядка. Было показано, что собственные функции этой задачи являются системой, содержащей косинусы. Для полученной системы также была доказана базисность Рисса при дополнительных условиях.
2 1 января 2017 г.-31 декабря 2017 г. Изучение уравнений смешанного типа и методы решения задач граничного управления-2
Результаты этапа: Изучен вопрос о применимости принципа экстремума к задаче Трикоми-Неймана и задаче Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в случае, когда эллиптическая часть области - вертикальная полуполоса. На одной стороне полуполосы задается граничное условие первого рода, на другой – граничное условие второго рода. На линии изменения типа задано условие склеивания решения по Франклю. Изучено свойство полноты системы синусов с нецелым считающим параметром в пространстве функций, интегрируемых по Лебегу. Эта система функций возникает при решении модельных многомерных краевых задач для уравнений эллиптико-гиперболического типа, характерными примерами которых могут служить уравнение Лаврентьева-Бицадзе и его трехмерный аналог, методом разделения переменных. Для обоснования применимости метода необходимо доказать, что полученная система функций образует базис в соответствующем функциональном пространстве. С этим тесно связан другой важный вопрос – является ли система полной и/или минимальной. Показано, что рассматриваемая система полна или неполна в зависимости от дробной части считающего параметра (в пределах заданного диапазона). Указан диапазон дробной части, в котором рассмотренная система полна. Доказано, что в оставшейся части диапазона дробной части система неполна, однако становится таковой при добавлении к ней одной функции. Эта функция выписана в явном виде. Аналогичный результат получен для системы косинусов. Изучены спектральная задача, возникающая при решении смешанной краевой задачи для параболо-гиперболического уравнения со спектральным параметром в краевых условиях, и отвечающее ей характеристическое уравнение. Доказано, что при определенных соотношениях между параметрами подсистема системы собственных функций задачи без любой собственной функции образует базис в пространстве функций, интегрируемых по Лебегу со степенью p больше 1. Важную роль в теории краевых задач для уравнений смешанного типа играют сингулярные интегральные операторы. Особое место занимают операторы с некарлемановским сдвигом, возникающие, в частности, при изучении задач с отходом от характеристики. Известно, что при определенных условиях эти операторы допускают регуляризацию, однако вопрос об их обращении в более конструктивном виде остается открытым. Ранее был получен результат о возможности обращения оператора с некарлемановским сдвигом, рассматриваемого в пространстве гельдеровых функций с весом, в явном виде. В ходе доказательства известный метод обращения интегральных операторов типа свертки был обобщен на случай осциллирующего коэффициента. Теперь данный результат распространен на сумму сингулярных интегральных операторов с некарлемановскими сдвигами, при определенных ограничениях на параметры. Как и в предыдущем случае, главная часть обращающего оператора выписана в явном виде.
3 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. Изучение уравнений смешанного типа и методы решения задач граничного управления-3
Результаты этапа: Были изучены аналоги задач Трикоми и Трикоми-Неймана, в частности исследованы свойства пространства допустимых функций, которые заданы на части границы гиперболической части области здания функций. Одним из основных результатов является тот факт, что вес в весовом пространстве для задания условия на характеристике в гиперболической части уравнения зависит от степени вырождения гиперболического оператора и поведения в окрестности линии вырождения коэффициента при первой производной. Для задачи Трикоми-Неймана была получена априорная оценка решения в классе L2 через соответствующие Lp-нормы правой части и начальной функции, а также через норму Соболева-Слободецкого с отрицательным индексом граничной функции в параболической части. Было продолжено изучение классической задачи со спектральным и физическим параметрами в граничном условии. Для оператора Щтурма-Лиувилля рассмотрен случай появления кратного собственного значения. Доказано, что при удалении любой собственной функции с простым собственным значением оставшаяся часть системы корневых функций образует базис в пространстве Lp, p>1 (базис Рисса при p=2), причем выбор базиса в корневом подпространстве может быть произвольным. Ранее было установлено, что при удалении собственной функции с кратным собственным значением нельзя для базисности выбрать любую присоединенную. Изучен вопрос о корректности задач Трикоми-Неймана и Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в случае, когда эллиптическая часть области -- вертикальная полуполоса. На линии изменения типа задано условие склеивания решения по Франклю. Задачи редуцированы к соответствующим задачам для оператора Лапласа с наклонной производной. Рассмотрена задача с наклонной производной с переменным углом наклона для уравнения Гельмгольца в круге. Задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно производной граничного значения искомой функции. доказано, что при определенных условиях на параметр компактный оператор в этом уравнении является сжимающим, что позволяет выписать решение в виде ряда Неймана. Были изучены две краевые задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в полуполосе. Изучены задачи с однородным граничным условием Неймана или однородным граничным условием Дирихле, значения решения на нижней границе области гиперболичности связаны со значением решения на линии изменения типа посредством нелокального граничного условия, содержащего действительнозначный параметр. Были доказаны теоремы с достаточных условиях на параметр, при выполнении которых поставленные задачи будут иметь единственное решение.
4 1 января 2019 г.-31 декабря 2019 г. Изучение уравнений смешанного типа и методы решения задач граничного управления-4
Результаты этапа:

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".