![]() |
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
Интеллектуальная Система Тематического Исследования НАукометрических данных |
||
Целью проекта является разработка строго обоснованных математических алгоритмов решения многомерных задач локальной и глобальной стабилизации, основанных на классических результатах общей теории локальных устойчивых и неустойчивых многообразий и полученных участниками проекта новых методах построения данных множеств. Особое внимание планируется уделить адаптации алгоритмов для решения конкретных задач математического моделирования.
Для двумерной системы уравнений Навье--Стокса, приближенно описывающей движение вязкой несжимаемой жидкости в прямоугольной кювете под действием внешней электро--магнитной силы, и имеющей при выбранных значениях параметров неустойчивое квазистационарное решение четырехвихревой структуры, рассмотрена задача численной стабилизации с помощью краевых условий заданного начального течения. Приводятся математическая постановка данной задачи, метод решения и результаты численных расчетов. Численно исследована задача о построении управляющих граничных условий первого рода, обеспечивающих асимптотическое изменение нулевого решения модельного одномерного реактора типа РБМК до требуемого стационарного состояния с учетом специфики данной модели. Приводятся результаты расчетов для различных допустимых режимов. Показана принципиальная возможность эффективной стабилизации динамики протекаемых процессов за счет краевого управления быстрыми и медленными нейтронами, но существенное замедление процесса при корректировке только по быстрым нейтронам. Для линеаризованной системы дифференциальных уравнений, приближенно описывающей динамику вязкого газа, исследована задача о построении управляющих граничных условий первого рода, обеспечивающих для известных начальных данных ускорение процесса выхода на стационар соответствующего решения. Сформулирован и обоснован соответствующий алгоритм, получены оценки скорости сходимости в дифференциальном случае. Аналогичные результаты обоснованы для конечно-разностной аппроксимации. Проведены численные расчеты по стабилизации для начальных условий типа скачок давления и/или скачок плотности. Рассмотрена система двумерных уравнений Навье--Стокса с правой частью, приближенно описывающая движение тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости в кольцевой области под действием внешней электро--магнитной силы. Для интересующего диапазона параметров, задача имеет неустойчивое двухпотоковое нестационарное основное течение и набор квазистационарных решений вихревого типа. Предложен метод исследования общей картины динамики, основанный на построении управляющих краевых условий, заданных на внутренней границе кольца и обеспечивающих стабилизацию рассматриваемых неустойчивых режимов. В том числе, численно решена задача о граничной стабилизации основного и вторичных течений, а также получено, что при построении стабилизирующих условий для основного течения достаточно учитывать только часть неустойчивых мод. Впервые для стабилизации вторичных течений предложен метод базирующийся на частичной стабилизации основного течения, что качественно упрощает реализацию алгоритма.
грант РФФИ |
# | Сроки | Название |
1 | 1 января 2015 г.-16 декабря 2015 г. | Построение и математическое обоснование гибридных численных алгоритмов для задач стабилизации нестационарных решений дифференциальных уравнений |
Результаты этапа: Для двумерной системы уравнений Навье-Стокса, приближенно описывающей движение вязкой несжимаемой жидкости в прямоугольной кювете под действием внешней электро--магнитной силы, и имеющей при выбранных значениях параметров неустойчивое квазистационарное решение четырехвихревой структуры, рассмотрена задача численной стабилизации с помощью краевых условий заданного начального течения. Приводятся математическая постановка данной задачи, метод решения и результаты численных расчетов. Численно исследована задача о построении управляющих граничных условий первого рода, обеспечивающих асимптотическое изменение нулевого решения модельного одномерного реактора типа РБМК до требуемого стационарного состояния с учетом специфики данной модели. Приводятся результаты расчетов для различных допустимых режимов. Показана принципиальная возможность эффективной стабилизации динамики протекаемых процессов за счет краевого управления быстрыми и медленными нейтронами, но существенное замедление процесса при корректировке только по быстрым нейтронам. | ||
2 | 1 января 2016 г.-16 декабря 2016 г. | Построение и математическое обоснование гибридных численных алгоритмов для задач стабилизации нестационарных решений дифференциальных уравнений |
Результаты этапа: Рассмотрена система уравнений Навье-Стокса с правой частью, приближенно описывающая движение тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости в кольцевой области под действием внешней электро-магнитной силы. Для интересующего диапазона параметров, задача имеет неустойчивое двухпотоковое нестационарное основное течение и набор квазистационарных решений вихревого типа. Предложен метод исследования общей картины динамики, основанный на построении управляющих краевых условий, заданных на внутренней границе кольца и обеспечивающих стабилизацию рассматриваемых неустойчивых режимов. В том числе, численно решена задача о граничной стабилизации основного и вторичных течений, а также получено, что при построении стабилизирующих условий для основного течения достаточно учитывать только часть неустойчивых мод. Впервые для стабилизации вторичных течений предложен метод базирующийся на частичной стабилизации основного течения, что качественно упрощает реализацию алгоритма. Данное свойство позволяет строить управление для класса начальных данных и, как следствие, теоретически сформулировать алгоритм стабилизации для прикладных задач. Для системы уравнений Навье-Стокса, приближенно описывающей движение вязкой несжимаемой жидкости в прямоугольной кювете под действием внешней электро-магнитной силы, и имеющей при выбранных значениях параметров неустойчивое квазистационарное решение четырехвихревой структуры, решена задача численной стабилизации с помощью краевых условий заданного начального течения. Рассмотрено применение метода граничных интегральных уравнений для численного решения задачи Дирихле в многосвязной области. Проведены оценки производных ядер и решений двух типов граничных интегральных уравнений теории потенциала при достаточно общих ограничениях на границу области. Для специального класса функций со слабой особенностью построено семейство составных квадратурных формул экспоненциальной точности относительно числа узлов. Интегральное уравнение задачи Дирихле для оператора Лапласа и система интегральных уравнений плоской теории упругости аппроксимируются системами линейных алгебраических уравнений с использованием одного и того же семейства составных квадратурных формул. При этом достигается экспоненциальная относительно числа узлов скорость сходимости. При доказательстве ключевой оценки для нелинейного функционала от разрешающего оператора системы Стокса, входящего в явную формулу для решения УНТ, был обнаружен ряд серьезных технических проблем. Еще на этапе 2015г. оценку функционала от решения системы Стокса, зависящего от трех пространственных переменных, удалось свести к оценке нескольких различных функционалов от решения одномерного уравнения теплопроводности. К концу 2015г. полное доказательство оценки было известно лишь для одного из этих функционалов. При доказательстве (в 2016г.) оценок для остальных функционалов возникло ряд непростых технических проблем, которые были успешно решены. Кроме того была обнаружена и преодолена одна существенная сложность при выводе теоремы о стабилизации из ключевой оценки. В итоге результат, указанный выше, в настоящее время полностью готов к печати. Сделан хотя и первый, но очень важный шаг в построении теории стабилизации около нуля решений уравнений Бюргерса, а также и Гельмгольца посредством управления, импульсного по времени. Предложена конструкция стабилизации, основанная на использовании информации о динамической структуре соответствующего уравнения нормального типа. Завершено теоретическое исследование задачи стабилизации уравнения Бюргерса на полуоси с граничным управлением. Проведено численное моделирование стабилизации решения. Получен результат о граничной стабилизации 3D системы Стокса во внешности сферы. Созданы модели и программы для численного исследования как ламинарных, так и турбулентных потоков псевдопластических сред, движущихся по однородным склонам с захватом донного материала. Показано, что если захват донного материала связан с разрушением материала дна, происходящим когда касательное напряжение на дне потока достигает предела прочности донного материала, то при движении по длинному однородному склону скорость захвата со временем стремится к константе, величина которой при наличии турбулентности существенно больше, чем в случае ламинарного потока. | ||
3 | 1 января 2017 г.-16 декабря 2017 г. | Построение и математическое обоснование гибридных численных алгоритмов для задач стабилизации нестационарных решений дифференциальных уравнений |
Результаты этапа: |
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".