Математические проблемы классической динамикиНИР

Mathematical problems of classical mechanics

Источник финансирования НИР

грант РФФИ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 5 февраля 2018 г.-31 декабря 2018 г. Математические проблемы классической динамики
Результаты этапа: Для потока в конечномерном пространстве изучен вопрос о существовании решения, асимптотически стремящегося к неустойчивому положению равновесия. Сформулированы гипотезы, требующие дальнейшей проверки. Получены теоремы существования точки совпадения гладких отображений банаховых пространств и существования квадратного уравнения на пространстве операторов. Доказана теорема существования большого класса негомотопных периодических решений для натуральных лагранжевых систем с дискретной симметрией на некомпактном конфигурационном многообразии. Для механических систем на вибрирующем основании получены условия для направляющего вектора поступательных вибраций, при которых у предельной системы сохраняются равновесия, имеющиеся у системы без вибраций. Показано, что в невырожденном случае их всегда можно сделать устойчивыми. Изучено движение шайбы по горизонтальной плоскости в модели вязкого трения с коэффициентом трения, линейно зависящим от плотности нормальной реакции в точке контакта тела с опорной поверхностью. В задаче о движении твердого тела, опирающегося в трех точках на равномерно вращающуюся горизонтальную плоскость с линейным вязким трением, и свободно вращающегося вокруг некоторой неподвижной вертикальной оси, доказано, что в зависимости от параметров система имеет устойчивый предельный цикл, по наблюдаемым характеристикам которого могут быть определен коэффициента вязкого трения. Предложенная процедура вывода уравнений Власова-Пуассона-Пуассона в неинерциальной системе координат для системы взаимно гравитирующих заряженных частиц, движущихся во внешнем гравитационном поле, применена к задаче о существовании пылевых облаков Кордылевского в окрестности треугольных точек либрации системы Земля-Луна. Из уравнения Власова выведена система эллиптических уравнений на потенциалы гравитационного и электростатического полей. В задаче о включении отображения в поток основные группы диффеоморфизмов гладкого многообразия, сохраняющих тензор, исследованы на наличие свойства локальной линейной связности. Доказана линейная связность группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объем стандартного евклидова пространства. Задача поиска изотопии в бесконечномерной группе диффеоморфизмов, сохраняющих форму объема, сведена к поиску изотопии в конечномерной группе матриц с единичным определителем. Найдены достаточные условия на подгруппу диффеоморфизмов двумерного компактного многообразия, имеющих первый интеграл, при которых она локально линейно связна в группе всех диффеоморфизмов, но не является локально линейно связной в подгруппе диффеоморфизмов, сохраняющих заданную функцию. В задаче о диффузии Арнольда в многомерных априори неустойчивых системах доказана теорема о типичности диффузии, дана оценка скорости диффузии.
2 26 марта 2019 г.-31 декабря 2019 г. Математические проблемы классической динамики
Результаты этапа: - Разработаны формальные конструкции для расширения понятия метрической энтропии на бесконечномерные пространства. В частности, для пространства X с вероятностной мерой m введено понятие m-нормы ограниченного оператора на пространстве L2(X, m). Проведены формальные вычисления и найден ряд свойств такой нормы. - Исследована символическая динамика гамильтоновых систем, медленно зависящих от времени и имеющих при замороженном времени пучок гомоклинических траекторий к гиперболическому положению равновесия. Получены траектории таких систем с квазислучайным ростом энергии. Метод критических гиперболических многообразий применен к исследованию быстро-медленных гамильтоновых систем в окрестности гомоклинического множества. - Для систем с некомпактным цилиндрическим конфигурационным пространством и периодическим по времени лагранжианом при наличии определенной симметрии доказано существование периодических решений, отвечающих каждому (в том числе и нулевому) гомотопическому классу замкнутых кривых. Найдены примеры, показывающие, что условия теоремы неулучшаемы. - Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, правые части которых периодичны по времени с несколькими частотами, получена оценка сверху отклонения решения последовательно усредненной системы от решения исходной системы. - Для движущейся поступательно вдоль неподвижной прямой с вязким трением платформы с подвижной внутренней массой найдены условия, при которых величина скорости платформы ограничена. При этом в случае линейного вязкого трения неограниченное смещение платформы невозможно. При неограниченном смещении платформы в какую-либо сторону скорость платформы меняет свое направление бесконечное число раз, а общее время движения платформы в противоположную сторону и пройденный при этом путь стремятся к бесконечности. - Изучена эволюция плазменных и гравитирующих газо-пылевых сред с применением уравнения Власова-Пуассона-Пуассона и метода энергии-казимира в модели взаимодействия встречных потоков частиц. Численным моделированием показана возможность формирования стабильных конфигураций, а в частности, образования «двойных звезд», то есть двух устойчивых скоплений частиц, вращающихся вокруг центра масс. - Доказана локальная линейная связность подгрупп Ли группы диффеоморфизмов, сохраняющих симплектическую структуру на многообразии; форму объема на компактном гладком многообразии, а также стандартную форму объема в стандартном конечномерном евклидовом пространстве. Найдены достаточные условия, при которых заданный диффеоморфизм компактной ориентированной поверхности не изотопен тождественному отображению в группе диффеоморфизмов, сохраняющих гладкую функцию или векторное поле, но изотопен тождественному отображению в группе всех диффеоморфизмов. - В системе из бесконечного числа абсолютно упругих частиц на прямой, массы и начальные взаимные расстояния между которыми периодически повторяются, найдены условия существования решений типа бегущих волн. Получен критерий существования решения такого типа с заданным числом ударов. - Для оператора Шредингера, удовлетворяющего условию квантовой интегрируемости, получены оценки типа Жевре-1 на скорость роста коэффициентов асимптотического ряда для собственных значений.

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".