| 1 |
1 января 2010 г.-31 декабря 2010 г. |
Исследование топологии групповых действий методами некоммутативной геометрии |
| Результаты этапа: Завершена задача классификации гильбертовых C*-модулей, удовлетворяющих свойству Банаха-Сакса.
Изучены непрерывные действия топологических групп на компактном хаусдорфовом пространстве $X$, которые индуцируют почти периодические функции в соответствующей коммутативной С*-алгебре. Единственное инвариантное среднее на группе, получающееся усреднением, позволяет определить С*-значное внутреннее произведение и структуру гильбертова С*-модуля, позволяющую получить информацию о действии группы. Для действий, устойчивых по Ляпунову, соответствующее инвариантное среднее $M(\phi_x)$ непрерывно на $X$ для любой функции $\phi \in C(X)$, а индуцированное С*-значное внутреннее произведение соответствует условному ожиданию из $C(X)$ на алгебру неподвижных точек действия, определенного усреднением по орбитам. В случае, когда полученный гильбертов С*-модуль автодуален, все орбиты имеют одну и ту же мощность. Если действие группы стабильно, а пространство метризуемо, то гильбертов С*-модуль является рефлексивным. Это же верно, если мощность конечных орбит равномерно ограничена, и количество замыканий бесконечных орбит конечно. Получен ряд примеров, иллюстрирующих типичные ситуации, возникающие за пределами рассмотренных случаев.
Сформулирован и доказан критерий С*-рефлексивности для коммутативных С*-алгебр.
Доказана аменабельность группы формальных степенных рядов $J(k)$ над коммутативным унитарным кольцом $k$. Показано также, что группа $J(Z)$ не вкладывается ни в какую локально компактную группу, при этом сама эта группа обладает свойствам автоподобия т.е. вкладывается в любую окрестность своей единицы.
Была построена модель скрученной $K$-теории для скручиваний, отвечающих мультипликативной группе расслоений конечного порядка (не обязательно линейных). |
| 2 |
1 января 2011 г.-31 декабря 2011 г. |
Исследование топологии групповых действий методами некоммутативной геометрии |
| Результаты этапа: Продолжено исследование свойства С*-рефлексивности. Показано, что это свойство не сохраняется при переходе к фактор-С*-алгебре.
Продолжено развитие геометрического подхода к построению скрученной K-теории для высших скручиваний конечного порядка. Для этого была построена теория снопов расслоений.
Доказана стягиваемость в равномерной топологии полной общей линейной группы стандартного гильбертова модуля над произвольной коммутативной алгеброй фон Неймана.
Завершена задача классификации гильбертовых C*-модулей, удовлетворяющих свойству Банаха-Сакса.
Определена и исследована метрическая, или экстремальная, версия проективности для нормированных модулей.
Получена полная характеризация экстремально плоских объектов в категории однородных существенных нормированных модулей. Как следствие, получены теоремы типа Хана-Банаха о продолжении морфизмов модулей с сохранением нормы. |
| 3 |
1 января 2012 г.-31 декабря 2012 г. |
Исследование топологии групповых действий методами некоммутативной геометрии |
| Результаты этапа: Решена задача классификации гильбертовых C*-модулей, удовлетворяющих свойству Банаха-Сакса.
Сформулирован и доказан критерий С*-рефлексивности для коммутативных С*-алгебр.
Для конечнопорожденной конечно аппроксимируемой группы $G$ и ее автоморфизма $\phi$ с конечным числом Райдемайстера $R(\phi)$ (числом классов скрученной сопряженности) доказано, что $R(\phi)$ совпадает с числом тех точек унитарного дуального, которые отвечают конечномерным неприводимым представлениям и неподвижны при индуцированном $\phi$ гомеоморфизме дуального пространства. Если $G$ аменабельна, то $R(\phi)$ бесконечно для любого автоморфизма $\phi$.
Предложена конструкция классифицирующего пространства "высшей" скрученной $K$-теории в случае скручиваний конечного порядка.
Было продолжено исследование гомологических свойств классических и начато - квантовых нормированных модулей. Разработана общекатегорная схема, позволяющая в важных ситуациях описывать косвободные объекты оснащенной категории, исходя из её свободных объектов.
Доказана невложимость группы формальных степенных рядов в локально компактные группы для широкого класса колец. Исследовано новое свойство сжимаемости топологических групп.
Показано, что систолический объём кратных классов гомологий ведёт себя сублинейно, и дана явная верхняя оценка зависящая от кратности. Введено понятие симплициальной сложности конечно представимой группы. Найдены оценки систолического объёма такой группы через чисто комбинаторный инвариант - её симплициальную сложность. |
