ИСТИНА

В проекте продолжается исследование сравнительно нового класса задач, который мы будем называть «Динамика и равновесные экстремальные задачи». Этот проект можно рассматривать как альтернативный или конкурирующий по отношению к близкому научному направлению, возникшему в англоязычной литературе и известному как «Динамика и вариационные неравенства». Обзор этого направления представлен в книге, Д.Е. Стюарт «Динамика систем с неравенствами», Москва-Ижевск, 2013 г. Акценты, поставленные в этих направлениях, очень разные. В проекте – это методы решения конкретных равновесных задач, в то время как в книге Стюарта обсуждаются классические вопросы существования решений, а также необходимые и достаточные условия. Все задачи, представленные в Проекте, имеют две базовые компоненты, это: 1) линейная управляемая нестационарная динамика, 2) конечномерные равновесные экстремальные задачи, которые сводятся к вычислению неподвижных точек экстремальных отображений. Конечномерные задачи по отношению к динамике выступают как краевые задачи. Они сформулированы в конечномерных пространствах, отвечающих концам временного интервала, на котором развивается динамика. Семейство краевых задач, рассмотренных в Проекте, довольно обширное. Оно включает в себя задачи выпуклого и равновесного программирования, игры n-лиц с равновесием по Нэшу, седловые игры, равновесные многокритериальные задачи, вариационные неравенства и другие задачи. Все эти задачи выступают в качестве выпуклых математических моделей определенных объектов. Объединение двух базовых компонент приводит к постановке динамических задач, в которых требуется выбором управления перевести объект из одного равновесного состояние в другое, также равновесное. Другой тип задач, рассматриваемых в Проекте, – это моделирование переходных процессов, когда выбором управления необходимо вернуть объект, оказавшийся вне равновесия в силу возмущений в среде, в равновесное состояние. Центральная часть проекта – разработка методов решения равновесных динамических задач. Оригинальность подхода, представленного в Проекте, заключается в седловой трактовке динамических задач и, соответственно, использовании седловых подходов для их решения. Роль принципа максимума, характерного для задач оптимизации, здесь, в седловом случае, будет играть система седловых неравенств. Седловая точка как элемент декартового произведения двух пространств - прямого и сопряженного - будет описывать полный набор прямых и двойственных компонент решений динамической системы. Соответственно, итеративный седловой процесс, который проходит одновременно в прямом и сопряженном пространствах, будет сходиться по всем компонентам решения: по управлениям, фазовым и сопряженным траекториям, а также по терминальным переменным краевых задач. Предложенный подход - как инструмент математического моделирования - существенно расширяет сферу возможного приложения, поскольку ориентирован на области, где присутствует человеческий фактор.

Детализация работ в 2015 году: в текущем году предполагается разработать методы экстра-проксимальные, экстра-градиентные, прямо-двойственные методы для решения динамических задач управления с краевыми условиями в форме конечномерных задач равновесного программирования и краевых задач в форме игры двух лиц с равновесием по Нэшу. Предполагается также исследовать динамические модели ценового равновесия для двух участников экономической системы и их обобщения на кредитный рынок. Установить связь этих моделей с моделями экономического равновесия. В варианте задач управляемости и стабилизации доказать сходимость вычислительного процесса к решениям по всем его компонентам, включая управления, фазовые и сопряженные траектории и переменные терминальных задач. Исследовать методы модифицированной функции Лагранжа и регуляризации для задач из пунктов 1, 2, 4. Доказать сходимость к решениям этих задач. Постановка динамических задач управления с краевыми равновесными условиями и методы их решения носят оригинальный характер. Это оригинальность обусловлена одновременным сочетанием в одной конструкции конечномерной равновесной задачи и управляемой динамики, которая развивается в прямом и двойственном пространствах одновременно. Результаты исследований будут представлены в виде: - докладов на международных и отечественных конференциях, - публикаций, а также статей, подготовленных для публикаций в журналах с высоким импакт-фактором.