ИСТИНА

Будут исследованы краевые задачи для уравнений смешанного типа: трехмерный аналог задачи Геллерстедта для уравнения эллиптико-гиперболического типа, аналог задачи Франкля и задачи со смешанными граничными условиями для уравнения Лаврентьева-Бицадзе, неоднородная задача Трикоми-Неймана для параболо-гиперболического уравнения с нехарактеристической линией изменения типа. Перечисленные задачи будут решены спектральным методом, методом интегральных представлений. Планируется изучение ряда спектральных задач, содержащих спектральный параметр в граничных условиях. Будут рассмотрены вопросы полноты, минимальности и базисности систем собственных функций таких задач. Особое внимание будет уделено случаям кратного спектра. Для некоторых задач математитичесой физики для параболических и параболо-гиперболических уравнения на основе результатов, полученых спектральным методом, планируется получение точных априорных оценокрешений с использованием специально разработанных подходов и исследование вопроса об однозначной разрешимости. Будут исследованы задачи граничного управления для гиперболических уравнений и соответствующие им начально-краевые задачи. Планируется изучать колебательный процесс, описываемый волновым уравнением с закрепленным или свободным концом. Планируется найти необходимые и достаточные условия на начальные и финальные функции в пространствах Соболева. Планируется найти явный аналитический вид управления для этих задач. Далее планируется изучить колебательный процесс , описываемый телеграфным уравнением при времени меньше критического и предъявить явный аналитический вид управления. Ранее результатов в этом направлении практически не было. Планируется изучить управление колебательным процессом при наличии ускорения или замедления на одном из концов. Исследования будут проводиться как в классическом, так и в обобщенном смыслах. Для некоторых задач будет проведена оптимизация найденного граничного управления.

Boundary value problems for equations of mixed type will be investigated: the three-dimensional analogue of the Gellerstedt problem for equations of elliptic-hyperbolic type, Frankl problem analogue and the problem with mixed boundary conditions for the Lavrent'ev-Bitsadze equation, the inhomogeneous Tricomi-Neumann problem for parabolic-hyperbolic equation with non-characteristic line of type changing. These problems will be solved by the spectral method, the method of integral representations. The studying of a number of spectral problems containing the spectral parameter in the boundary conditions are planned. Questions of completeness, minimality and the basis property of systems of eigenfunctions for such tasks will be considered. Particular attention will be paid to the case of multiple spectrum. For some tasks of mathematical physics for parabolic and parabolic-hyperbolic equation on the basis of the results obtained by the spectral method, planned accurate priori etimates of the solution using specially designed approaches and study of the question of the unique solvability. Then will be investigated boundary control problem for hyperbolic equations and corresponding initial-boundary problems. It is planned to study the oscillatory process described by the wave equation with a fixed or free end. It is planned to find necessary and sufficient conditions on the initial and final feature in Sobolev spaces. It is planned to find explicit analytic form of management for these tasks. Further it is planned to study the oscillatory process described by the telegraph equation at a time is less critical and to present a clear view of the analytical control. Previous results in this direction practically no. It is planned to study the control of the vibrational process in the presence of acceleration or deceleration at one end. Research will be carried out both in classical and in the generalized sense. Some tasks will be carried out to optimize the found boundary control.

Будет выписано решение трехмерного аналога задачи Геллерстедта в виде биортогональных рядов с использованием функций Бесселя. Ожидается существенно новый результат в теории трехмерных задач для уравнений смешанного типа. Будет изучен вопрос о корректной постановке краевой задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со смешанными граничными условиями в эллиптической части области. Предполагается получить новый результат о необходимых и достаточных условиях разрешимости нефредгольмовой задачи, описывающей реальный газодинамический процесс. Будет построено решение неоднородной задачи Трикоми-Неймана для параболо-гиперболического уравнения. Для спектральной задачи со спектральным параметром в граничном условии, возникающей при решении задачи Трикоми-Неймана для параболо-гиперболического уравнения, будет выписано в виде трансцендентного соотношения на комплексной плоскости условие на коэффициент в граничном условии, при котором в системе корневых функций появляются присоединенные. Для всех возможных значений коэффициента будут рассмотрены вопросы полноты, минимальности и базисности в Lp, p>1 соответствующих систем корневых функций. Будут построены биортогонально сопряженные системы и сформулированы нелокальные задачи без спектрального параметра для выделенных полных и минимальных подсистем. Ожидаются новые результаты, позволяющие теоретически обосновать математическое описание некоторых реальных процессов движения волн (температурных, механических) в средах с внешним воздействием. Будут исследованы вырожденные случаи задач граничного управления колебаниями стержня с динамическим граничным условием типа торможения. Предполагается получить новые теоретические результаты в негильбертровых пространствах, в частности по вопросам гладкости обобщенных решений.

Е.И. Моисеевым и его учениками разработан спектральный метод решения краевых задач для уравнений смешанного типа. В совместных работах Е.И. Моисеева и его учеников изучались полнота собственных функций задачи Франкля с условием нечетности, базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности, полнота и базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием нечетности и с разрывом градиента решения, базисность собственных функций одной обобщенной газодинамической задачи Франкля, базисность собственных функций одной обобщенной газодинамической задачи Франкля с нелокальным условием четности и с разрывом градиента решения. Была решена задача Неймана-Трикоми, когда эллиптическая часть области является полуполосой, с условием склеивания Франкля на линии изменения типа уравнения. Получено интегральное представление решения. В работах Н.Ю. Капустина изучены вопросы полноты, минимальности и базисности систем корневых функций для задач со спектральным параметром в граничных условиях, возникающих при математическом моделировании колебательных процессов с нагрузками и процессов теплопередачи в средах, граничащих с объектами, имеющими большую теплоемкость. Особое внимание было уделено случаям появления кратных собственных значений и разработке алгоритмов построения биортогонально сопряженных систем. В работах А.А. Полосина разложения по собственным функциям были применены для изучения нестандартных несамосопряженных спектральных задач для оператора Лапласа.

Были изучены аналоги задач Трикоми и Трикоми-Неймана, в частности исследованы свойства пространства допустимых функций, которые заданы на части границы гиперболической части области здания функций. Одним из основных результатов является тот факт, что вес в весовом пространстве для задания условия на характеристике в гиперболической части уравнения зависит от степени вырождения гиперболического оператора и поведения в окрестности линии вырождения коэффициента при первой производной. Для задачи Трикоми-Неймана была получена априорная оценка решения в классе L2 через соответствующие Lp-нормы правой части и начальной функции, а также через норму Соболева-Слободецкого с отрицательным индексом граничной функции в параболической части. Было продолжено изучение классической задачи со спектральным и физическим параметрами в граничном условии. Для оператора Щтурма-Лиувилля рассмотрен случай появления кратного собственного значения. Доказано, что при удалении любой собственной функции с простым собственным значением оставшаяся часть системы корневых функций образует базис в пространстве Lp, p>1 (базис Рисса при p=2), причем выбор базиса в корневом подпространстве может быть произвольным. Ранее было установлено, что при удалении собственной функции с кратным собственным значением нельзя для базисности выбрать любую присоединенную. Изучен вопрос о корректности задач Трикоми-Неймана и Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в случае, когда эллиптическая часть области -- вертикальная полуполоса. На линии изменения типа задано условие склеивания решения по Франклю. Задачи редуцированы к соответствующим задачам для оператора Лапласа с наклонной производной. Рассмотрена задача с наклонной производной с переменным углом наклона для уравнения Гельмгольца в круге. Задача сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно производной граничного значения искомой функции. доказано, что при определенных условиях на параметр компактный оператор в этом уравнении является сжимающим, что позволяет выписать решение в виде ряда Неймана. Были изучены две краевые задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в полуполосе. Изучены задачи с однородным граничным условием Неймана или однородным граничным условием Дирихле, значения решения на нижней границе области гиперболичности связаны со значением решения на линии изменения типа посредством нелокального граничного условия, содержащего действительнозначный параметр. Были доказаны теоремы с достаточных условиях на параметр, при выполнении которых поставленные задачи будут иметь единственное решение.